第04讲 算式之谜（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第04讲 算式之谜 知识点梳理 一、核心概念与方法 算式之谜：在残缺算式（横式/竖式）中，根据运算规则、数字特征（进位、退位、数字不重复、首位不为0等）推理填数或符号，使算式成立。 运算规则：加减乘除竖式/横式法则（如加法进位、减法退位、乘法错位相加、除法余数＜除数）。 数字特征：数字范围0-9，首位不为0，相同文字/字母代表相同数字（不同文字/字母代表不同数字）。 突破口：已知数字多的数位、个位（加减乘末尾）、首位（最高位）、特殊数字（0、1、9）。 二、核心题型与技巧 题型1：加法竖式谜 技巧：从个位加起，注意进位（标记“+1”）；数位数字和（加进位）=结果对应数位数字，和≥10则进位。 题型2：减法竖式谜 技巧：从个位减起，注意退位（标记“·”）；被减数数位数字（减退位）-减数对应数位数字=结果数字，不够减则借位（借1当10）。 题型3：乘法竖式谜 技巧：从个位乘起，乘数每一位与被乘数相乘，末位对齐；注意进位（如9×9进位8），相乘后加进位；首位已知时估算范围（如□3×4=1□2，□=3或4，试算得33×4=132）。 题型4：除法竖式谜 技巧：从最高位除起，商×除数≤被除数对应部分，余数＜除数；商已知时用“商×除数=被除数”反推（如1□8÷3=□6，3×46=138，被除数138）。 题型5：横式数字谜 技巧：确定运算顺序（先乘除后加减），填符号（+、-、×、÷）或括号；从结果倒推或“凑数法”（如□+□×□=10，1+3×3=10）。 题型6：文字/字母算式谜（数字不重复） 技巧：文字/字母代表0-9数字，不同文字/字母数字不同，首位不为0；从出现次数多的文字或特殊数位（如“爱+爱=爱”则“爱=0”）入手，结合进位/退位推理。 三、常见错误提醒 忽略进位/退位（如加法个位和15，漏十位加1）； 数字重复（文字谜中不同文字填相同数字）； 首位为0（如四位数千位填0）； 除法余数≥除数（如19÷5=3余5错误）； 乘法进位遗漏（如23×4，个位3×4=12进1，十位2×4+1=9漏加进位得82）。 例题讲解 一、加法竖式谜 例题1：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ 4 + 3 □ ------ 8 2 跟踪练习1：填□使竖式成立。 2 □ + □ 5 ------ 7 3 二、减法竖式谜 例题2：在□里填合适的数字，使竖式成立。 7 □ - □ 5 ------ 3 8 跟踪练习2：填□使竖式成立。 □ 2 - 2 □ ------ 4 5 三、乘法竖式谜 例题3：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ 3 × 4 ------ 1 □ 2 跟踪练习3：填□使竖式成立。 2 □ × 5 ------ □ 5 四、除法竖式谜 例题4：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ □ ------ 1 8 1 8 ------ 0 跟踪练习4：填□使竖式成立。 4 ------ □ 4 ------ 0 五、横式数字谜 例题5：在□里填运算符号（+、-、×、÷），使算式成立：5 □ 2 □ 3=13 跟踪练习5：在□里填运算符号，使8 □ 4 □ 2=0 六、文字/字母算式谜（数字不重复） 例题6：下面算式中，“学”“习”代表不同数字，求“学”和“习”各是几？ 学 习 + 学 习 ------ 5 4 跟踪练习6：下面算式中，“数”“学”代表不同数字，求“数”和“学”各是几？ 数 + 学 数 ------ 5 0 提升练习 1．在10口 10口 10口 10口 10的四个口中填入“＋”“﹣”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（　　） A．104 B．109 C．114 D．119 2．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，方框中的数是几？ 9○13○7=100 14○2○5=□ 3．如图，竖式中的“新”、“希”、“望”、“杯”四个字分别代表表不同的数字，且相同的汉字代表相同的数字。要使竖式成立，那么“新希望杯”表示的四位数是 。 4．如图算式中，每个汉字代表一个数字，但不能是0，2，3（因为算式中已经出现），不同汉字代表不同数字。则“”所代表的四位数最小是( )。 5．题图算式中的A，B，C分别代表不同的数字。式中的，和分别表示A，B和C的倒置数字（如6的倒置数字是9，1的倒置数字还是1）。那么A是( )，B是( )，C是( )。 6．在方框里填上适当的数，使得竖式成立。 7．如图数字谜中，相同的汉字表示的数字相同，不同的汉字表示的数字不同。那么“好玩”表示的两位数是( )。 8．在如图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把这个竖式完整地写出来。 9．求下列算式中●、◆、★、■分别代表的数。 10．在方格中填数字，使算式成立． 11．1塔湖图＋3泉映月＝5湖4海，在上面这个加法横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么四位数“5湖4海”最大是多少？ 12．用十个不同的数字组成下面加法算式，每个数字只能用一次，现已写出三个数字，请把这个算式补齐。 13．已知某个四位数的十位数字减去1等于个位数字，个位数字加上2等于百位数字，这个四位数的数字反序排列成的四位数与原数之和等于9878，则这个四位数是 。 14．用0~9这十个数字组成两个三位数和一个四位数，且每个数字恰好用一次，记这三个数的和为s，若s各个数位上的数字都是偶数，那么s最小是 。 15．下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第04讲 算式之谜 知识点梳理 一、核心概念与方法 算式之谜：在残缺算式（横式/竖式）中，根据运算规则、数字特征（进位、退位、数字不重复、首位不为0等）推理填数或符号，使算式成立。 运算规则：加减乘除竖式/横式法则（如加法进位、减法退位、乘法错位相加、除法余数＜除数）。 数字特征：数字范围0-9，首位不为0，相同文字/字母代表相同数字（不同文字/字母代表不同数字）。 突破口：已知数字多的数位、个位（加减乘末尾）、首位（最高位）、特殊数字（0、1、9）。 二、核心题型与技巧 题型1：加法竖式谜 技巧：从个位加起，注意进位（标记“+1”）；数位数字和（加进位）=结果对应数位数字，和≥10则进位。 题型2：减法竖式谜 技巧：从个位减起，注意退位（标记“·”）；被减数数位数字（减退位）-减数对应数位数字=结果数字，不够减则借位（借1当10）。 题型3：乘法竖式谜 技巧：从个位乘起，乘数每一位与被乘数相乘，末位对齐；注意进位（如9×9进位8），相乘后加进位；首位已知时估算范围（如□3×4=1□2，□=3或4，试算得33×4=132）。 题型4：除法竖式谜 技巧：从最高位除起，商×除数≤被除数对应部分，余数＜除数；商已知时用“商×除数=被除数”反推（如1□8÷3=□6，3×46=138，被除数138）。 题型5：横式数字谜 技巧：确定运算顺序（先乘除后加减），填符号（+、-、×、÷）或括号；从结果倒推或“凑数法”（如□+□×□=10，1+3×3=10）。 题型6：文字/字母算式谜（数字不重复） 技巧：文字/字母代表0-9数字，不同文字/字母数字不同，首位不为0；从出现次数多的文字或特殊数位（如“爱+爱=爱”则“爱=0”）入手，结合进位/退位推理。 三、常见错误提醒 忽略进位/退位（如加法个位和15，漏十位加1）； 数字重复（文字谜中不同文字填相同数字）； 首位为0（如四位数千位填0）； 除法余数≥除数（如19÷5=3余5错误）； 乘法进位遗漏（如23×4，个位3×4=12进1，十位2×4+1=9漏加进位得82）。 例题讲解 一、加法竖式谜 例题1：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ 4 + 3 □ ------ 8 2 答案：44 + 38 = 82 解析：从个位入手：个位4 + □ = 2，因为4＞2，所以个位相加有进位（4 + □ = 12），则□=12-4=8，个位向十位进1； 十位：□ + 3 + 1（进位）= 8，所以□=8-3-1=4； 验证：44 + 38 = 82，正确。 跟踪练习1：填□使竖式成立。 2 □ + □ 5 ------ 7 3 答案：28 + 45 = 73 解析：个位□ + 5 = 3，有进位（□ + 5 = 13），□=8，进位1； 十位2 + □ + 1 = 7，□=7-2-1=4； 验证：28 + 45 = 73，正确。 二、减法竖式谜 例题2：在□里填合适的数字，使竖式成立。 7 □ - □ 5 ------ 3 8 答案：73 - 35 = 38 解析：从个位入手：□ - 5 = 8，因为□＜5，所以需向十位借1（1□ - 5 = 8），则□=8+5=13→个位□=3，十位7借位后剩6； 十位：6 - □ = 3，所以□=6-3=3； 验证：73 - 35 = 38，正确。 跟踪练习2：填□使竖式成立。 □ 2 - 2 □ ------ 4 5 答案：72 - 27 = 45 解析：个位2 - □ = 5，需借位（12 - □ = 5），□=7，十位□借位后剩□-1； 十位（□-1） - 2 = 4，□=4+2+1=7； 验证：72 - 27 = 45，正确。 三、乘法竖式谜 例题3：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ 3 × 4 ------ 1 □ 2 答案：33 × 4 = 132 解析：从个位入手：3×4=12，个位填2，向十位进1； 十位：□×4 + 1（进位）= 1□（积的十位和百位），积的百位是1，所以□×4≥10（因为加1后得十几），试算□=3：3×4+1=13，积的十位填3，百位填1，符合1□2； 验证：33×4=132，正确。 跟踪练习3：填□使竖式成立。 2 □ × 5 ------ □ 5 答案：21 × 5 = 105 解析：个位□×5的个位是5，所以□=1或3或5或7或9； 积是三位数（□5是三位数，所以百位□≥1），2□×5≥100，20×5=100，所以□=1时，21×5=105，符合□5（百位1，十位0，个位5）； 验证：21×5=105，正确。 四、除法竖式谜 例题4：在□里填合适的数字，使竖式成立。 □ □ ------ 1 8 1 8 ------ 0 答案：138 ÷ 3 = 46 解析：商的个位是6，除数3×6=18，所以最后一步余数0正确； 商的十位是□，3×□=□□（被除数的前两位1□），3×4=12，3×5=15，试算3×4=12，被除数前两位12，第三位落8得128？不对，竖式中第二步减后余18，所以被除数前两位减3×□后余1，即1□ - 3×□=1，3×4=12，13-12=1，所以被除数前两位是13，商的十位是4； 验证：3×46=138，竖式成立。 跟踪练习4：填□使竖式成立。 4 ------ □ 4 ------ 0 答案：44 ÷ 2 = 22 解析：除数2，商的十位×2=4，所以商的十位=2； 被除数个位是4，商的个位×2=4，所以商的个位=2； 被除数=2×22=44，竖式中4-4=0，落4得4，2×2=4，余0，正确。 五、横式数字谜 例题5：在□里填运算符号（+、-、×、÷），使算式成立：5 □ 2 □ 3=13 答案：5 + 2 × 3=13 跟踪练习5：在□里填运算符号，使8 □ 4 ☑ 2=0 答案：8 - 4 × 2=0 解析：4×2=8，8-8=0，符合运算顺序（先乘后减）。 六、文字/字母算式谜（数字不重复） 例题6：下面算式中，“学”“习”代表不同数字，求“学”和“习”各是几？ 学 习 + 学 习 ------ 5 4 答案：学=2，习=7 解析：两个“学习”相加得54，即“学习”×2=54，所以“学习”=54÷2=27，因此学=2，习=7，且2≠7（数字不重复），符合题意。 跟踪练习6：下面算式中，“数”“学”代表不同数字，求“数”和“学”各是几？ 数 + 学 数 ------ 5 0 答案：数=5，学=4 解析：个位“数+数”的个位是0，所以“数”=0或5，“数”是一位数加数的十位（“数”在十位），不能为0，所以“数=5”； 个位5+5=10，向十位进1，十位“学 + 1（进位）=5”，所以“学=5-1=4”，且5≠4（数字不重复）； 验证：5 + 45=50，正确。 提升练习 1．在10口 10口 10口 10口 10的四个口中填入“＋”“﹣”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（　　） A．104 B．109 C．114 D．119 【答案】B 【分析】题目要求只填运算符号，不加括号；那么运算顺序是先算乘除，再算加减，要使运算的结果最大只要减的数最小即可。 【详解】因为减号只能用一次，减数不能为0，那么10÷10＝1做减数时，运算的结果最大： 10×10＋10－10÷10＝100＋10－1＝109 故答案为：B 2．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，方框中的数是几？ 9○13○7=100 14○2○5=□ 【答案】9＋13×7＝100，14÷2－5＝2 【详解】第一个等式中必须有乘号，经尝试得9＋13×7＝100，14÷2－5＝2．于是，长方形中的数是2 3．如图，竖式中的“新”、“希”、“望”、“杯”四个字分别代表表不同的数字，且相同的汉字代表相同的数字。要使竖式成立，那么“新希望杯”表示的四位数是 。 【答案】1469 【分析】先分析个位，杯×4的个位数字为6，因此杯可能是4，也可能是9。 先假设杯＝4，则望×3的个位数字为0，则望＝0。继续分析十位得：希×2的个位数字为0，则希＝0。由于四个字分别代表表不同的数字，因此这种情况不成立。 再假设杯＝9，则望×3的个位数字为8，则望＝6。继续分析十位得：希×2的个位数字为8，则希＝4。新＝1。均符合题目要求。 【详解】完成这个竖式为： 因此“新希望杯”表示的四位数是1469。 4．如图算式中，每个汉字代表一个数字，但不能是0，2，3（因为算式中已经出现），不同汉字代表不同数字。则“”所代表的四位数最小是( )。 【答案】1945 【分析】很明显千位数字如果是2，有重复，所以“鹏”＝1； 则“城”只能等于9，那么十位需要有进位1，然后进一步推断即可。 【详解】“鹏”＝1，“城”＝9； 这样0、1、2、3、9数字已经有了，要使鹏城杯赛”所代表的四位数最小，则“杯”最小只能等于4，那么“赛”最小只能等于5，还剩下数字6、7、8，则“评”＝8，“测”＝7。 ”所代表的四位数最小是1945。 5．题图算式中的A，B，C分别代表不同的数字。式中的，和分别表示A，B和C的倒置数字（如6的倒置数字是9，1的倒置数字还是1）。那么A是( )，B是( )，C是( )。 【答案】 1 9 8 【分析】根据数的书写特征，我们知道有倒置数的数包含：0，1，6，8，9，据此算式中的A，B，C从这几个数中来进行推断即可。 【详解】分类讨论： ①如果A是1，倒置A也是1；如果B是8，倒置B也是8；如果C是0，倒置C也是0， 此时的乘法竖式是：，不符合原题题意； ②如果A是1，倒置A也是1；如果B是6，倒置B也是9；如果C是8，倒置C也是8， 此时的乘法竖式是：，不符合原题题意； ③如果A是1，倒置A也是1；如果B是9，倒置B也是6；如果C是8，倒置C也是8， 此时的乘法竖式是：，符合原来题意。 因此A是1，B是9，C是8。（答案不唯一） 6．在方框里填上适当的数，使得竖式成立。 【答案】 【分析】因为余数是8，除数是一位数，可推断除数是9；倒推9×9＝81，则被除数个位为1＋8＝9；进而得出其他数据。 【详解】余数是8，则除数是9； 9×9＝81，81＋8＝89，可得： 8×9＝72，72＋8＝80，可得： 7．如图数字谜中，相同的汉字表示的数字相同，不同的汉字表示的数字不同。那么“好玩”表示的两位数是( )。 【答案】89 【分析】把竖式分成两部分相乘： 第一部分：2□好×玩＝□好7□； 第二部分：2□好×1＝□0□，可知第一个因数是20好；只能是20好×1＝20好； 得出第一个因数的十位是0，再代入第一部分：20好×玩＝□好7□；说明好×玩＝7□，即好×玩可能是8×9或9×8；即第一部分可能是208×9＝1872或209×8＝1672；因为“好”只能是8或9，所以可以确定第一部分应是208×9，所以“好”表示8，“玩”表示9。据此解答。 【详解】208×19＝3952 所以，好＝8，玩＝9，好玩表示的两位数是89。 8．在如图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把这个竖式完整地写出来。 【答案】见详解 【分析】最后的余数应该为0，即B＝0； D×D得到的乘积是个两位数且个位仍为D，满足条件的有：5×5＝25、6×6＝36，即D＝5或6； 再根据D×C的乘积也是两位数且个位为C，已知5乘上别的数字个位一定为0或5，都出现重复，排除，因此确定D＝6； 6×6＝36，说明E＝3； 40－36＝4，说明A＝4； 6×C＝，只有6×8＝48满足条件，说明C＝8，据此可写出竖式。 【详解】竖式如下： 9．求下列算式中●、◆、★、■分别代表的数。 【答案】见详解 【分析】通过观察可知，结果个位上的数字比加数的个位数字要小，说明个位相加时向十位进1，即6＋■＝12，据此可得■的结果；十位上相加也向百位进1，即7＋5＋1＝13，结果十位上的数字是3；百位相加向千位进1，即4＋9＋1＝14，结果百位上的数字是4；◆＋1＝3，据此可知◆的结果。 【详解】6＋■＝12 ■＝12－6＝6 7＋5＋1＝1 ★＝3 4＋9＋1＝14 ●＝4 ◆＋1＝3 ◆＝3－1＝2 【点睛】本题考查了三位数相加的进位加法，掌握相应的竖式计算方法是解答本题的关键。 10．在方格中填数字，使算式成立． 【答案】 【解析】略 11．1塔湖图＋3泉映月＝5湖4海，在上面这个加法横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么四位数“5湖4海”最大是多少？ 【答案】5547 【分析】题目要求四位数“5湖4海”最大是多少，我们只需满足高位上的数字尽量大即可，所以只需令“湖”从9开始，一次列举，即可推出答案来。 【详解】①令“湖”为9，同时百位需向千位进1，则“塔＋泉”需为19，由于不同的汉字代表不同的数字，因此“塔＋泉”最大为8＋9＝17，即使加上十位进1，也只有18，故不满足； ②令“湖”为8，则同样十位向百位进1，故“塔＋泉”为17，则“塔”和“泉”中必定有一个数字是8，与湖重合，矛盾； ③令“湖”为7，则“塔＋泉”为16，只能是9＋7或者8＋8，都与不同的汉字代表不同的数字矛盾； ④令“湖”为6，则“塔＋泉”为15，只能是8＋7，即“塔”和“泉”占据8和7两个数字，此时，十位上6＋映＝14或13，若等于14，则“映”为8，与前面冲突，若为13，则“映”为7，也和前面冲突； ⑤令“湖”为5，则“塔＋泉”为14，只能是8＋6，即“塔”和“泉”占据8和6两个数字，则“映”为9，个位上“海”最大为7，此时，3＋4刚好满足。 所以，四位数“5湖4海”最大是5547。 【点睛】此题主要考查数字迷中最值的情况，要想数字最大，我们首先需满足高位上的数字尽量的大，再结合题目要求，进行逐条分析，是解决这类题目的关键。 12．用十个不同的数字组成下面加法算式，每个数字只能用一次，现已写出三个数字，请把这个算式补齐。 【答案】764＋289＝1053或264＋789＝1053 【分析】三位数＋三位数＝四位数，可知：数字1必在和的首位。再根据第二个加数十位是8，和的十位是5，可得：第一个加数的十位上数字为6或7。对数字0，可能有□□4＋□80＝1□5□、□□4＋□8□＝105□，经检验，只有□□4＋□8□＝105□满足题意。对数字9，由于和为105□，只有□□4＋□89＝105□满足题意，此时算式为：□64＋□89＝1053，764＋289＝1053和264＋789＝1053均成立。 【详解】由分析可得：用十个不同的数字组成下面加法算式，每个数字只能用一次，这个算式是764＋289＝1053或264＋789＝1053 。 13．已知某个四位数的十位数字减去1等于个位数字，个位数字加上2等于百位数字，这个四位数的数字反序排列成的四位数与原数之和等于9878，则这个四位数是 。 【答案】1987 【分析】设这四位数是。这个四位数的数字反序排列成的四位数与原数之和等于9878，则。则d＋2＝b，c－1＝d。根据加法的算理，正序和反序个位相加是8，百位是相同的两个数相加也是8，但是结果是9。则百位需要进位1，同理，十位相加需要进位1，和的结果是7，即这两个数相加应该是17，8＋9＝17，分情况讨论，则得出个位和十位上的数，再根据百位和个位的关系，再根据和得出千位上的数字。 【详解】通过分析： 若十位是9，则个位是8，则只有8＋0若十位是9，则个位是8，则只有8＋0＝8，即千位的a只能是0，反序后这个数就不存在，故不符合题意； 若十位是8，则个位是7，则只有7＋1＝8，即千位的a是1，则百位的就是7＋2＝9，这个数是1987，反序后这个数是7891，符合题意。 1987＋7891＝9878 则这个四位数是1987。 【点睛】某些横式问题，可以转化为竖式问题求解；对于较复杂的多个横式问题，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手。 14．用0~9这十个数字组成两个三位数和一个四位数，且每个数字恰好用一次，记这三个数的和为s，若s各个数位上的数字都是偶数，那么s最小是 。 【答案】2088 【分析】s最小，则这三个数的个位数字尽可能的大，最高位的数字应该尽可能的小。这个四位数最高位应该是1，这个数字是奇数，所以百位相加应该向前进1。则s的最高位只能是2。0＋1＋2＋3＋…＋9＝45，45是9的倍数，则s也是9的倍数，因为s每一个数位上的数字都是偶数，每一位数字只能是0、2、4、6、8。所以s的数字和也是偶数。保证s的值最小百位的数可以是0。要保证各个数位的和是9的倍数，只有8和8相加再加上2的和是9的倍数。 【详解】0＋1＋2＋3＋…＋9＝45 8＋8＋2＋0＝18 349＋652＋1087＝2088，符合条件 那么s最小是2088。 【点睛】用0~9这十个数字组成任意的两个三位数和一个四位数，这三个数的和肯定是9的倍数。 15．下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是 ． 【答案】1068 【分析】主要利用大小估值的方法进行分析． 【详解】 ． 由． 所以12×89=1068 1 学科网（北京）股份有限公司 $