精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期高三年级10月月考试题 数学 命题人：沈阳市第五十六中学 芦敏 校题人：康平高中 张腾昊 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有236天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%，高考时是．若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天（参考数据：，） A. 100天 B. 210天 C. 225天 D. 115天 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前项和，若，，则 （ ） A. B. C. D. 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，当时，不等式恒成立，则a的值可能为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且有两解，则b的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 10. 设为数列的前n项和，已知，，，，则（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的最小值为______． 13. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则______． 14. 已知a，b，t均为正数，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）若，求的值． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）若点D为AC的中点，且，求的面积； （3）若B的角平分线交AC于点E，且，求面积的最小值． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数a的取值范围． 18. 已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知函数有两个极值点，且． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期高三年级10月月考试题 数学 命题人：沈阳市第五十六中学 芦敏 校题人：康平高中 张腾昊 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，再根据子集的定义求解即可. 【详解】由，则， 即，解得， 则， 所以A的子集个数为. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 3. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】是的对称中心，但不满足坐标是，故该条件不具备必要性; 若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，则充分性成立， 故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：C. 4. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有236天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%，高考时是．若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天（参考数据：，） A. 100天 B. 210天 C. 225天 D. 115天 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可. 【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的10倍， 则，即. 故选：D. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，结合两角和的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故. 故选：C. 6. 记为等差数列的前项和，若，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：C. 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有1个零点， 由函数有4个零点，得函数有3个零点， 由，得，则，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：D 8. 已知，当时，不等式恒成立，则a的值可能为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原问题转化为对任意恒成立，设，，则直线应介于函数与函数之间，然后作出图象，通过图象即可得到实数的取值范围. 【详解】依题意，变形为，对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，则直线应介于函数与函数之间， 由易知，函数在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，也是最小值， 由及双勾函数的性质可知，函数在单调递增，在单调递减，在处取得最大值， 作出函数及函数的图象如下， 则，选项中只有符合题意， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且有两解，则b的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理可判断；根据三角形有两解时的条件可判断；利用正弦定理及倍角公式可得或，继而可判断；根据同角关系式及正弦定理、余弦定理可判断. 【详解】对于：因为，所以， 所以（为外接圆的半径），所以，故正确； 对于：当时，有两解需满足， 即，故正确； 对于：， 所以（为外接圆的半径）， 即，即， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：， 所以，即， 所以，所以， 所以为钝角三角形，故正确. 故选：ABD. 10. 设为数列的前n项和，已知，，，，则（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意令，得，可得，即可判断B；根据和的关系求出，即可判ACD. 【详解】由题意，，，， 令，得， 则数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，故B正确； 当时，， 显然不满足上式，则， 则，显然，故A错误，C正确； 而，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可求解判断；对于D，根据题设推导可得，进而得到，进而求解判断即可；对于BC，举例判断即可. 【详解】对于A，由题意，为偶函数，为奇函数， 则，， 由，令，得，则，故A正确； 对于D，由，得， 而， 则，即， 则， 由于，则，，依次类推：， 所以，故D正确； 对于BC，当时，满足为偶函数，为奇函数， 而， ， 则，满足题意， 而函数是以8为周期的周期函数，故B错误， 又，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 13. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据正弦定理及二倍角公式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 而，所以， 则， 在中，， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知a，b，t均为正数，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数最值分析求解即可. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 又因为，，设， 则，其中， 则时，取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）若，求的值． 【答案】（1）单调递增区间，对称中心为，． （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式得，再根据正弦函数的性质即可得到答案； （2）代入计算有，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 ， 当，即时函数单调递增， 所以函数单调递增区间． 令， 则函数的对称中心为，． 【小问2详解】 由题意可知， 则， 所以 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）若点D为AC的中点，且，求的面积； （3）若B的角平分线交AC于点E，且，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）利用向量线性运算结合三角形面积公式计算即可得； （3）借助角平分线性质，结合等面积法与基本不等式及三角形面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以 ， 所以． 由于，则，所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 因为D为AC的中点，所以， 则， 化简得，可得， 则的面积； 【小问3详解】 由， 则有， 又，化简得， 则，即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的面积最小值为． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）转化问题为，进而求解即可. 【小问1详解】 由题设，， 当时，，在上递减； 当时，令， 当时，，在区间上递减； 当时，，在上递增． 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 由题设对于，，使得， 知，，成立． 由（1）知当时，，，在上递增， 则， 对于，函数单调递增，在上递增， 则， 所以只需，即． 综上：． 18. 已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义可得数列为等差数列，再结合等差数列性质计算即可得数列的通项公式，设出等比数列公比，结合等差数列定义计算即可得数列的通项公式； （2）借助等差数列求和公式可表示，再利用裂项相消法计算可得，再结合数列单调性计算即可得解. 【小问1详解】 由，则， 故数列为等差数列，设其公差为， 则有，解得，则， 设等比数列公比为， 则有，即，则， 解得或（舍去），故； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 由单调递增，故当时，， 故，即，所以的最大值为． 19. 已知函数有两个极值点，且． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，所以①，②， ①-②得， 令，则，所以，， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，得， 又，所以，即，得证． （解法不唯一，请酌情给分） 【解析】 【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解； （2）由，，得，令，用表示，代入，构造函数证明. 【小问1详解】 由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示， 所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数a的取值范围是． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $