山东省临沂市高二数学上学期期中自编模拟卷（人教A版）

2025-2026学年山东省临沂市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1第1章至第三章的3.1椭圆。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（    ） A．1 B．－1 C． 2 D． -2 2．已知直线：，：，若，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．3或 3．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 5．设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 6．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 7．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 11．已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为，则直线AB的方程为 C．若直线AB的方程为，则点M的坐标为 D．若直线AB的方程为，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，则点C到直线的距离为_____. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率______． 14．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． (1)求点B，C的坐标； (2)求的面积． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 18．（17分）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 19．（17分）如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动. (1)证明：. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省临沂市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1第1章至第三章的3.1椭圆。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（    ） A．1 B．－1 C． 2 D． -2 【答案】D 【解析】由已知得.故选D 2．已知直线：，：，若，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．3或 【答案】C 【解析】因为，则，解得或， 当时，：，：，两直线重合，故舍去， 当时，：，：，两直线平行，符合题意， 综上，.故选C. 3．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， .故选D. 4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、， 由题意可得， 所以， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米.故选A. 5．设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，与所成的角为.故选A. 6．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】圆心坐标为，半径为2，由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上，切线方程为或.故选D. 7．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解析】， 所以圆心，半径且，因为关于直线对称， 所以直线经过圆心，所以，解得，所以， 的圆心为，半径， 所以，所以， 所以圆与圆外切，故选B. 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是.故选C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【解析】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确.故选BD 10．已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为，设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得，所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 所以的最小值为.故选BCD. 11．已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为，则直线AB的方程为 C．若直线AB的方程为，则点M的坐标为 D．若直线AB的方程为，则 【答案】BD 【解析】对于A，根据椭圆的中点弦的性质知，，所以A不正确； 对于B，，根据，知，所以直线AB的方程为，即，所以B正确； 对于C，，由，得，所以C不正确； 对于D，若直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，整理得，解得或，所以，所以D正确．故选BD． 【规律总结】椭圆的中点弦的性质：设为椭圆弦AB（AB不平行于y轴）的中点，O为坐标原点，则． 证明：设，，则，且，，两式相减得，，整理得，因为是弦AB的中点，所以，所以． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，则点C到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】因为，，，所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为.故答案为. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率______． 【答案】 【解析】设直线与圆切于点，则， 由，则， 所以，，， 由勾股定理得， 即，解得， 则，．故答案为 14．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】9 【解析】直线：可化为，由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆C内， 当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆C截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 又，所以弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条， 所以符合条件的直线共有9条.故答案为9. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． (1)求点B，C的坐标； (2)求的面积． 【解析】（1）设点，因为在直线上，所以，  ①………………1分 又，的中点为，且点在的中线上，………………2分 所以，  ②………………3分 联立①②，得，即点．………………4分 由题意，得，所以， 所以所在直线的方程为，即，③………………6分 因为点在AB边上的中线上， 所以点的坐标满足直线方程，  ④………………7分 联立③④，得，即．………………8分 （2）由（1）得，………………10分 到直线的距离为，………………12分 所以， 故的面积为7．………………13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）根据题意可得四棱锥的体积为： ；………………4分 （2）如图，以为原点，、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ， ………………6分 可令平面的法向量，………………7分 又，………………9分 设平面的法向量， 则，………………11分 取，则， 得，………………13分 设平面与平面所的夹角为， 则，………………14分 平面与平面的夹角的余弦值为．………………15分 17．（15分）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）设，因为，即， 所以，………………2分 整理得，………………3分 所以曲线的方程为. ………………4分 （2）设，，. ………………5分 联立方程组得，………………7分 所以， 则，，………………9分 因为 ，………………13分 所以，………………14分 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为. ………………15分    18．（17分）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【解析】（1）设，则，且， 由题意可知：，解得，………………3分 所以椭圆的标准方程. ………………4分 （2）由（1）可知：，且，………………5分 由余弦定理可得， 即，解得，………………7分 设， 由的面积可得， 即，解得，………………9分 且，则，可得，………………10分 所以点的坐标为. ………………11分 （3）因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程，消去x可得，………………13分 则，………………14分 可得，………………15分 则的面积为，………………16分 解得（负值舍去），所以的值为. ………………17分 19．（17分）如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动. (1)证明：. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以，又为正方形，所以两两垂直，………………1分 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，………………3分 所以 ， 则， 所以 ………………5分 （2）解：由（1）可得，………………6分 所以， ………………8分 故异面直线与所成角的余弦值为 ………………9分 （3）解：设.因为，所以， 则 ………………10分 由（1）可得. ………………11分 设平面的法向量为， 则取 ………………12分 设直线与平面所成的角为，则 . ………………13分 令，则， 所以 ………………14分 当，即时，取得最大值，最大值为1；………………15分 当，即时，取得最小值，最小值为. ………………16分 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. ………………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省临沂市上学期期中自编模拟卷 高二数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．C 3．D 4．A 5．A 6．D 7．B 8．C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． BD 10．BCD 11．BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14．9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解（1）设点，因为在直线上，所以，  ①………………1分 又，的中点为，且点在的中线上，………………2分 所以，  ②………………3分 联立①②，得，即点．………………4分 由题意，得，所以， 所以所在直线的方程为，即，③………………6分 因为点在AB边上的中线上， 所以点的坐标满足直线方程，  ④………………7分 联立③④，得，即．………………8分 （2）由（1）得，………………10分 到直线的距离为，………………12分 所以， 故的面积为7．………………13分 16．（15分） 解（1）根据题意可得四棱锥的体积为： ；………………4分 （2）如图，以为原点，、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ， ………………6分 可令平面的法向量，………………7分 又，………………9分 设平面的法向量， 则，………………11分 取，则， 得，………………13分 设平面与平面所的夹角为， 则，………………14分 平面与平面的夹角的余弦值为．………………15分 17．(15分) 解（1）设，因为，即， 所以，………………2分 整理得，………………3分 所以曲线的方程为. ………………4分 （2）设，，. ………………5分 联立方程组得，………………7分 所以， 则，，………………9分 因为 ，………………13分 所以，………………14分 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为. ………………15分    18．（17分） 解：（1）设，则，且， 由题意可知：，解得，………………3分 所以椭圆的标准方程. ………………4分 （2）由（1）可知：，且，………………5分 由余弦定理可得， 即，解得，………………7分 设， 由的面积可得， 即，解得，………………9分 且，则，可得，………………10分 所以点的坐标为. ………………11分 （3）因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程，消去x可得，………………13分 则，………………14分 可得，………………15分 则的面积为，………………16分 解得（负值舍去），所以的值为. ………………17分 19．（17分） （1）证明：因为平面，平面， 所以，又为正方形，所以两两垂直，………………1分 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，………………3分 所以 ， 则， 所以 ………………5分 （2）解：由（1）可得，………………6分 所以， ………………8分 故异面直线与所成角的余弦值为 ………………9分 （3）解：设.因为，所以， 则 ………………10分 由（1）可得. ………………11分 设平面的法向量为， 则取 ………………12分 设直线与平面所成的角为，则 . ………………13分 令，则， 所以 ………………14分 当，即时，取得最大值，最大值为1；………………15分 当，即时，取得最小值，最小值为. ………………16分 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. ………………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $