专题4.5 函数模型及其应用（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题4.5 函数模型及其应用 教学目标 1.明确三种增长函数模型的具体形式. 2.通过图像观察与数值计算，总结三种模型的增长特征：一次函数呈 “匀速增长”，增长速度恒定；指数函数呈 “爆炸式增长”，增长速度随自变量增大快速加快；幂函数呈 “缓速增长”，增长速度随自变量增大逐渐放缓，且能对比不同参数对增长速度的影响. 3.认识除一次、指数、幂函数外的常见函数模型，包括分段函数模型（如出租车计费、阶梯电价）、二次函数模型（如利润最大化、抛物线运动轨迹）、对数函数模型（如地震震级计算、溶液 pH 值）、分段函数与基本函数结合的复合模型，能写出典型情境下的函数表达式. 4.掌握 “识别情境→匹配模型类型→确定模型参数→验证模型合理性” 的流程，能针对具体问题建立对应的函数模型. 5.能根据函数模型的性质，解释模型对应的实际意义. 教学重难点 1.重点： （1）重点掌握二次函数、指数函数、对数函数的模型特点，能对应具体情境. （2） 分段函数模型的建立与求解. 2.难点： （1）区分幂函数与指数函数的增长差异 （2）复杂分段函数的建模； （3）模型实际意义的深度解读. 知识点01 三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.湘教版高一数学 4.5《函数模型及其应用》 (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax 【即学即练】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 知识点02 形形色色的函数模型 1.常见函数模型： (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分式函数模型 (7)分段函数模型 2. 数学建模的步骤： （1）正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设. （2）建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构. （3）求得数学问题的解：通过合适的数学方法和计算手段，求解所建立的数学模型，得到数学层面的结果. （4）验证模型：将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性.若模型与实际情况不符或存在偏差，需重新审视建模过程，进行修正和改进. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业） 2024年4月25日下午，神舟十八号航天员乘组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行．叶光富、李聪、李广苏3名航天员领命出征．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，火箭的最大速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比，可设出函数模型，代入可得函数解析式，进而得解. 【详解】设当燃料质量分别为和时，火箭的最大速度分别为和， 则， 又当燃料质量为时，该火箭的最大速度为， 当燃料质量为时，该火箭的最大速度为， 所以，解得， 所以． 令，则， 所以． 题型01 函数模型的增长差异 【典例1】（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C.    【变式1-2】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得. 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 题型02 根据增长率选择合适的函数模型 【典例2】（25-26高一上·全国·课前预习）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．（参考数据：） 【答案】符合要求，理由见解析 【分析】由题意，符合公司要求的模型需满足：①当时，函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③三个条件．用每个条件，重点是每个条件对三个奖励模型进行判断，可得奖励模型：符合要求． 【详解】由题意，符合公司要求的模型需满足三个条件： ①当时，函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③三个条件． 当时，易知可满足①，但当时，，不满足公司奖金总数不超过5的要求； 当时，易知可满足①，但当时，，不满足公司奖金总数不超过5的要求； 当时，易知可满足①，当时，，满足②， 同时，满足③. 故判断奖励模型：符合要求． 【变式2-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 【答案】(1)选择③来描述之间的关系，函数解析式为； (2)该企业要考虑转型. 【分析】（1）利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系. （2）利用（1）中结论，求出年利润率判断得解. 【详解】（1）点不同在函数的图象上，①不符合要求； 将代入，得，解得，， 当时，，不符合要求； 将代入，得，解得， ，当时，；当时，，符合题意， 所以选择③来描述之间的关系，函数解析式为. （2）由（1）知，，当时，，解得， 当时的年利润率，所以该厂要考虑转型. 【变式2-3】（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为 (2)分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 题型03 一次函数模型的应用问题 【典例3】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【分析】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【详解】设直线 的解析式为 经过点 ， 解得 所以直线 的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选 ：C. 【变式3-1】（17-18高一·全国·单元测试）在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25%，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价(　　) A．15% B．12% C．10% D．8% 【答案】B 【分析】根据已知，找等量关系，建立方程求解. 【详解】设2017年应比2016年降价x%， 则(1＋25%)(1－x%)＝1＋10%，解得x＝12. 故A，C，D错误. 故选：B. 【变式3-2】（21-22高一上·山西吕梁·阶段练习）某手机上网套餐资费：每月流量500M以下（包含500M），按20元计费；超过500M，但没超过1000M（包含1000M）时，超出部分按0.15元/M计费；超过1000M时，超出部分按0.2元/M计费，流量消费累计的总流量达到封顶值（15GB）则暂停当月上网服务.若小明使用该上网套餐一个月的费用是100元，则他的上网流量是（ ） A．800M B．900M C．1025M D．1250M 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，化简求得小明的上网流量. 【详解】显然小明上网流量超过了1000M但远远没达到封顶值，假设超出部分为M，由得. 故选：C． 【变式3-3】（21-22高一上·吉林通化·阶段练习）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x（天）满足的函数关系式为.若采摘2天后，这种水果降低的新鲜度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%.则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过（    ） A．4天 B．4.5天 C．5天 D．5.5天 【答案】B 【分析】根据题意得，从而得，令即可得解. 【详解】根据题意得：，解得：， 所以 令，解得. 故选：B. 题型04 二次函数模型的应用问题 【典例4】（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【答案】(1) (2)35元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，销售量， 则． （2） ． ∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值， 又∵对称轴为直线，∴当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大． 【变式4-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断. 【详解】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是， 故选：B 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上），为保证城市安全，核电站距两城的距离不少于．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方、供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月．（1）月供电总费用（元）与的函数关系式为 ；（2）月供电总费用最小为 元． 【答案】 【分析】（1）由核电站距甲城km，可得距乙城km，依题列出月供电总费用的函数关系式，再由核电站距两城的距离不少于求得的范围，即得函数定义域； （2）由是二次函数，根据二次函数的性质结合定义域可得函数的最小值. 【详解】（1）因为核电站距甲城km，则距乙城km， 甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月， 则月供电总费用. 由，解得， 所以，定义域为． （2）由（1）得，， ∴当，即核电站距甲城时，月供电总费用最小值为元． 故答案为：①；②. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为.    (1)若为线段的中点，求及的值； (2)试用的式子表示，并求的取值范围； (3)求矩形地块面积的最大值. 【答案】(1)，. (2)， (3) 【分析】（1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. 【详解】（1）延长交于，    若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； （2）因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. （3）方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 题型05 指数函数模型的应用问题 【典例5】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)，定义域为； (2)第9年 【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）， 则，其定义域为； （2）由（1）得，即， 所以，即， 所以，又， 故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元. 【变式5-1】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知某湖水中的内源类有机物含量与时间t（单位：天）的关系满足函数（且），且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第天时其含量为800，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据求出、的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意，解得（负值已舍去）， 所以，则，解得. 故选：C 【变式5-2】（24-25高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 【答案】5 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以，所以． 因为，所以的最小值为5． 故答案为：5. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 【答案】3.2（万元） 【分析】根据题意，得出方程组，两式相乘，得到本利和，进而得到利息的值，得到答案. 【详解】由题意，可得，则， 即存期，本利和为，则存期，总利息为（万元）． 题型06 对数函数模型的应用问题 【典例6】（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 【变式6-1】（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，直接代入数值计算，即可得答案. 【详解】由可得， 即，则， 故选：C 【变式6-2】（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案. 【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，， 两式相减得，解得. 故选：D 【变式6-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1) (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 题型07 幂函数模型的应用问题 【典例7】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【变式7-2】（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 【变式7-3】（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 题型08 分式函数模型的应用问题 【典例8】（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【变式8-1】（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，表示出绿洲的长宽，得到规划区域面积，利用基本不等式求最值得解； （2）由题意铺设管道长度等于绿洲部分的周长，据此列出方程求解即可. 【详解】（1）设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. （2）因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 【变式8-3】（24-25高一上·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 【答案】(1)屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； (2)6 【分析】（1）由题意可得屋子的建造总价，利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，当时成立，当时，可得，结合换元及基本不等式求得，可得结果. 【详解】（1）因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面均为米， 所以屋子的前面长为米， 可得屋子的建造总价 ； 当且仅当，即时，等号成立； 所以屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； （2）因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司， 所以在上恒成立， 化简可得在上恒成立， 当时，显然成立， 当时，则有， 令，则， 所以， 由对勾函数性质可知， 即，所以， 又因为， 所以的最大整数为6. 题型09 分段函数模型的应用问题 【典例9】（24-25高一上·云南曲靖·期末）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足. (1)求该商场的日收益（千元）与时间t（天）的函数关系式； (2)求该商场日收益的最小值（千元）． 【答案】(1) (2)（千元） 【分析】（1）分及，计算即可得； （2）借助第一问中所得，分别计算两段中该商场日收益的最小值后比较其大小即可得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 则； （2）当时，， 则随的增大而增大，故； 当时，， 则则随的增大而减小，故； 又，故该商场日收益的最小值为（千元）. 【变式9-1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【变式9-2】（25-26高一上·山东聊城·阶段练习）经过市场调查，生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当年的产量. (1)分别写出当年产量不足6万件和年产量不小于6万件时年利润（万元）关于年产量（万件）的表达式.（注：年利润年销售收入-固定成本-变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元 【分析】（1）根据年利润年销售收入-固定成本-变动成本，分和即可求出的解析式. （2）根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案. 【详解】（1）由题可知，， 所以 （2）当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值为， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元. 【变式9-3】（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】(1)36万元； (2)9万件，72万元； 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【详解】（1）设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 题型10 函数模型与方案的选择问题 【典例10】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【详解】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（   ）    A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 【答案】ABC 【分析】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确； 若投资4天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确； 若投资6天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确； 若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多， 所以采用方案三，所以D错误． 故选：ABC 【变式10-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)方案二合理，理由见解析 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； （2）方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 【变式10-3】（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 一、单选题 1．（18-19高三上·北京丰台·期中）某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在以内（含）为元；达到后，每增加加收元；达到后，每增加加收元．增加不足按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的数可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设行驶公里，列方程，解出即可. 【详解】根据题意可得， ，解得. 故选：． 2．（2021高一·江苏·专题练习）甲、乙两个工厂2014年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相等，乙厂的产值逐月增加且每月增长的百分率相同，已知2014年12月份两厂的产值相等，则2014年7月份产值高的工厂是（    ） A．甲厂 B．乙厂 C．产值一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用指数函数模型与一次函数模型的图象比较．可得答案. 【详解】可考虑指数函数模型与一次函数模型的图象比较． 由题可知甲厂产值是一次函数模型增长，而乙厂产值是指数函数模型增长，可将它们的大致图形画出． 故7月份时甲厂产值高． 答案：A 3．（20-21高三·江苏·强基计划）某公司职工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在始终线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一种停靠点，为要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间 【答案】A 【分析】分情况计算比较可得答案. 【详解】解：由题意得： 若停靠点为区时，所有员工步行到停靠点的路程和为：； 若停靠点为区时，所有员工步行到停靠点的路程和为：； 若停靠点为区时，所有员工步行到停靠点的路程和为：； 若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有员工步行到停靠点的路程和为：，当取最值，故停靠点为A区. 若停靠点为区时，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在区. 故选：A 4．（2023高二下·湖南·学业考试）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【详解】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 5．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 【答案】A 【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要（t－1）小时， 由题意可得， 即， 两边同时取自然对数并整理，得 ， ， 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时． 故选：A. 6．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明・《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是，一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：，，）（   ） A．68天 B．70天 C．71天 D．73天 【答案】B 【分析】，两边取常用对数，解方程，得到答案. 【详解】由题意得，两边取常用对数得， 即，. 故选：B 7．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，即，再分析求解即可. 【详解】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 8．（23-24高一上·贵州黔南·期末）年月日，日本政府宣布启动福岛核污染水排海，海洋生态将长期受到影响，这一事件引起全球关注，核污水中含有氪（半衰期为年），氙（半衰期为天），锶（半衰期围29年）等放射性元素，据统计，核污水中的锶90，它每年的衰减率约为2.47%，经专家模拟估计，核污水中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，核污染区才能再次成为人类居住的安全区，设核污水中原有的锶90由m吨，经过年后核污水中锶的剩余量为，则核污染区至少经过（    ）年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留整数）（参考数据： A．81 B．82 C．83 D．84 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式，利用对数函数单调性求解即得. 【详解】依题意，， 由，得，则， 两边取对数得，解得，又， 因此，所以核污染区至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 10．（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 11．（24-25高一下·山西·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【答案】BC 【分析】赋特殊值可判断A，由对数函数的单调性可判断B，由幂函数的图象特征可判断C，由指数、对数、幂函数图象的增长趋势可判断D. 【详解】当时，则，故A错误； 由，得，所以，故B正确； 当时，得，故C正确； 由幂函数、指数函数、对数函数的性质可知，当足够大时，指数函数的增长速度最快，所以更有前途的投资方案是①，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以. 故答案为：. 13.（24-25高一上·江苏·阶段练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 （只填序号） 【答案】④ 【分析】将数据分别代入①②③④，即可得出答案. 【详解】将数据分别代入①②③④， x 2 2.99 4 5 y 4 8.02 15.99 32 ① 4 5.98 8 10 ② 1.5 3.97 7.5 12 ③ 1 1.58 2 2.32 ④ 4 7.94 16 32 由表格数据可知其中最接近的一个是④. 故答案为：④. 14．（25-26高一上·全国·期中）已知某列车的发车时间间隔（单位：分）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为，则的表达式为 ．为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为 分钟． 【答案】 5 【分析】列车载客量等于满载量减去载客减少量，再根据求出k即可得到分段函数的表达式，分、两种情况求解不等式即可得解. 【详解】由题知，当时，； 当时，． 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人，此时载客量为（人）， 所以，解得， 所以． 所以； 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即，解得， 又，所以. 综上，，所以列车发车时间间隔至少为5分钟． 故答案为：；5 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足. (1)求常数的值； (2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，) 【答案】(1) (2)7分钟 【分析】（1）由题意当时，即可求解； （2）由（1）得到，令，求解即可. 【详解】（1）茶水温度从开始， 即当时，，解得； （2）当时，， 当时，，即， ， 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感． 16．（24-25高一上·山西吕梁·期末）山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推进乡村振兴，实现共同富裕，当地党委带领村民积极发展规模化种植，完善深加工产业链，成立深加工合作社，建立橿桃批发市场.该地樱桃一般从5月1日开始上市，6月20日基本结束.通过市场调查，得到樱桃的投入成本（单位：元/千克）与上市时间（单位：天数）的数据如下表：（上市时间满足） 上市时间（天数） 10 22 50 投入成本（元/千克） 3 2.16 3 (1)根据上表数据，请从下列四个函数模型中选取一个恰当的函数模型反映樱桃投入成本与上市时间的关系（需说明理由），并求出相应的函数解析式； ①，②，③，④. (2)利用你选取的函数模型，求投入成本最低时樱桃的上市时间及最低投入成本. 【答案】(1)应选用函数模型， (2)30天，最低投入成本为2元/千克. 【分析】（1）先根据数据及单调性即可判断只有模型符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数； （2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间. 【详解】（1）由表中所提供的数据可知，反映樱桃的投入成本与上市时间的关系的函数不是常数函数， 故用函数中的任意一个来反映时都应有， 此时上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合， 所以应选用函数模型. 将表中提供的三组数据分别代入， 得解得 所以反映樱桃投入成本与上市时间的关系的函数为： . （2）由（1）知， 所以当（天）时，楼桃的投入成本最低， 最低投入成本为2元/千克. 17．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数） (2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元 【分析】（1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意列出总费用的函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系 设，将代入得：， 故（，且x取整数） 根据图象可以看出：的图象过，两个点， 代入得： 解得： 故（，且x取整数） （2）当，且x取整数时： ,则开口向下，且对称轴为， 当时，（元） 当时，且x取整数时， 为开口向下，对称轴为轴， 当时，W随x的增大而减小， 当时，（元） 去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 函数模型及其应用 教学目标 1.明确三种增长函数模型的具体形式. 2.通过图像观察与数值计算，总结三种模型的增长特征：一次函数呈 “匀速增长”，增长速度恒定；指数函数呈 “爆炸式增长”，增长速度随自变量增大快速加快；幂函数呈 “缓速增长”，增长速度随自变量增大逐渐放缓，且能对比不同参数对增长速度的影响. 3.认识除一次、指数、幂函数外的常见函数模型，包括分段函数模型（如出租车计费、阶梯电价）、二次函数模型（如利润最大化、抛物线运动轨迹）、对数函数模型（如地震震级计算、溶液 pH 值）、分段函数与基本函数结合的复合模型，能写出典型情境下的函数表达式. 4.掌握 “识别情境→匹配模型类型→确定模型参数→验证模型合理性” 的流程，能针对具体问题建立对应的函数模型. 5.能根据函数模型的性质，解释模型对应的实际意义. 教学重难点 1.重点： （1）重点掌握二次函数、指数函数、对数函数的模型特点，能对应具体情境. （2） 分段函数模型的建立与求解. 2.难点： （1）区分幂函数与指数函数的增长差异 （2）复杂分段函数的建模； （3）模型实际意义的深度解读. 知识点01 三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.湘教版高一数学 4.5《函数模型及其应用》 (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax 【即学即练】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 形形色色的函数模型 1.常见函数模型： (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分式函数模型 (7)分段函数模型 2. 数学建模的步骤： （1）正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设. （2）建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构. （3）求得数学问题的解：通过合适的数学方法和计算手段，求解所建立的数学模型，得到数学层面的结果. （4）验证模型：将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性.若模型与实际情况不符或存在偏差，需重新审视建模过程，进行修正和改进. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业） 2024年4月25日下午，神舟十八号航天员乘组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行．叶光富、李聪、李广苏3名航天员领命出征．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，火箭的最大速度为（    ） A． B． C． D． 题型01 函数模型的增长差异 【典例1】（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【变式1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【变式1-2】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 题型02 根据增长率选择合适的函数模型 【典例2】（25-26高一上·全国·课前预习）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．（参考数据：） 【变式2-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 【变式2-3】（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 题型03 一次函数模型的应用问题 【典例3】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【变式3-1】（17-18高一·全国·单元测试）在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25%，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价(　　) A．15% B．12% C．10% D．8% 【变式3-2】（21-22高一上·山西吕梁·阶段练习）某手机上网套餐资费：每月流量500M以下（包含500M），按20元计费；超过500M，但没超过1000M（包含1000M）时，超出部分按0.15元/M计费；超过1000M时，超出部分按0.2元/M计费，流量消费累计的总流量达到封顶值（15GB）则暂停当月上网服务.若小明使用该上网套餐一个月的费用是100元，则他的上网流量是（ ） A．800M B．900M C．1025M D．1250M 【变式3-3】（21-22高一上·吉林通化·阶段练习）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x（天）满足的函数关系式为.若采摘2天后，这种水果降低的新鲜度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%.则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过（    ） A．4天 B．4.5天 C．5天 D．5.5天 题型04 二次函数模型的应用问题 【典例4】（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【变式4-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上），为保证城市安全，核电站距两城的距离不少于．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方、供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月．（1）月供电总费用（元）与的函数关系式为 ；（2）月供电总费用最小为 元． 【变式4-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为.    (1)若为线段的中点，求及的值； (2)试用的式子表示，并求的取值范围； (3)求矩形地块面积的最大值. 题型05 指数函数模型的应用问题 【典例5】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【变式5-1】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知某湖水中的内源类有机物含量与时间t（单位：天）的关系满足函数（且），且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第天时其含量为800，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式5-2】（24-25高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 题型06 对数函数模型的应用问题 【典例6】（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【变式6-1】（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 题型07 幂函数模型的应用问题 【典例7】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【变式7-1】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【变式7-2】（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【变式7-3】（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 题型08 分式函数模型的应用问题 【典例8】（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【变式8-1】（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【变式8-3】（24-25高一上·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 题型09 分段函数模型的应用问题 【典例9】（24-25高一上·云南曲靖·期末）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足. (1)求该商场的日收益（千元）与时间t（天）的函数关系式； (2)求该商场日收益的最小值（千元）． 【变式9-1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式9-2】（25-26高一上·山东聊城·阶段练习）经过市场调查，生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当年的产量. (1)分别写出当年产量不足6万件和年产量不小于6万件时年利润（万元）关于年产量（万件）的表达式.（注：年利润年销售收入-固定成本-变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式9-3】（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 题型10 函数模型与方案的选择问题 【典例10】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（   ）    A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 【变式10-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【变式10-3】（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 一、单选题 1．（18-19高三上·北京丰台·期中）某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在以内（含）为元；达到后，每增加加收元；达到后，每增加加收元．增加不足按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的数可以是（    ）． A． B． C． D． 2．（2021高一·江苏·专题练习）甲、乙两个工厂2014年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相等，乙厂的产值逐月增加且每月增长的百分率相同，已知2014年12月份两厂的产值相等，则2014年7月份产值高的工厂是（    ） A．甲厂 B．乙厂 C．产值一样 D．无法确定 3．（20-21高三·江苏·强基计划）某公司职工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在始终线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一种停靠点，为要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间 4．（2023高二下·湖南·学业考试）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 6．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明・《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是，一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：，，）（   ） A．68天 B．70天 C．71天 D．73天 7．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州黔南·期末）年月日，日本政府宣布启动福岛核污染水排海，海洋生态将长期受到影响，这一事件引起全球关注，核污水中含有氪（半衰期为年），氙（半衰期为天），锶（半衰期围29年）等放射性元素，据统计，核污水中的锶90，它每年的衰减率约为2.47%，经专家模拟估计，核污水中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，核污染区才能再次成为人类居住的安全区，设核污水中原有的锶90由m吨，经过年后核污水中锶的剩余量为，则核污染区至少经过（    ）年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留整数）（参考数据： A．81 B．82 C．83 D．84 二、多选题 9．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 10．（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 11．（24-25高一下·山西·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 三、填空题 12．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ． 13.（24-25高一上·江苏·阶段练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 （只填序号） 14．（25-26高一上·全国·期中）已知某列车的发车时间间隔（单位：分）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为，则的表达式为 ．为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为 分钟． 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足. (1)求常数的值； (2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，) 16．（24-25高一上·山西吕梁·期末）山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推进乡村振兴，实现共同富裕，当地党委带领村民积极发展规模化种植，完善深加工产业链，成立深加工合作社，建立橿桃批发市场.该地樱桃一般从5月1日开始上市，6月20日基本结束.通过市场调查，得到樱桃的投入成本（单位：元/千克）与上市时间（单位：天数）的数据如下表：（上市时间满足） 上市时间（天数） 10 22 50 投入成本（元/千克） 3 2.16 3 (1)根据上表数据，请从下列四个函数模型中选取一个恰当的函数模型反映樱桃投入成本与上市时间的关系（需说明理由），并求出相应的函数解析式； ①，②，③，④. (2)利用你选取的函数模型，求投入成本最低时樱桃的上市时间及最低投入成本. 17．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $