精品解析：辽宁省沈阳市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025－2026学年度（上）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中，只有一项是正确的） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 当点到直线的距离最大时，m的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 6. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 11. 如图，在多面体中，平面．四边形是正方形，且．分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上） 12. 经过点的圆的方程为___________. 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 14. 已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线过直线和的交点. （Ⅰ）若直线与直线垂直，求直线的方程； （Ⅱ）若原点到直线的距离为，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 （1）求圆的方程； （2）过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，，，，． （1）证明：； （2）在上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中，只有一项是正确的） 1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题. 5. 当点到直线的距离最大时，m的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值. 【详解】直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题. 6. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 8. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，得，故． 因为直线与平面所成角的正切值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，解得， 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为． 故选：D． 二、多项选择题（本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】举例说明必要性不成立可判断A；求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求解即可判断B；举出反例可判断C；当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程求解即可判断D. 【详解】对于A，当时，两直线为和， 此时两直线互相垂直，即充分性成立； 若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直， 因此必要性不成立，因此A错误， 对于B，直线即，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，故B正确； 对于C，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为， 在轴和轴上截距都为0，也符合题意，因此C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确. 故选：AC 10. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 11. 如图，在多面体中，平面．四边形是正方形，且．分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D. 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，, 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B，假设存在点，使得， 因为，， 所以，解得，不合题意，故B错误； 对于C，连接，， 因为， 点到平面的距离， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，当点运动到中点时，，又， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，故D错误. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上） 12. 经过点的圆的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数求解即可. 【详解】设圆的一般方程为，代入点可得： ，解得 故圆的一般方程为： 故答案为： 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 14. 已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析判断外接球的球心位置，再作出所求线面角，最后解直角三角形可得. 【详解】如图： 由，可得为直角三角形，同理也是直角三角形， 设的中点为O，由直角三角形的性质可得，， 所以，所以O为三棱锥的外接球的球心. 又三棱锥的外接球体积为，设球的半径为，则，得. 过O点作平面，则为的外接圆圆心，再由三角形为正三角形， 所以E为三角形的中心，设的外接圆的半径为， 由正弦定理，，即. 所以就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，，，所以. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线过直线和的交点. （Ⅰ）若直线与直线垂直，求直线的方程； （Ⅱ）若原点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）和. 【解析】 【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，可设所求直线方程为，将交点坐标代入直线方程得出的值，可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线与轴垂直时，得出直线的方程，计算原点到直线的距离，验证是否满足题意；在直线的斜率存在时，利用点斜式设出直线的方程，利用原点到直线的距离为，求出直线的斜率，可得出直线的方程． 【详解】（1）由，得交点， 由于直线与直线垂直，可设直线的方程为， 将交点坐标代入得，得，因此，所求直线的方程为； （2）如果直线轴，则直线的方程为，且原点到直线的距离为，合乎题意； 如果直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 原点到直线的距离为，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为和. 【点睛】本题考查垂直直线系方程以及点到直线距离公式的应用，对于过点的直线，一般要分两种情况，一种是与轴垂直时，即斜率不存在时，一种是斜率存在时，此时用点斜式来设直线方程，考查计算能力与公式的应用，属于中等题． 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，取中点，连接，， 在正三角形中，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面， ∴， 在梯形中，，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面，平面， ∴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ∵，， ∴且，且，平面，平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直； （2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 直线与平面所成角， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 （1）求圆的方程； （2）过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过点且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程； （2）设到直线的距离为，由面积求出，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论. 【小问1详解】 过点且斜率为1的直线为， 则圆心到直线的距离， 所以半径，则圆的方程为； 【小问2详解】 设到直线的距离为，则，解得， 若直线斜率不存在，方程为，满足题意； 若直线斜率存在，设为，直线的方程为， 因为，所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线方程为或. 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，，，，． （1）证明：； （2）在上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明： 如图，连接，因为四边形为菱形，则， 因为四边形为梯形，，则， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又因为平面， 所以，因为平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判断定理和性质定理，即可证明线线垂直； （2）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值，结合法向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，则 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，如图，以为原点，过点做的平行线为轴，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，， 所以，设， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 由题意平面的法向量， 所以，解得， 此时. 19. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点，连接，.如图： 因为为中点，所以且. 又且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，根据直线与底面所成角的正弦值最大，确定点位置，再求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且. 由，，，所以四边形为正方形， 所以，. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，. 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以平面， 因为平面，所以. 由，，可得. 由余弦定理，, 所以. 所以，，. 所以，. 设， . 底面的一个法向量为. 设直线与底面所成的角为， 则. 当时，； 当时，. 所以当时，取得最大值. 此时，. 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $