第02讲 简单推理（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第02讲 简单推理 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 2. 推理是从已知条件（前提）出发，通过逻辑分析、归纳或演绎得出结论的过程。 3. 关键要素： 已知条件：题目明确给出的信息（如“甲说的是真话”“A比B高”）； 隐含条件：未直接给出但可推导的信息（如“正整数”“每人只做一件事”）； 逻辑关系：条件之间的因果、矛盾、并列等关系（如“矛盾关系必有一真一假”“顺序关系中的大小/前后”）； 结论：通过推理得到的最终结果。 2.核心方法 排除法：逐步排除不可能的选项，缩小范围； 假设法：假设某条件成立，推导是否与已知矛盾，矛盾则假设错误； 列表法：用表格梳理多个对象与属性的对应关系（如“人物-职业”“物品-位置”）； 矛盾分析法：找矛盾条件（如“A说不是他，B说是A”），矛盾中必有一真一假； 归纳法：观察重复出现的规律（如图形、数字的周期或递变）。 二、核心题型与技巧 题型1：真假话问题（只有一句真/假话） 技巧： 矛盾法：先找矛盾条件（两句话不能同真/同假），矛盾中必有一真一假，再结合“只有一真/假”判断其余条件真假； 假设法：若无矛盾，假设某句话为真，推导是否符合“只有一真/假”，矛盾则假设错误。 题型2：对应关系问题（多个对象匹配多个属性） 技巧： 列表法：横行写对象（如“甲、乙、丙”），竖列写属性（如“医生、教师、司机”），用“√”标记确定关系，“×”标记否定关系，逐步排除不可能的组合； 排除法：根据条件直接排除错误对应（如“甲不是医生”→甲的“医生”属性打×）。 题型3：顺序排列问题（对象按顺序排列：高低、大小、前后等） 技巧： 比较法：两两比较条件（如“A比B高，B比C矮”→A＞B，C＞B），整合为完整顺序； 画图法：用直线或箭头表示顺序（如“→”表示“在…前面”，标注对象位置）。 题型4：图形规律推理（根据图形变化找规律） 技巧： 观察法：关注图形的形状（□△○）、数量（点、线、角的个数）、方向（上下左右）、位置（平移、旋转）、颜色（黑白交替）等变化； 归纳法：总结周期规律（如“□△○□△○…”周期为3）或递变规律（如每次增加1个△）。 题型5：数字规律推理（根据数字序列找规律） 技巧： 递推法：计算相邻数字的和（如2,3,5,8→2+3=5,3+5=8）、差（如10,7,4,1→每次减3）、积（如2,4,8,16→每次乘2）、商（如100,50,25→每次除以2）； 归纳法：总结周期性（如1,2,3,1,2,3…周期为3）或特殊规律（如平方数1,4,9,16…）。 三、常见错误提醒 1.条件遗漏：忽略关键限制（如“只有一人说真话”中的“只有一人”，导致多假设情况）； 2.假设矛盾未察觉：假设某句话为真后，推出与已知条件矛盾（如“甲说乙做的，假设甲真，则乙假，丙说不是自己，此时丙也真”），但未及时调整假设； 3.列表标记错误：对应关系中，将“×”误标为“√”（如“乙不是教师”却在乙的“教师”处打√），导致推导错误； 4.规律归纳片面：图形/数字规律只看前2个，忽略整体（如“1,3,5,7”只看前两个认为差2，实际是奇数序列）； 5.隐含条件忽略：未注意“不同对象”“正整数”等隐含限制（如“甲、乙、丙职业不同”，推导时未排除重复职业）。 例题讲解 一、真假话问题 例题1：甲、乙、丙三人中只有一人说了真话。甲说：“是乙做的好事”，乙说：“不是我做的”，丙说：“也不是我做的”。好事是谁做的？ 跟踪练习1：数学考试后，小明、小红、小刚三人中有一人得满分。小明说：“我是满分”，小红说：“我不是满分”，小刚说：“小明不是满分”。若只有一人说真话，谁是满分？ 二、对应关系问题 例题2：甲、乙、丙分别是医生、教师、司机。已知：①甲不是医生；②乙不是教师；③丙的工作是给病人看病。三人职业分别是什么？ 跟踪练习2：三本书《数学》《语文》《英语》分别由小红、小明、小刚保管。小红说：“我保管的不是《数学》”，小明说：“我保管的是《语文》”。小刚保管的是什么书？ 三、顺序排列问题 例题3：A、B、C、D四人比身高，A说：“我比B高”，B说：“我比C矮”，C说：“我比D高”，D说：“我比A高”。按从高到矮排列。 跟踪练习3：甲、乙、丙、丁四人跑步比赛，甲不是最快的，但比乙快；丁比丙快，丙比甲快。谁是最快的？ 四、图形规律推理 例题4：观察图形规律，下一个图形是（ ）。 图形序列：□△○□△○□△？ 跟踪练习4：观察图形：△□□△□□△？？，后面两个图形是（ ）。 五、数字规律推理 例题5：找规律填数：2，5，8，11，（ ），17。 跟踪练习5：找规律填数：1，4，9，16，（ ），36。 提升练习 1．烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟．5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？ 2．王佳、李华和刘萍三个好朋友穿着崭新的裙子一起参加了元旦游园会，三条裙子的颜色分别是花色，白色，红色，但不知那一条是王佳，那一条是李华，那一条是刘萍，只知道刘萍不喜欢穿红色的，王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，你知道这三个小姑娘各穿什么颜色的裙子吗？ 3．一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子．帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶．每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的．主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然 后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光．第一次关灯，没有声音．于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声．一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起．问有多少人戴着黑帽子？ 4．一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门．现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问 题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择．”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去．逻辑学家应如何发问？ 5．有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤．没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来． 6．你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 7．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁。求最大的男孩的岁数。 8．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分? 9．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少? 10．房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人? 11．某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若去A地，则也必须去B地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些? 12．甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印上了不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号? 13．有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2个小时，但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到一半是在什么时候，但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？ 14．有A、B、C三支球队进行比赛，每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮，最后A胜的场数最多，B输的场数最少，C的得分最高＜这些都没有并列）．请问：A得了多少分？ 15．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第02讲 简单推理 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 2. 推理是从已知条件（前提）出发，通过逻辑分析、归纳或演绎得出结论的过程。 3. 关键要素： 已知条件：题目明确给出的信息（如“甲说的是真话”“A比B高”）； 隐含条件：未直接给出但可推导的信息（如“正整数”“每人只做一件事”）； 逻辑关系：条件之间的因果、矛盾、并列等关系（如“矛盾关系必有一真一假”“顺序关系中的大小/前后”）； 结论：通过推理得到的最终结果。 2.核心方法 排除法：逐步排除不可能的选项，缩小范围； 假设法：假设某条件成立，推导是否与已知矛盾，矛盾则假设错误； 列表法：用表格梳理多个对象与属性的对应关系（如“人物-职业”“物品-位置”）； 矛盾分析法：找矛盾条件（如“A说不是他，B说是A”），矛盾中必有一真一假； 归纳法：观察重复出现的规律（如图形、数字的周期或递变）。 二、核心题型与技巧 题型1：真假话问题（只有一句真/假话） 技巧： 矛盾法：先找矛盾条件（两句话不能同真/同假），矛盾中必有一真一假，再结合“只有一真/假”判断其余条件真假； 假设法：若无矛盾，假设某句话为真，推导是否符合“只有一真/假”，矛盾则假设错误。 题型2：对应关系问题（多个对象匹配多个属性） 技巧： 列表法：横行写对象（如“甲、乙、丙”），竖列写属性（如“医生、教师、司机”），用“√”标记确定关系，“×”标记否定关系，逐步排除不可能的组合； 排除法：根据条件直接排除错误对应（如“甲不是医生”→甲的“医生”属性打×）。 题型3：顺序排列问题（对象按顺序排列：高低、大小、前后等） 技巧： 比较法：两两比较条件（如“A比B高，B比C矮”→A＞B，C＞B），整合为完整顺序； 画图法：用直线或箭头表示顺序（如“→”表示“在…前面”，标注对象位置）。 题型4：图形规律推理（根据图形变化找规律） 技巧： 观察法：关注图形的形状（□△○）、数量（点、线、角的个数）、方向（上下左右）、位置（平移、旋转）、颜色（黑白交替）等变化； 归纳法：总结周期规律（如“□△○□△○…”周期为3）或递变规律（如每次增加1个△）。 题型5：数字规律推理（根据数字序列找规律） 技巧： 递推法：计算相邻数字的和（如2,3,5,8→2+3=5,3+5=8）、差（如10,7,4,1→每次减3）、积（如2,4,8,16→每次乘2）、商（如100,50,25→每次除以2）； 归纳法：总结周期性（如1,2,3,1,2,3…周期为3）或特殊规律（如平方数1,4,9,16…）。 三、常见错误提醒 1.条件遗漏：忽略关键限制（如“只有一人说真话”中的“只有一人”，导致多假设情况）； 2.假设矛盾未察觉：假设某句话为真后，推出与已知条件矛盾（如“甲说乙做的，假设甲真，则乙假，丙说不是自己，此时丙也真”），但未及时调整假设； 3.列表标记错误：对应关系中，将“×”误标为“√”（如“乙不是教师”却在乙的“教师”处打√），导致推导错误； 4.规律归纳片面：图形/数字规律只看前2个，忽略整体（如“1,3,5,7”只看前两个认为差2，实际是奇数序列）； 5.隐含条件忽略：未注意“不同对象”“正整数”等隐含限制（如“甲、乙、丙职业不同”，推导时未排除重复职业）。 例题讲解 一、真假话问题 例题1：甲、乙、丙三人中只有一人说了真话。甲说：“是乙做的好事”，乙说：“不是我做的”，丙说：“也不是我做的”。好事是谁做的？ 答案：丙 解析：甲和乙的话矛盾（甲说乙做，乙说不是乙做），矛盾中必有一真一假。因“只有一人说真话”，所以丙说的是假话。丙说“不是我做的”为假，则好事是丙做的。 跟踪练习1：数学考试后，小明、小红、小刚三人中有一人得满分。小明说：“我是满分”，小红说：“我不是满分”，小刚说：“小明不是满分”。若只有一人说真话，谁是满分？ 答案：小红 解析：小明和小刚的话矛盾（小明说自己是，小刚说小明不是），必有一真一假。因“只有一人说真话”，所以小红说的是假话。小红说“不是我”为假，则小红是满分。 二、对应关系问题 例题2：甲、乙、丙分别是医生、教师、司机。已知：①甲不是医生；②乙不是教师；③丙的工作是给病人看病。三人职业分别是什么？ 答案：甲是教师，乙是司机，丙是医生 解析：用列表法（如下）： 人物 医生 教师 司机 甲 ×（①） √（排除后） × 乙 ×（丙是医生） ×（②） √ 丙 √（③给病人看病） × × 由③知丙是医生；甲不是医生（①），则甲只能是教师或司机；乙不是教师（②），且丙是医生，所以乙只能是司机；剩下甲是教师。 跟踪练习2：三本书《数学》《语文》《英语》分别由小红、小明、小刚保管。小红说：“我保管的不是《数学》”，小明说：“我保管的是《语文》”。小刚保管的是什么书？ 答案：《数学》 解析：小明保管《语文》（小明说的）；小红不保管《数学》，则小红只能保管《英语》；剩下《数学》由小刚保管。 三、顺序排列问题 例题3：A、B、C、D四人比身高，A说：“我比B高”，B说：“我比C矮”，C说：“我比D高”，D说：“我比A高”。按从高到矮排列。 答案：C＞D＞A＞B 解析：整理条件： A＞B（A说“我比B高”）； C＞B（B说“我比C矮”→C比B高）； C＞D（C说“我比D高”）； D＞A（D说“我比A高”）； 整合：C＞D＞A＞B。 跟踪练习3：甲、乙、丙、丁四人跑步比赛，甲不是最快的，但比乙快；丁比丙快，丙比甲快。谁是最快的？ 答案：丁 解析：条件整理： 甲＞乙（甲比乙快）； 丁＞丙＞甲（丁比丙快，丙比甲快）； 甲不是最快（排除甲）； 整合：丁＞丙＞甲＞乙，最快是丁。 四、图形规律推理 例题4：观察图形规律，下一个图形是（ ）。 图形序列：□△○□△○□△？ 答案：○ 解析：图形按“□△○”为周期重复出现（周期长度3），前8个图形是“□△○□△○□△”，第9个是周期第3个，即○。 跟踪练习4：观察图形：△□□△□□△？？，后面两个图形是（ ）。 答案：□、□ 解析：周期为“△□□”（长度3），第7个是周期第1个“△”，第8个是第2个“□”，第9个是第3个“□”，所以后面两个是□、□。 五、数字规律推理 例题5：找规律填数：2，5，8，11，（ ），17。 答案：14 解析：相邻两数差为5-2=3，8-5=3，11-8=3，规律是“每次加3”，11+3=14。 跟踪练习5：找规律填数：1，4，9，16，（ ），36。 答案：25 解析：1=1²，4=2²，9=3²，16=4²，规律是“平方数”，第5个数是5²=25。 提升练习 1．烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟．5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？ 【答案】解：烟鬼甲抽得太多了早死了. 【详解】只能从特殊情况考虑，不要只考虑两个人都活着，那样烟鬼甲就抽的多，应该是烟鬼甲已经早死了. 2．王佳、李华和刘萍三个好朋友穿着崭新的裙子一起参加了元旦游园会，三条裙子的颜色分别是花色，白色，红色，但不知那一条是王佳，那一条是李华，那一条是刘萍，只知道刘萍不喜欢穿红色的，王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，你知道这三个小姑娘各穿什么颜色的裙子吗？ 【答案】解：根据题干分析可得： 穿白裙子的是王佳， 穿红裙子的是李华， 穿花裙子的是刘萍． 答：穿白裙子的是王佳，穿红裙子的是李华，穿花裙子的是刘萍． 【详解】在所给的条件中，“王佳既不穿红裙子也不穿花裙子，”是关键条件．因为3个人穿的裙子只有花色，白色，红色3种颜色，除了红花两种颜色，王佳只能 穿白色裙子．又知道“刘萍不喜欢穿红色的”，结合已推断出的“王佳只能穿白色裙子”，因此刘萍只能穿花裙子．3种颜色中已确定了两种，剩下的李华必定穿红 色裙子． 3．一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子．帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶．每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的．主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然 后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光．第一次关灯，没有声音．于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声．一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起．问有多少人戴着黑帽子？ 【答案】3 【详解】如果只有1人戴黑帽子，那么第一次关灯他就会打自己耳光；如果有2人，第二次关灯他们就会打自己耳光；有n人戴帽子的话第n次关灯他们就会打自己耳光． 4．一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门．现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问 题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择．”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去．逻辑学家应如何发问？ 【答案】问：如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎么回答？ 【详解】最终得到的回答肯定是指向自由之门的． 5．有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤．没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来． 【答案】大桶表示为880，接下来，将一个大桶的水倒入小桶中，倒满，表示为853，（第2个大桶减3，小桶加3）则过程如下： 880——853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0） 850——823：将2斤给第2个人，变为803（此时4人分别有水3-2-0-0） 803——830——533——560——263——281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0） 280——253——703——730——433——460——163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0） 063——081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1） 080——053——350——323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4）． 【详解】大桶表示为880，接下来，将一个大桶的水倒入小桶中，倒满，表示为853，（第2个大桶减3，小桶加3）则过程如下： 880——853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0） 850——823：将2斤给第2个人，变为803（此时4人分别有水3-2-0-0） 803——830——533——560——263——281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0） 280——253——703——730——433——460——163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0） 063——081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1） 080——053——350——323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4）． 6．你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 【答案】见详解 【分析】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，称一下比标准的10个药丸重多少即可解答。 【详解】答：第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染。 【点睛】此题主要考查学生的逻辑推理能力与应用。 7．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁。求最大的男孩的岁数。 【答案】8岁 【分析】4~10中，差为4的算式有：10－6＝4，9－5＝4，8－4＝4，据此解答即可。 【详解】4~10中，差为4的算式有：10－6＝4，9－5＝4，8－4＝4，因为一定有人是10岁和4岁，所以取算式：10－6＝4和8－4＝4，若最大的男孩10岁，最大的女孩8岁，则最小的女孩为6岁，最小的男孩为4岁，此时，其他女孩分别为7、8、9岁，与最大的女孩是8岁矛盾，所以，最大的男孩是8岁，最大的女孩是10岁，最小的男孩是6岁，最小的女孩是4岁。 【点睛】本题主要考查了最大与最小，确定计算年龄差的算式后，需要验证结论是否符合题意。 8．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分? 【答案】最多可得3分，最少可得1分 【详解】每轮赛3场，最多产生分，四轮最多分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为． 前三名得分的和至少为 所以后三名的得分的和至多为 第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为这不可能，所以第5名最多得3分，图()为取3分时的一种可能的赛况图． 显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图． 以下由第5名得分情况给出详细赛况： 9．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少? 【答案】4分 【详解】四个队共赛了场，6场总分在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 由于是4个连续自然数的和，所以=2＋3＋4=5＝14或=3+4+5=18． 如果=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾． 所以=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2． 则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名． 即输给第一名的队得4分． 如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条，表示胜各队用它们的得分来表示． 常见的体育比赛模式 个队进行淘汰赛，至少要打场比赛：每场比赛淘汰一名选手； 个队进行循环赛，一共要打场比赛：每个队要打场比赛． 循环赛中常见的积分方式： ①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次； ②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分； 核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次． 10．房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人? 【答案】6个 【详解】假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾； 假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾； 假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有10个老实人，矛盾； 假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾； 假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾； 假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾； 假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足； …… …… 以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人． 解法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n—1老实人”的都是骗子； 说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11 个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n 骗子，而一共12个人，所以n＝6． 综上所述，一共6个老实人． 11．某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若去A地，则也必须去B地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些? 【答案】C、D 【详解】假设参观团去了A地，由①知一定去了B地，由②知没去C地，由④知没去D地，由③知去了E地，由⑤知去了A、D两地，矛盾． 所以开始的假设不正确，那么参观图没有去A地，由由①知也没去了B地，由②知去了C地，由④知去了D地，因为A、D两地没有都去，所以由⑤知去了没去E地． 即参观团去了C、D两地． 12．甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印上了不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号? 【答案】4号 【详解】第一种情况．如果赵说的前半话是正确的，那么甲是2号，乙不是3号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的后半句话错误，那么前半句话就正确，所以丁是1号，而孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的前半句话错误，那么后半句话正确，所以丙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是2号．由甲和乙均是2号，所以开始的假设不正确，即赵的前半句话错误． 第二种情况．所以，赵的前半句话错误，那么后半句话正确，所以甲是不是2号，乙是3号，而钱说：“丙是4号，乙是2号．”所以钱的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丙是4号，孙说：“丁是2号，丙是3号．”所以孙的后半句话错误，那么前半句话正确，所以丁是2号，而李说：“丁是1号，乙是3号．”所以李的前半句话错误，那么后半句话正确，所以乙是3号． 即甲是1号，乙是3号，丙是4号，丁是2号． 13．有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2个小时，但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到一半是在什么时候，但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？ 【答案】同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完． 【详解】试题分析：通过分析可知，同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完，这样就能用这根绳子来确定1个小时的时间，据此解答即可． 解：同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完，这样就能用这根绳子来确定1个小时的时间． 答：同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完． 点评：观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 14．有A、B、C三支球队进行比赛，每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮，最后A胜的场数最多，B输的场数最少，C的得分最高＜这些都没有并列）．请问：A得了多少分？ 【答案】13分或14分． 【详解】试题分析：每一轮，无论各队胜负如何，三队积分总合不变，等于6分，7轮之后，三队积分总和42； C得分最高，题目中各条件无并列，则C至少得15分， A胜场最多，然而不是积分最多的队伍， 说明A、B、C积分非常接近，接近到不能再接近的地步（无并列）， B负场最少，则平局最多，可以安排B积分次之， 那么可以按以下分配分数：A14分，B13分，C15分或A13分，B14分，C15分；由此结合列举进行解答即可． 解：根据题意列举如下： 第一轮：A胜B     A胜C     B平C 第二轮：A平B     A负C     B平C 第三轮：A负B     A负C     B平C 第四轮：A平B     A负C     B平C 第五轮：A平B     A负C    B平C 第六轮：A平B     A胜C     B平C 第七轮：A胜B     A胜C     B平C 总计  A：5胜   4平    6负    积分：5×2+4×1=14分 B：1胜  11平   2负     积分：2+11×1=13分 C：4胜   7平   3负     积分：4×2+7×1=15分 或： 第一轮：A胜B    A胜C    B平C 第二轮：A负B    A负C    B平C 第三轮：A负B    A负C    B平C 第四轮：A平B    A负C    B平C 第五轮：A平B    A负C    B平C 第六轮：A平B    A胜C    B平C 第七轮：A胜B    A胜C    B平C 总计：A：5胜  3平  6负   积分：5×2+3=13分 B：2胜  10平  2负   积分：2×2+10=14分 C：4胜   7平   3负  积分：4×2+7=15分 所以A为13分或者14分． 答：A得了13分或14分． 点评：解答此题应明确：7轮之后，三队积分总和42，C得分最高，题目中各条件无并列，则C至少得15分，B负场最少，则平局最多，可以安排B积分次之，是解答此题的关键． 15．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？ 【答案】周姓订户订有这5种报纸中的1种，报纸E在这5户人家中有5家订户． 【详解】试题分析：通过分析可知： 赵钱孙李一共订了：2+2+4+3=11份 A，B，C，D一共订了：1+2+2+2=7份 根据题意，周至少订了1份 5人一共最少订了11+1=12份 那么订E的就有12﹣7=5户 如果周订的不止1份，假设周至少订了2份 那么5人订报总数至少为11+2=13份 那么订E的至少有：13﹣7=6户，这与一共有5户矛盾 所以周只能订1种，订E的有5户 解：赵钱孙李订的份数：2+2+4+3=11份 A，B，C，D订的份数：1+2+2+2=7份 根据题意可知周至少订了1份 所以5人一共最少订了11+1=12份 那么订E的就有12﹣7=5户 如果周订的不止1份，假设周至少订了2份 那么5人订报总数至少为11+2=13份 那么订E的至少有：13﹣7=6户，这与一共有5户矛盾 所以周只能订1种，订E的有5户 答：周姓订户订有这5种报纸中的1种，报纸E在这5户人家中有5家订户． 点评：此题应结合题意进行分析，分析过程中利用推理得出问题答案，并进行验证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $