26.4 第1课时 与仰角、俯角有关的实际问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

在Rt△EBG中， CE_40」 'sin∠EBC=sin∠ABF=EC EF ∴.BE= 5 tan30° =405(米)， 3 BE-BF+EF-13' 3 ,∴.13EF=5×12+5EF ∴.BE=AC=40√3米， 8EF=60.EF=15 2 ∴.两楼之间的距离AC为40√3米 (2)在Rt△BED中，∠DBE=37°， ∴.DE=BE·tan37°≈40√3×0.75=51.9（米）. CE=40米， GD ∴.DC=DE+CE=51.9+40≈92（米）， 9.解：号 大厦的高度CD约为92米 9.解：(1)延长PQ交直线AB于点C,如图所示. (2)如图所示，射线AP即为所求. ,在B点测得杆顶端点P的仰角是60°， 即∠PBC=60°， f-----T .∴.∠BPQ=90°-∠PBC=90°-60°=30° A w m∠PAC=呈-子 AB (2)设PQ=xm. 阶段检测三（26.1~26.3) ∠PBQ=∠PBC-∠QBC=30°， 1.A2.D3.B4.C ∴.∠PBQ=∠BPQ,则QB=QP=xm. 5.3652'6.>7.52 8.解：(1)sin47°≈0.7314. 在R1△BCQ中，BC=x·0s30°= 2x m, (2)sin1230'≈0.2164. (3)c0s18°59'27"≈0.9456. QC-2x m. (4)tan63°27≈2.0013. 在△ACP中，∠PAC=45°，∠ACP=90°， (5)sin48°+cos23°-tan52°≈0.3837. .∠PAC=∠APC,.CA=CP, 9.解：∠C=90°，MN⊥AB, ∴.∠C=∠ANM=90. 6+受-合十，搬得=2+6 又.∠A=∠A,.△AMN∽△ABC, .PQ=2√3+6≈9(m). 指 即该电线杆PQ的高度约为9m. 10.解：(1)：无人机从点A的正上方点C,沿正东方向 设AC=3x,AB=4x, 以6m/s的速度飞行15s到达点D, 由勾股定理，得BC=√AB2-AC=√7x, .CD=6×15=90(m). 在Rt△ABC中，cosB=BC-7x=V7 在RIAACD中，an∠ADCS, AB 4x 4 26.4解直角三角形的应用 .AC=CD·tan60°=90X√3=90√3(m), 第1课时与仰角、俯角有关的实际问题 ∴.无人机的高度AC是90√5m. 1.D2.C3.1254.A5.C6.A7.30√3 (2)如图所示，过点B作BF⊥CE于点F,则四边 8.解：(1)过点B作BE⊥CD,垂足为点E,如图所示. 形ABFC是矩形， ∴.BF=AC=90√3m,AB=CF. D口口口00 子帝下 CP60%D 37.E B137 309 E 0000000 B BF 在Rt△BEF中，tan∠BEF= EF’ A BF.90√3 .EF= 由题意，得AB=CE=40米，BE=AC tan37≈0.75 ≈207.6(m). 在Rt△BEC中，∠CBE=30°， ,CE=6×(15+50)=390(m), 23 ∴.AB=CF=CE-EF=390-207.6=182.4(m), ∴.隧道AB的长度约为182.4m. 第2课时与方向角有关的实际问题 1.C2.D3.D 4.解：(1)线段BQ与PQ相等.理由如下：由题意，得 ∠PQB=90°-41°=49°，∠BPQ=90°-24.5°= 依题意，得∠BAC=15°，∠ABC=135°， 65.5°，∴.∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°， ∠ACB=30°，∠ABD=45°， ∴.∠BPQ=∠PBQ,∴.BQ=PQ. 在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACB=30°， (2)连接AB.∠AQB=180°-49°-41°=90°， ∠PQA=90°-49°=41°， ADAC-30 km,tan 30 CD 3 ·AQ= P0240-3200(m). Fc0s41≈0.75 ∴.CD=30√6km. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠ABD=45°， 又.BQ=PQ=2400m, ∴∠BAD=45°，∠BAD=∠ABD, .AB2=AQ2+BQ2=32002+24002, ∴.AB=4000m,故A,B间的距离为4000m. ∴.AD=BD=30√2km,AB=√2AD=60km, 5.1006.(5√3+5) ∴.BC=(30√6-30√2)km, 7.解：(1)60 第一组用时：60÷40=1.5(h); (2)由题意，得∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB= 第二组用时：(30√6一30√2)÷30=√6一√2≈ 60°，AB=60海里.如图所示，过点B作BE⊥AC于 2.449-1.414=1.035(h). 点E,∠AEB=∠CEB=90°. 1.035<1.5, 第二组学生先到达目的地. 第3课时与坡度、坡角有关的实际问题 1.C2.A3.1:√330° 4.解：(1)如图所示，分别过点A,D作AM⊥BC, 63 DN⊥BC,垂足分别为点M,N.根据题意，可知 AM=DN=24米，MN=AD=6米. 在Rt△ABE中，∠ABE=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， 在R△ABM中.2行BM-2米 六AE=BE=A8·n45=60X号-0w2(海里 .AB2=AM2+BM2, .AB=√24+722=24√10（米）， 在Rt△CBE中，∠ACB=60°， 即背水坡AB的长度为24√10米。 tan∠ACB=BE (2)在Rt△DNC中， DN 1 CE' N=2…CN=48米， BE30√2 .BC=72+6+48=126(米)， ∴.CE tan60°-√3 =10√6（海里）， 即坝底BC的长度为126米. AD .AC=AE十CE=30W2十10√6≈66.9（海里）. 1:3 1:2 即A,C两港之间的距离约为66.9海里. 8.解：(1)由题意，得∠PAB=30°，∠PBD=60°， B MN ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°. 5.D6.B (2)由(1)可知∠APB=∠PAB=30°， 7.解：如图所示，延长AB交CE于点E,过点D作 ∴.PB=AB=40(海里). DF⊥CE于点F,则四边形BDFE是矩形， 如图所示，过点P作PD⊥AB于点D, BD=EF=2米，BE=DF. 在Rt△CDF中， 在Rt△PBD中，PD=BPsin60°=20√3（海里）. 山坡CD的坡度i=1；2, .20√5>30， ∴.设DF=x米，则CF=2x米 ∴.海监船继续向正东方向航行是安全的. .CE=CF+EF=(2x十2)米，AE=AB十BE= (4+x)米 60 在Rt△ACE中，tan∠ACE=AE CE =tan36.9°≈ 0.75, 9.解：第二组学生先到达目的地.理由：如图所示，过点 A作AD⊥BC交CB的延长线于点D. 2+2=0.75,解得x=5, 2426.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的实际问题（答案23） B 通基922>92>2>>2>2% 知识点与仰角、俯角有关的实际问题 P 1.(2023·石家庄裕华区月考)如图所示，在高出 7777771777777777 ntan a·tanB 海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一 A. B.mtan a·tang tan B-tan a tan a-tan B 艘小船B,并测得它的俯角为45°，则船与观测 m m D. 者之间的水平距离BC为( tana-tanβ tan B-tan a 5.(2023·承德月考)如图所示，小刚、小丽分别 A.1003米 B.50米 站在甲、乙两栋大楼的楼顶M,N处，观测地 C.100√2米 D.100米 面上的点P,测得俯角分别为66°，54°，则 ∠MPN=( ) 62 第1题图 第2题图 A A.36° B.24° C.60° 2.(2023·秦皇岛青龙一模)如图所示，小明在点 D.54° 6.（2023·石家庄新华区模拟)如图所示，在离铁 C处测得树的顶端A的仰角为62°，测得BC= 塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 10米，则树的高AB(单位：米)为( a,测倾仪高AD为1.4米，则铁塔的高BC A. 10 10 sin 62 B. 为( ) tan 62 C.10tan62° D.10sin 62 易错区未弄清俯角的定义，出现错解 3.如图所示，航拍无人机从A处测 100米 得一幢建筑物顶部C的仰角是 D 30°，测得底部B的俯角是60°，此 A1.4+10 00t)米B红.4+30)米 时无人机与该建筑物的水平距离 C.1.4+100)米 D.(1.4+100sina)米 sin a AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 7.如图所示，为了测量河宽AB(假设河的两岸平 米.（结果保留根号） 行)，在河的彼岸选择一点A,从点C看点A 通能力>>>>>2> 的仰角为30°，从点D看点A的仰角为60°.若 CD=60m,则河宽AB为 m.(结果 4.如图所示，一架飞机在点A处测得水平地面上 保留根号) 一个标志物P的俯角为a,水平飞行m千米后到 达点B处，又测得标志物P的俯角为B,那么 此时飞机离地面的高度为()千米. D 优计学案·课时通 8.抽象能力》如图所示，小亮利用所学的知识对 通素养 大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处 测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的 10.应用意识》如图所示，某地政府为解决当地 仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度 农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打 BA为40米（图中点A,B,C,D均在同一平 通一条东西方向的隧道AB,无人机从点A 面内). 的正上方点C,沿正东方向以6m/s的速度飞 (1)求两楼之间的距离AC.(结果保留根号) 行15s到达点D,测得A的俯角为60°，然后 (2)求大厦的高度CD.(结果取整数) 以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点 (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， E,测得点B的俯角为37° (1)求无人机的高度AC.(结果保留根号) tan37°≈0.75，√3≈1.73) (2)求隧道AB的长度.（结果精确到1m,参 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37≈0.75，√3≈1.73) B.137 0 口口口口 0000000 0 北 东 示示 CP60%D 37E B 9.如图所示，从地面上的点A看一山坡上的电线 杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走 6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30° (1)求∠BPQ的度数. (2)求该电线杆PQ的高度.（结果精确到1m,参 考数据：√3≈1.7，W2≈1.4) P 0 A B 一九年级上册·数学：山 98