28.1 圆的概念及性质-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

第二十八章圆 大单元建构 圆的性质的应用 圆的概念及性质 垂径定理 过三点的國 间的计算● 圈心角及其性质 回周角定理及其推论 圆心角和圆周角 圆内接四边形及其性质 孤长和扇形面积的计算 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 抽象能力 通过问题情境，理解圆、弧、弦、等圆、等弧、圆心角、圆周角的概念 通过探究圆周角、圆心角和它所对的弧的关系，掌握圆周角定理及其结论，能够理解圆内接四边 运算能力 形的对角互补，求圆的相关角度与线段长度；能熟练地求弧长和扇形的面积 几何直观 根据几何图形，探究圆周角定理、垂径定理等的应用，直观感受圆的各部分内在联系 经历“不在同一条直线上的三点”确定一个圆的过程，理解三角形的内心和外心的含义，并能证明 应用意识 垂径定理及其推论，能够用以上内容解决实际问题 利用推理与证明，利用垂径定理建立数学模型，并能解决生活中的很多实际问题，感受数学与现 模型观念 实生活的密切联系 一力年级上帝数学山 126 28.1圆的概念及性质（答案34） 通基础 6.如图所示，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则 ∠MON等于 知识点1圆的定义 1.在平面内与点P的距离为1cm的点的个数 为() A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个 易镯三对圆的相关概念理解不清，出现错解 2.下列由实线组成的图形中，为半圆的是( 7.如图所示，图中有 条画出的直径， 条画出的弦.以点A为一个端点的优 弧有 条，劣弧有 条 B 知识点2圆的对称性 3.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一 个操作：“将一张圆形纸片沿着它的任意一条 直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相 重合”.由此说明() 通能力 A.圆的直径互相平分 8.如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列 B.过圆心的线段是直径 结论： C.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 ①以M为端点的弦只有一条： D.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线 ②以M为端点的直径只有一条： 都是它的对称轴 ③以M为端点的弧只有一条. 4.如图所示，在⊙O中，AB,CD为直径，连接 则( ) AC,AD,BC,BD,该图形的对称轴的条 A.①、②错误，③正确 数是( B.②、③错误，①正确 C.①、③错误，②正确 D.①、②、③错误 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 知识点3圆的有关概念 第8题图 第9题图 5.下列说法，不正确的是() 9.几何直观圆片向右滚动一周后的位置如图 A.过圆心的弦是圆的直径 所示，这个圆片的直径大约是() B.等弧的长度一定相等 B.1cm C.周长相等的两个圆是等圆 A.0.5 cm D.直径是弦，半圆不是弧 C.3.14cm D.无法确定 127 优十学课时渔 10.创新意识》如图所示，从 通素第99999993 A地到B地有两条路可 走，一条路是大半圆，另 13.探究拓展如图所示，⊙O的半径均为R, 一条路是4个小半圆.有一天，一只猫和一只 (1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴 老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半 对称图形而不是中心对称图形；请在图②中 圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿 画出弦AB,CD,使图②仍为中心对称图形. 着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速 (2)如图③所示，在⊙O中，AB=CD= 度相同，那么下列结论正确的是() m(0<m<2R),且AB与CD交于点E,夹角 A.猫先到达B地 为锐角a.求四边形ACBD的面积（用含m,a B.老鼠先到达B地 的式子表示) C.猫和老鼠同时到达B地 (3)若线段AB,CD是⊙O的两条弦，且 D.无法确定 AB=CD=2R,你认为在以点A,B,C,D 11.如图所示，AB-3cm,用图形表示：到点A的 为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四 距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm 边形？请利用图④说明理由. 的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的 点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果 不在，用虚线表示). 12.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD, AD=BC,将等腰梯形ABCD沿对角线AC 翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合. (1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说 明理由。 (2)当AB=4时，求此梯形的面积. 一九年级上饰数学 128」7.(1)(4,15) 13.解：(1)答案不唯一，如图①，②所示。 (2)4 D 第二十八章圆 28.1圆的概念及性质 1.A2.B3.D4.B5.D6.80 D 7.14448.C9.B10.C 11.解：如图所示. 1 2 (2)过点A,B分别作CD的垂线，垂足分别为 M,N,如图③所示. :Sm-2CD·AM=2cD·AE·sna 1 Sam-2CD·BN-2CD·BE·sina 1 CD·AE·sina+ 1 .S阳边形AkD=S△ACD十S△n= 12.解：(1)点C在以AB为直径的圆上.理由：如图所 cD:BE·ne= 2CD·(AE+BE)sina= 示，连接MD.由折叠的性质知∠DAC=∠BAC, 1 1 AD-AM. CD.AB.sin =m sin a. ,AB∥CD. (3)存在.分两种情况说明如下： .∠DCA=∠BAC. ①当AB与CD相交时，由(2)及AB=CD=√2R, ∠DAC=∠DCA. 1 ∴AD=CD 知S图边ACo=之AB,CD·sina=R'sin a: AD=AM, ②当AB与CD不相交时，如图④所示. ∴.CD=AM, ,,四边形AMCD是平行四边形， ∴.MC=AD. .'AM=BM, ∴.CD=BM. '.四边形BCDM是平行四边形， ∴.MD=BC. 3 ④ .AD=BC, ..MC=MD=MA=MB, .AB=CD=2R,OC=OD=0A=OB=R, .点C在以AB为直径的圆上 ∴.∠AOB=∠COD=90° 而SH边卷ABCD=SR△AOB十SR△0CD十S△AOD十 S△c=R2+S△oD+S△x: 延长BO交⊙O于点E,连接EC,设∠1，∠2，∠3， 则∠1+∠3=∠2+∠3=90°， (2)由(1)易得△AMD,△BCM是等边三角形， .∠1=∠2， AM=专AB=2.如图所示，过点D作DE LAB于 ∴.△AOD2△COE(SAS). .S△A0m=S△0cE, 点E,则AE=EM=1.由勾股定理，得DE= ∴.S△A0D十S△ioc=S△ccE十S△oc=S△BcE. √2-1=5. 过点C作CH⊥BE,垂足为H, :∠CMD=180°-∠AMD-∠BMC=60°， DM=CM, 则Sam=2BE·CH=R·CH, ∴.△CDM为等边三角形， ∴.当CH=R时，S△e取最大值R ..CD=DM=AD=2, 综合①、②可知，当∠1=∠2=90°， 即四边形ABCD是边长为√2R的正方形时， 梯形ABCD的面积为2×(2+4)XV5=35. S网边整ABD=R2十R2=2R2为最大值. 34 28.2过三点的圆 28.3圆心角和圆周角 1.C2.C 第1课时圆心角及其性质 3.5m+2n≠94.(2,0)5.D 1.B2.B3.D4.A5.54 6.(6,2)7.58.C9.C 6.证明：OC=OD,.∠OCD=∠ODC. 10.(2,0) 1,》 OA=OB,∴.∠OAC=∠OBD ∴.∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD. 12.解：如图所示. .∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF. ∴.AE=BF 7.证明：如图所示，连接OC ,D,E分别为⊙O的半径OA,OB 上的点，AD=BE,OA=OB, .OD=OE. 13.证明：如图所示，取BC的中点F,连接DF,EF. :点C是AB的中点，∴AC=BC, ,BD,CE是△ABC的高， ∴.∠AOC=∠BOC. ∴.∠BEC=∠BDC=90°， 又.OC=OC,.△DCO2△ECO(SAS), ..CD=CE. ∴.△BCD和△BCE都是直角三角形. .DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的 8.D9.B10.48°11.50 中线，∴DF=EF=BF=CF,∴E,B,C,D四点 12.证明：(1)如图所示，连接OC. ,点C是优弧ACB的中点， 在以F点为圆心，BC的长为半径的圆上，即E, ∴.AC=BC,.∠COD=∠COE. B,C,D四点在同一个圆上 .OA=OB,AD=BE, .OD=OE.OC=OC, ∴.△COD≌△COE(SAS), ..CD=CE. (2)如图所示，连接OM,ON. 14.解：(1)如图所示，点O即为△ABC外接圆的圆心. ,△COD2△COE, r-r-t- ∴.∠CDO=∠CEO, ∠OCD=∠OCE. .OC=OM=ON, ∴.∠OCM=∠OMC, .4 ∠OCN=∠ONC, .∠OMD=∠ONE. (2)连接OC,如图所示. ,∠ODC=∠DMO+∠MOD, ,BC=6,.一个网格的长为1， ∠CEO=∠CNO+∠EON, “.0C=√+3=√10，即⊙0的半径为√10. ∴.∠MOD=∠NOE,∴AM-BN 15.解：(1)设2x2+2y2=t, 13.解：AE=BF.理由：连接OC,OD,如图所示. 则原方程可变为(t十3)(t一3)=27， ∴.AC与BD相等，∴.∠COE=∠DOF. 解得t=士6. ,CE⊥AB,DF⊥AB,∴.∠CEO=∠DFO=90° 2x2+2y2≥0，.2x2+2y2=6,.x2+y2=3. 又，OC=OD,∴.△OCE≌△ODF(AAS), (2)设a2+b2=t, ..OE=OF. 则原方程可变为t(t一4)=5， .OA=OB,..AE=BF. 即t2-4t-5=0, 解得t1=5,t2=-1. a2+b2≥0，a2+b2=5,c2=5, ∴.c=5(负值舍去)， 六R1△ACB外接圆的半径为 2 35