28.3 第1课时 圆心角及其性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

28.2过三点的圆 28.3圆心角和圆周角 1.C2.C 第1课时圆心角及其性质 3.5m+2n≠94.(2,0)5.D 1.B2.B3.D4.A5.54 6.(6,2)7.58.C9.C 6.证明：，OC=OD,.∠OCD=∠ODC. 10.(2,0) 1.,》 OA=OB,∴.∠OAC=∠OBD ∴.∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD. 12.解：如图所示. ∴.∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF. .AE=BF. 7.证明：如图所示，连接OC .D,E分别为⊙O的半径OA,OB 上的点，AD=BE,OA=OB, .OD=OE. 13.证明：如图所示，取BC的中点F,连接DF,EF. 点C是AB的中点，.AC=BC, .BD,CE是△ABC的高， ∴.∠AOC=∠BOC. ∴.∠BEC=∠BDC=90°， 又.OC=OC,∴.△DCO2△ECO(SAS), ∴.△BCD和△BCE都是直角三角形 .CD=CE. ∴.DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的 8.D9.B10.48°11.50 中线，.DF=EF=BF=CF.∴.E,B,C,D四点 12.证明：(1)如图所示，连接OC. 点C是优弧ACB的中点， 在以F点为圆心，BC的长为半径的圆上，即E, ∴.AC=BC,∴∠COD=∠COE. B,C,D四点在同一个圆上. .OA=OB,AD=BE, ..OD=OE..OC=OC, .△COD≌△COE(SAS), ..CD=CE. B (2)如图所示，连接OM,ON. 14.解：(1)如图所示，点O即为△ABC外接圆的圆心 △COD≌△COE, c-r--Al ∴.∠CDO=∠CEO, r-5-T ∠OCD=∠OCE -C .OC=OM=ON, ∴.∠OCM=∠OMC, ∠OCN=∠ONC, .∠OMD=∠ONE. (2)连接OC,如图所示 .∠ODC=∠DMO+∠MOD, ,BC=6,.一个网格的长为1， ∠CEO=∠CNO+∠EON, .OC=√1+33=√10，即⊙0的半径为√/10. ∴.∠MOD=∠NOE,∴.AM=BN 15.解：(1)设2x2+2y2=t, 13.解：AE=BF.理由：连接OC,OD,如图所示. 则原方程可变为(t+3)(t-3)=27, ∴.AC与BD相等，.∠COE=∠DOF. 解得t=士6. CE⊥AB,DF⊥AB,.∠CEO=∠DFO=90°. 2x2+2y2≥0，.2x2+2y2=6,.x2+y2=3. 又.OC=OD,∴.△OCE≌△ODF(AAS), (2)设a2十b2=t, ..OE=OF. 则原方程可变为t(t-4)=5, .'OA=OB,..AE=BF. 即t2-4t-5=0, 解得t1=5,t2=-1. a2+b2≥0，a2+b2=5,c2=5, ∴.c=√5（负值舍去）， Rt△ACB外接圆的半径为 2 35 14.解：(1)证明：连接OB,OC,如图所示. .AB=AC,..AB=AC. (AB=AC, 在△AOB与△AOC中，3OB=OC, OA=OA, ∴.△AOB≌△AOC(SSS), 15.解：(1)：OP∥CD, ∴.∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC. ∴.∠OPC=∠PCD=15. (2)连接AO并延长交BC于点E,如图所示. .OP=OC, AB=AC,AO平分∠BAC, .∠OPC=∠OCP=15°， AE⊥BC,BE=EC=4, ∴.∠POC=180°-∠0PC ..AB2-BE2=AE2,OB2=OE2+BE2. ∠0CP=150°. 设OA=x,则(4√5)2-4=(x+OE)2,x2= (2)如图所示，根据题意补全图 0E2+42, 形，连接PA,PB,OD,OA,G 解得x=5,OE=3,.半径OA的长为5. OB,AB. A .OC=OD, ∴.∠ODC=∠OCD=∠OCP+∠PCD=30°， ∴.∠C0D=120. .AB=CD, ∴.∠AOB=∠COD=120°， .1 第2课时圆周角定理及其推论 ∠APB=2∠AOB=60° 1.B2.4∠C与∠D∠A与∠B 第3课时圆内接四边形及其性质 3.B4.A5.90°6.B7.35 (含课程标准新增考查内容) 8.解：(1)AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°. 1.C2.C ,∠B=∠ACD=30°， 3.解：AB=CD,AB=CD, ∴.∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°. ..AB-BC=CD-BC,.'.AC=BD. (2)在Rt△ADB中，BD=√5AD=√3X√3=3. 9.B10.C11.A12.45°≤a≤90°13.10 ∠A=∠D,∴∠A=号∠ABC=50 14.解：(1)证明：连接OA,如图所示. 4.C5.C6.100° ,'PB=PM,.∠PMB=∠PBM. 7.证明：，四边形ABCD为圆的内接四边形， :∠PBM=号∠AOM=∠D, .∠A+∠BCD=180°. 又.∠BCE+∠BCD=180°，.∠A=∠BCE ∴∠PMB=∠D,∴.AD∥BM. .BC=BE, (2)如图所示，连接OB.设OC=x,BC=y. ∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E, .MN⊥AB,∴.∠BCO=∠BCM=90°. .AD=DE,△ADE是等腰三角形. 在Rt△OBC和Rt△BCM中，由勾股定理， 8.27°9.C10.B11.A12.57.5°13.90 -, 14.解：(1)，CB=CD, 得 ∴.∠CDB=∠CBD=40°. （侣+-6 由圆周角定理，得∠CAB=∠CDB=40°， ∠CAD=∠CBD=40°， 解得x=7, ∴.∠BAD=40°+40°=80°. (2)证明：，CE=CB, ∴MC=5- 718 55 ∴.∠CBE=∠CEB, ,∠ADP=∠ABM, ∴.∠1+∠CBD=∠2+∠CAB. 18 ∠BAC=∠BDC=∠CBD, sin∠ADP=sin∠ABM=CM_5_3 .∠1=∠2. BM 6 5 15.解：(1)证明：∠E=∠F,∠DCE=∠BCF, 且∠ADC=∠E+∠DCE, 3628.3圆心角和圆周角 第1课时 圆心角及其性质（答案P35) 通基>922>92>2>>2>2 6.如图所示，AB为⊙O的弦，点C,D为弦AB 上两点，且OC=OD,延长OC,OD分别交⊙O 知识点1圆心角的定义 于点E,F,求证：AE=BF 1.下列图形中的角，是圆心角的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2圆心角、弧、弦之间的关系 2.下列说法正确的有() ①等弦所对的弧相等；②在同圆或等圆中，相 等的弧所对的弦相等；③圆心角相等，所对的 易错对圆心角、弧、弦之间的关系理解不清， 弦相等；④等弦所对的圆心角相等。 出现错解 A.0个B.1个 C.2个 D.3个 7.如图所示，在⊙O中，D,E分别为半径OA, 3.如图所示，AB是直径，BC=CD=DE, OB上的点，且AD=BE,点C为AB的中点， ∠BOC=40°，则AE所对的圆心角的度数 连接CD,CE.求证：CD=CE. 为() A.30° B.40° C.50° D.60° 第3题图 第4题图 4.(2023·邪台期中)如图所示，已知在⊙O中， 通能力》2>>9>9% BC是直径，AB=DC,则下列结论不一定成立 的是() 8.如图所示，A,B是⊙O上的点，∠AOB= A.OA=OB-AB 120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则 B.∠AOB=∠COD 四边形ACBO的面积为( ) C.AB-DC D.点O到AB,CD的距离相等 5.抽象能力AB是⊙O的直径，C,D是AB上 两点，且AC,CD,DB的比为3：2：5(AC, CD,DB弧长之和为AB),则∠AOC= A.25 B.253C.253 D.253 4 2 优计学案·课时通 9.抽象能力如图所示，在三个等圆上各自有一13.如图所示，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O 条劣弧AB,CD,EF,如果AB+CD=EF,那 上，CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 么AB+CD与EF的大小关系是() AC与BD相等，问AE与BF相等吗？为 什么？ ← A.AB+CD-EF B.AB+CD>EF C.AB+CD<EF D.不能确定 10.如图所示，AB是⊙O的直径，BC=CD= DE,∠COD=32°，则∠AEO的度 数为 通素养》 14.如图所示，AB,AC是⊙O的两条弦，且 AB=AC. 第10题图 第11题图 (1)求证：AO平分∠BAC. 11.运算能力》如图所示，在△ABC中，∠C=90°， (2)若AB=4√5，BC=8,求半径OA的长， ∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径的圆交 AB于点D,则AD是 度 12.如图所示，在⊙O中，点C是优弧ACB的中 点，D,E分别是OA,OB上的点，且AD= BE,弦CM,CN分别过点D,E. (1)求证：CD=CE. (2)求证：AM=BN. 一九年级上册·数学：」 132