第07讲 错中求解（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第07讲 错中求解 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 错中求解是指在计算时因看错数字、运算符号等导致结果错误，通过分析错误原因（如看错的数字、数位、符号）与错误结果的关系，倒推正确结果的问题。 关键量：错误算式（含错误数字/符号）、正确算式（含正确数字/符号）、差异量（错误部分导致的结果变化）、正确结果。 2.核心公式 根据运算类型，利用“错误结果与正确结果的差异 = 错误部分导致的差异”推导： 加法：若把加数错看成，则错误和 = 正确和 + ，故正确和 = 错误和 - 。 减法： ① 把被减数错看成，错误差 = 正确差 + ，故正确差 = 错误差 - ； ② 把减数错看成，错误差 = 正确差 - ，故正确差 = 错误差 + 。 乘法：若把因数错看成，错误积 = 正确积 + 另一个因数，故正确积 = 错误积 - 另一个因数。 除法（无余数）： ① 把被除数错看成，错误商 = 正确商 + 除数，故正确商 = 错误商 - 除数； ② 把除数错看成，错误商正确被除数，故正确商 = （错误商）。 二、核心题型与技巧 题型1：加法错中求解（看错加数） 技巧：先确定看错的加数与正确加数的差（），错误和比正确和多（或少）了这个差，用“错误和 - 差异量”得正确和。 公式：正确和 = 错误和 - （错误加数 - 正确加数）。 题型2：减法错中求解（看错被减数或减数） 技巧： 看错被减数：被减数多看则差多看，正确差 = 错误差 - （错误被减数 - 正确被减数）； 看错减数：减数多看则差少看，正确差 = 错误差 + （错误减数 - 正确减数）。 题型3：乘法错中求解（看错因数） 技巧：先根据错误因数和错误积求出另一个正确因数（另一个因数 = 错误积 ÷ 错误因数），再用正确因数相乘得正确积。 题型4：除法错中求解（看错被除数或除数） 技巧： 看错被除数：先用错误商和除数求出错误被除数（错误被除数 = 错误商 × 除数），再根据“看错的数位/数字”修正被除数，最后求正确商； 看错除数：先用错误商和错误除数求出正确被除数（正确被除数 = 错误商 × 错误除数），再用正确被除数 ÷ 正确除数得正确商。 题型5：看错运算符号（如“+”看成“-”，“×”看成“÷”） 技巧：先根据错误符号写出错误算式，求出未知量（如另一个数），再代入正确符号的算式计算正确结果。 三、常见错误提醒 1.数位混淆：如把十位上的“3”看成个位上的“3”（差异是），误算成差异为0，导致结果错误。 2.减法中被减数与减数混淆：把“减数个位多看5”当成“被减数个位多看5”，错误地用“错误差 - 5”，实际应“错误差 + 5”。 3.乘法忽略另一个因数：如把因数23看成28（差异5），直接用“错误积 - 5”，忽略“5 × 另一个因数”才是总差异。 4.除法有余数未考虑：错误算式中余数也可能因看错数字而错误，需先根据“被除数 = 商×除数 + 余数”修正被除数。 例题讲解 一、加法错中求解 例题1：小明在计算时，把第一个加数36的十位数字“3”看成了“8”，结果得100。正确的结果是多少？ 跟踪练习1：小红计算时，把第二个加数十位上的“4”看成了“1”，结果得58。正确的结果是多少？ 二、减法错中求解 例题2：小芳计算时，把被减数个位上的“5”看成了“8”，结果得42。正确的结果是多少？ 跟踪练习2：小刚计算时，把减数十位上的“2”看成了“5”，结果得35。正确的结果是多少？ 三、乘法错中求解 例题3：小李计算时，把因数12看成了15，结果得90。正确的结果是多少？ 跟踪练习3：小华计算时，把第二个因数25的个位“5”看成了“8”，结果得700。正确的结果是多少？ 四、除法错中求解 例题4：小马虎计算时，把被除数十位上的“4”看成了“1”，结果得3。正确的结果是多少？ 跟踪练习4：小兰计算时，把除数个位上的“2”看成了“7”，结果得4。正确的结果是多少？ 五、看错运算符号 例题5：小虎在计算时，把“”看成了“”，结果得25。正确的结果是多少？ 跟踪练习5：小英把“”看成了“”，结果得6。正确的结果是多少？ 提升练习 1．小明在计算乘法时，不小心将一个因数24 错写成42，那么计算结果比正确答案多(　　)。 A． B． C． D． 2．小新在计算35×(□-2)时不小心先算了乘法，得到的结果是173，那么正确的结果是(　　)。 A．70 B．105 C．150 D．175 3．欢欢在计算(30+a)×5时，漏掉了小括号，算成了30+a×5，那么正确的结果和错误的结果相差(　　)。 A．5a B．120 C．30+6a D．150+a 4．甜甜在计算小数减法时，不小心将减数1.26的小数点向右点了一位，计算后结果是2.4，正确的结果是(　　)。 A．12.6 B．15 C．13.74 D．16.26 5．小马虎在计算6.9减去一个两位小数时，把减号看成了加号，得到的结果是11.45，正确的结果是　 　。 6．丁丁在计算“42-×5”时，错误地先算减法，再算乘法，得数是190。里应填　 　，正确的答案是　 　。 7．李阿姨在超市买了两件商品，由于把其中一件商品价格的小数点看错了一位，所以她只付给收银员18元，而收银员要她付40.95元，王阿姨也买了同样的两件商品，也将同一件商品的价格的小数点看错一位，她打算向收银员付的钱却不是18元，问王阿姨打算向收银员付了 　 　元钱。 8．做一道加法题时，小刚把个位上的8看做9，把十位上的8看做3，结果和是243．问：正确答案应是　 　． 9．某人购买了两件物品，他把其中一件物品标价的小数点看错了位置，付给售货员14.07元，售货员告诉他应付43.32元，看错的这件物品的原标价为　 　元。 10．小明在做减法时，把被减数十位上的8错看成3，把被减数个位上的5错看成6，这样算出来的差是108，正确的得数是　 　。 11．妙妙在做一道加法题时，把一个加数十分位上的3 错看成了8，个位上的6错看成了9，得到的结果是11.5，正确的结果是　 　。 12．某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 13．小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？ 14．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢? 15．哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第07讲 错中求解 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 错中求解是指在计算时因看错数字、运算符号等导致结果错误，通过分析错误原因（如看错的数字、数位、符号）与错误结果的关系，倒推正确结果的问题。 关键量：错误算式（含错误数字/符号）、正确算式（含正确数字/符号）、差异量（错误部分导致的结果变化）、正确结果。 2.核心公式 根据运算类型，利用“错误结果与正确结果的差异 = 错误部分导致的差异”推导： 加法：若把加数错看成，则错误和 = 正确和 + ，故正确和 = 错误和 - 。 减法： ① 把被减数错看成，错误差 = 正确差 + ，故正确差 = 错误差 - ； ② 把减数错看成，错误差 = 正确差 - ，故正确差 = 错误差 + 。 乘法：若把因数错看成，错误积 = 正确积 + 另一个因数，故正确积 = 错误积 - 另一个因数。 除法（无余数）： ① 把被除数错看成，错误商 = 正确商 + 除数，故正确商 = 错误商 - 除数； ② 把除数错看成，错误商正确被除数，故正确商 = （错误商）。 二、核心题型与技巧 题型1：加法错中求解（看错加数） 技巧：先确定看错的加数与正确加数的差（），错误和比正确和多（或少）了这个差，用“错误和 - 差异量”得正确和。 公式：正确和 = 错误和 - （错误加数 - 正确加数）。 题型2：减法错中求解（看错被减数或减数） 技巧： 看错被减数：被减数多看则差多看，正确差 = 错误差 - （错误被减数 - 正确被减数）； 看错减数：减数多看则差少看，正确差 = 错误差 + （错误减数 - 正确减数）。 题型3：乘法错中求解（看错因数） 技巧：先根据错误因数和错误积求出另一个正确因数（另一个因数 = 错误积 ÷ 错误因数），再用正确因数相乘得正确积。 题型4：除法错中求解（看错被除数或除数） 技巧： 看错被除数：先用错误商和除数求出错误被除数（错误被除数 = 错误商 × 除数），再根据“看错的数位/数字”修正被除数，最后求正确商； 看错除数：先用错误商和错误除数求出正确被除数（正确被除数 = 错误商 × 错误除数），再用正确被除数 ÷ 正确除数得正确商。 题型5：看错运算符号（如“+”看成“-”，“×”看成“÷”） 技巧：先根据错误符号写出错误算式，求出未知量（如另一个数），再代入正确符号的算式计算正确结果。 三、常见错误提醒 1.数位混淆：如把十位上的“3”看成个位上的“3”（差异是），误算成差异为0，导致结果错误。 2.减法中被减数与减数混淆：把“减数个位多看5”当成“被减数个位多看5”，错误地用“错误差 - 5”，实际应“错误差 + 5”。 3.乘法忽略另一个因数：如把因数23看成28（差异5），直接用“错误积 - 5”，忽略“5 × 另一个因数”才是总差异。 4.除法有余数未考虑：错误算式中余数也可能因看错数字而错误，需先根据“被除数 = 商×除数 + 余数”修正被除数。 例题讲解 一、加法错中求解 例题1：小明在计算时，把第一个加数36的十位数字“3”看成了“8”，结果得100。正确的结果是多少？ 答案：50 解析：错误的加数是86（把36看成86），比正确加数多。错误和100比正确和多50，所以正确和 = 。 跟踪练习1：小红计算时，把第二个加数十位上的“4”看成了“1”，结果得58。正确的结果是多少？ 答案：88 解析：错误的加数是1□（原加数4□），十位少看，错误和58比正确和少30，正确和 = 。 二、减法错中求解 例题2：小芳计算时，把被减数个位上的“5”看成了“8”，结果得42。正确的结果是多少？ 答案：39 解析：被减数个位多看，导致差多看3，错误差42比正确差多3，正确差 = 。 跟踪练习2：小刚计算时，把减数十位上的“2”看成了“5”，结果得35。正确的结果是多少？ 答案：65 解析：减数多看，导致差少看30，错误差35比正确差少30，正确差 = 。 三、乘法错中求解 例题3：小李计算时，把因数12看成了15，结果得90。正确的结果是多少？ 答案：72 解析：先求另一个正确因数：错误积90 ÷ 错误因数15 = 6，正确积 = 正确因数12 × 6 = 72。 跟踪练习3：小华计算时，把第二个因数25的个位“5”看成了“8”，结果得700。正确的结果是多少？ 答案：625 解析：错误因数是28，另一个因数 = 700 ÷ 28 = 25，正确积 = 25 × 25 = 625。 四、除法错中求解 例题4：小马虎计算时，把被除数十位上的“4”看成了“1”，结果得3。正确的结果是多少？ 答案：7 解析：错误被除数 = 错误商 × 除数 = 3 × 6 = 18（因把十位“4”看成“1”，正确被除数应为48），正确商 = 48 ÷ 6 = 7。 跟踪练习4：小兰计算时，把除数个位上的“2”看成了“7”，结果得4。正确的结果是多少？ 答案：6 解析：解析：错误除数=84÷4=21，把除数“14”看成“21”（个位“4”看成“1”），正确商=84÷14=6。 五、看错运算符号 例题5：小虎在计算时，把“”看成了“”，结果得25。正确的结果是多少？ 答案：65 解析：错误算式：，正确算式应为。 跟踪练习5：小英把“”看成了“”，结果得6。正确的结果是多少？ 答案：150 解析：错误算式：，正确算式：。 提升练习 1．小明在计算乘法时，不小心将一个因数24 错写成42，那么计算结果比正确答案多(　　)。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：假设另一个因数是1； 正确的积是：24×1＝24； 错误的积是：42×1＝42； （42－24）÷24 ＝18÷24 ＝ 所以计算结果比正确答案多 故答案为：A 【分析】假设另一个因数是1，算出正确的积；再算出错误的积；然后错误的积减去正确的积，求出差后再除以正确的积即可。 2．小新在计算35×(□-2)时不小心先算了乘法，得到的结果是173，那么正确的结果是(　　)。 A．70 B．105 C．150 D．175 【答案】B 【解析】【解答】解：（173+2）÷35 =175÷35 =5 35×（5－2） =35×3 =105 故答案为：B。 【分析】根据题意可知小新计算的算式是35×□－2=173，因此，□=（173+2）÷35，据此先求出□的值，再代入算式35×（□－2）中正确计算即可。 3．欢欢在计算(30+a)×5时，漏掉了小括号，算成了30+a×5，那么正确的结果和错误的结果相差(　　)。 A．5a B．120 C．30+6a D．150+a 【答案】B 【解析】【解答】解：正确结果：150+5a 错误结果：30+5a 相差：150+5a-30-5a=120 故答案为：B 【分析】分别算出正确与错误结果，再进行相减即可求解。 4．甜甜在计算小数减法时，不小心将减数1.26的小数点向右点了一位，计算后结果是2.4，正确的结果是(　　)。 A．12.6 B．15 C．13.74 D．16.26 【答案】C 【解析】【解答】解：12.6+2.4=15 15-1.26=13.74 故答案为：C。 【分析】写出计算过程中错误的减数12.6，用错误的减数加上错误的结果得到正确的被减数，用被减数减去正确的减数即可。 5．小马虎在计算6.9减去一个两位小数时，把减号看成了加号，得到的结果是11.45，正确的结果是　 　。 【答案】2.35 【解析】【解答】解：11.45－6.9=4.55 6.9－4.55=2.35。 故答案为：2.35。 【分析】根据题意可知被减数是6.9，减数不变，再根据错误算式：被减数+减数=11.45，因此，减数=和－被减数=11.45－6.9=4.55，计算出准确的减数，再用根据：被减数－减数=差准确计算即可。 6．丁丁在计算“42-×5”时，错误地先算减法，再算乘法，得数是190。里应填　 　，正确的答案是　 　。 【答案】4；22 【解析】【解答】解：42-190÷5 =42－38 =4 42－4×5 =42－20 =22 故答案为：4；22。 【分析】根据题意可知丁丁计算的错误式子应该是（42－□）×5=190，因此，190÷5=42－□，则□=42－190÷5，据此计算出□的值，再代入正确式子42－□×5中先算乘法，再算减法即可解答。 7．李阿姨在超市买了两件商品，由于把其中一件商品价格的小数点看错了一位，所以她只付给收银员18元，而收银员要她付40.95元，王阿姨也买了同样的两件商品，也将同一件商品的价格的小数点看错一位，她打算向收银员付的钱却不是18元，问王阿姨打算向收银员付了　 　元钱。 【答案】270.45 【解析】【解答】解：(40.95-18) ÷(1-0.1) =22.95÷0.9 =25.5 （元) 40.95- 25.5 = 15.45 (元) 王阿姨也将A商品的价格的小数点看错一位，即看成了255元 所以王阿姨打算向收银员付255 +15.45＝ 270.45(元) 故答案为：270.45 【分析】如果把李阿姨看错价格的商品叫做A，另一商品叫做B，由题意A商品价格x0.1 + B商品价格是18元，A商品价格+B商品价格是40.95元，所以李阿姨少付的钱40.95-18=22.95元，就是原价商品的（即1-0.1=0.9），据此可求出看错商品的原价。另一件商品的价格就是：40.95- 25.5 = 15.45 (元)，王阿姨也将A商品的价格的小数点看错一位， 她打算向收银员付的钱却不是18元 ，所以不是把此商品价格看小了，而是把商品的价格看大了，即看成了255元，所以王阿姨打算向收银员付255 +15.45＝ 270.45(元)。据此可解。 8．做一道加法题时，小刚把个位上的8看做9，把十位上的8看做3，结果和是243．问：正确答案应是　 　． 【答案】292 【解析】【解答】 解：9-8=1，80-30=50， 243+50-1 =293-1 =292 正确答案应是292。 故答案为：292。 【分析】 根据题意，小刚把个位上的8看作9，多看了9-8=1，把十位上的8看作3，十位上少加了5，就少看了80-30=50，所以用243加上少看的数再减去多看的数，即可算出正确答案多少。 9．某人购买了两件物品，他把其中一件物品标价的小数点看错了位置，付给售货员14.07元，售货员告诉他应付43.32元，看错的这件物品的原标价为　 　元。 【答案】32. 【解析】【解答】解：43.32-14.07=29.25（元） （元） 故答案为：32.5 【分析】看错的这件物品多付了43.32-14.07=29.25元；实际相当于原数的，多付了29.25元，所以可以得到看错的这件物品的原标价。 10．小明在做减法时，把被减数十位上的8错看成3，把被减数个位上的5错看成6，这样算出来的差是108，正确的得数是　 　。 【答案】157 【解析】【解答】解：根据题意，可得 80-30=50， 6-5=1， 50-1=49， 108+49=157． 答：正确的得数是157 故答案为：157 【分析】被减数十位上的8错看成3，那么被减数减少80-30=50；被减数个位上的5错看成6，被减数增加6-5=1；那么错误的被减数比原来的被减数减少了50-1=49；再用错误的差加上49即可求出正确的得数． 11．妙妙在做一道加法题时，把一个加数十分位上的3 错看成了8，个位上的6错看成了9，得到的结果是11.5，正确的结果是　 　。 【答案】6.2 【解析】【解答】解：根据题意，可得 多加的个位数：8-3 = 5 多加的十分位数：0.9-0.6 = 0.3 11.5 - 5 - 0.3 = 6.2 因此，正确的结果应该是6.2。 故答案为：6.2 【分析】根据题意，把一个加数十分位上的3看成8，也就是加了0.8-0.3=0.5；把另一个加数个位上的6错看成了9，也就是加了9-6=3；用得到的和11.5减去多的3，再减去多的0.5就是正确的和，即11.5-3-0.5=8。 12．某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 【答案】解：由题意得： ， 所以 答：正确结果该是 111。 【解析】【分析】根据题意，正确的乘积-错误的乘积=0.3，列出方程，并解方程求出未知数 a ，最后代入计算正确结果。 13．小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？ 【答案】解：根据题意，可得 123－（9－5）＋（80－30） ＝123－4＋50 ＝119＋50 ＝169 答：正确答案是169。 【解析】【分析】将加数个位上的5看作9，则多加了9－5＝4，十位上的8看做3，因为是在十位上，则少加了80－30＝50，用最终错误的结果将多加的减去，少加的加上，即得正确答案。 14．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢? 【答案】解：根据题意，可得 164+[（7×10+3）-（4×10+9）] =164+[73-49] =164+24 =188 答：正确答案是188 【解析】【分析】减数的原始十位数字为4，个位为9，因此原始减数为4×10+9=49。淘气误将十位4看作7，个位9看作3，故错误减数为 7×10+3=73。错误减数比原始减数多：73−49=24。在减法中，减数被误增大，导致结果比正确值小。因此需将差值24加到错误结果164上：164+24=188。 15．哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 【答案】解：根据题意，可得 90-60=30； 9-6=3； 577-（30+3） =577-33 =544 答：这道题的正确答案应该是544 【解析】【分析】据题意可知，被减数十位上的6写成了9，差变大了，等于多加了30；减数个位上的9写成了6，减数减少了3，差就增大了3，9-6=3；所以，正确的差比现在的结果增加了30+3=33；然后用577减去增加的33就是正确的结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $