精品解析：广东省佛山市南海区石门中学2025-2026学年高二上学期一检考试数学试题

石门中学2025-2026学年度第一学期高二年级数学科 一检考试 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条 A. 150 B. 300 C. 400 D. 600 2. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. C与D一定互斥 D. C与D一定不互斥 4. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人玩游戏，对于给定的实数，按下列方式操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的骰子，如果出现两个奇数点朝上或两个偶数点朝上，则把乘以2后再减去6，如果出现一个奇数点朝上，一个偶数点朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数．对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下列四个命题错误的是（ ） A. 设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为5 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，若与平行，则___________. 13. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是_____. 14. 在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． （1）求的长度； （2）求与夹角的余弦值． 16. 甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. （1）分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. （2）规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. （3）在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 17. 现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. （1）当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，. （1）证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； （2）设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 19. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. （1）若，，，求这三个数据的平均数和方差； （2）若，，求的最大值； （3）求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门中学2025-2026学年度第一学期高二年级数学科 一检考试 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条 A. 150 B. 300 C. 400 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】借助频率定义计算即可得. 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 2. 正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，由，则， 由点为的中点，则， 则，， 则， 故与所成角的余弦值为． 故选：A. 3. 如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. C与D一定互斥 D. C与D一定不互斥 【答案】B 【解析】 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解；方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解. 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 4. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 5. 在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 6. 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算出第一局为A，B两队比赛、A，C两队比赛、B，C两队比赛时，A队进入决赛的概率，再求和即可得A队进入决赛的概率． 【详解】若第一局为A，B两队比赛，则A队进入决赛的概率， 若第一局为A，C两队比赛，则A队进入决赛的概率， 若第一局为B，C两队比赛，则A队进入决赛的概率． 综上，所求概率． 故选：C. 7. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 8. 甲、乙两人玩游戏，对于给定的实数，按下列方式操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的骰子，如果出现两个奇数点朝上或两个偶数点朝上，则把乘以2后再减去6，如果出现一个奇数点朝上，一个偶数点朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数．对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，的结果有四种， 分别为， ， 且每一种结果出现的概率都是， 因为甲获胜的概率为，所以的四种结果中有三种大于，一种不大于， 又一定大于，所以和中的一个大于，另一个不大于， 即或，整理得或. 故选：A． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下列四个命题错误的是（ ） A. 设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率和概率的区别与联系，逐一分析选项即可. 【详解】对A，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故A错误； 对B，是频率不是概率，B错误； 对C，当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； 对D，随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确. 故选：ABC 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，因为是空间的一个基底，所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为5 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用外接球的性质计算可得正三棱柱各棱长，再借助余弦定理与数量积公式计算可得A；由空间向量性质可得动点的轨迹，再将空间展开成平面结合勾股定理可得B；由空间向量性质可得动点的轨迹，再利用线面平行判定定理可得C；建立适当空间直角坐标系，借助点到平面距离公式可得D. 【详解】 设正三棱柱的底面边长为，由外接球半径为，所以， 又因为，因此， 由于等圆中相等圆心角所对的弦相等，所以， 取中点，则的内心在线段上，且是靠近点的三等分点， 又， 则，解得， 即正三棱柱的所有棱长都为； 对A：在中，， 故，即，故A正确； 对B：取中点，则当时，动点在线段上运动， 取中点，中点，中点， 要使的值最小，我们可以将二面角展开成平面，如图： 由于两点间线段最短，故当为与交点时，最小， 又，， 最小值为，故B错误； 对C：当时，动点在线段上运动， 连接，由正三棱柱的所有棱长都为，则四边形为正方形， 又为中点，则为中点， 又平面，，平面， 故平面，即，在处时，平面，故C正确； 对D：当时，动点在线段上运动， 要求到直线距离最短，即求到平面距离， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,， 则，，， 设平面的法向量， 故，取，则， 则到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，若与平行，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，， 因为与平行， 所以有， 故答案为： 13. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件的定义，结合对立事件求概率公式进行求解. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的概率， 事件，都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生， 所以事件，都不发生的概率为. 故答案为： 14. 在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． （1）求的长度； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间的基向量表示出，再根据向量数量积运算律计算模长即可； （2）根据向量的线性运算表示，再运用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 因 则，， 于是. 又， 则， 故. 【小问2详解】 因为， 则， 故， 又则，故， 则， 则， 故与夹角的余弦值为． 16. 甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下： 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率，解答下列问题. （1）分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率. （2）规定：甲、乙各投篮2次为1局比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立，估计甲、乙两人平局的概率. （3）在（2）的规则下，估计甲、乙在两局内分出胜负的概率. 【答案】（1）甲同学的投篮命中率为,乙同学的投篮命中率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用投篮命中的频率估计概率即可； （2）根据独立性事件同时发生的概率公式及互斥事件的加法概率公式即可求解； （3）先求出两局都平局的概率，再利用对立事件法即可求解. 【小问1详解】 甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为. 【小问2详解】 甲、乙两人平局有三种情况： 甲、乙都投中了2次，其概率为， 甲、乙都投中了1次，其概率为， 甲、乙都投中了0次，其概率为. 所以甲、乙两人平局的概率为. 【小问3详解】 由（2）可知一局比赛中平局的概率为，所以两局都平局的概率为， 所以甲、乙在两局内分出胜负的概率为. 17. 现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. （1）当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【答案】（1）①； ②公平，理由如下： 记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括： ，所以， 又，则甲获胜的概率为， 故乙获胜的概率为， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的； ③甲分配奖金元，乙分配奖金元 （2） 当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 则， ，， 所以， ， 即且不满足两两独立，满足题意． 【解析】 【分析】（1）①用列举法写出样本空间即可得；②由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；③按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【小问1详解】 ①略 ②略 ③由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”， 假设再进行2次“点数游戏”， 则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）， 所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 则， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金元； 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，. （1）证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； （2）设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 【答案】（1） 由，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，有， 则， 则， 假设在线段上存在点使得平面， 令，则， 由平面，则， 则有，解得， 故在线段上，存在唯一一点使得平面，且； （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可得； （2）求出平面法向量后利用空间向量中点到平面距离公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及分别为线段的中点，得， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 又， 则点到平面的距离. 19. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，. （1）若，，，求这三个数据的平均数和方差； （2）若，，求的最大值； （3）求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有 【答案】（1）平均数15，方差6 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算. （2）根据古典概型概率计算公式计算可得. （3）根据和事件的概率公式继续计算即可. 【小问1详解】 易得这三个数据的平均数， 方差. 【小问2详解】 依题意，同时订阅了三种资料的有人. 设订阅了数学和英语的有人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足的人数有人. 显然不能为负数，所以，且.所以. 故的最大值为. 【小问3详解】 依题意有 ， 所以， 即， 因为总共买了三种资料的有一人， , 由于， 故， 所以所有买了资料的同学至多有人， 从而，所以. 当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $