第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

4 用因式分解法求解一元二次方程（答案P10) 通基础> 知识点2用适当方法求解一元二次方程 6.解方程7x（x一1)=x2一1的适当方 知识点1用因式分解法求解一元二次方程 法是() 1.方程x2-x=0的根是() A.直接开平方法 B.配方法 A.x=1 B.x=0 C.公式法 D.因式分解法 C.x1=1,x2=0 D.没有实数根 7.方程9(x十1)2一4(x一1)2=0的正确解 2.方程x(x一2)=x的根是() 法是() A.x=0 B.x1=3,x2=0 A.直接开方，得3(x十1)=2(x-1) C.x=3 D.x1=2,x2=0 B.化为一般形式，得13x2十5=0 3.关于x的一元二次方程x(x一3)=x一 C.分解因式，得[3(x+1)+2(x一1)]·[3(x十 3的根是 1)-2(x-1)]=0 4.方程3(x-5)2=2(x一5)的根是 D.直接得x十1=0或x-1=0 5.运算能力》用因式分解法解下列方程： 8.运算能力》用适当的方法解下列方程。 (1)(x-2)2=(2x-3)2; (1)5(x-1)2=125; (2)3.x(x+1)=3x+3; (2)x2-2x=2x-1; (3)x2-23x+3=0; (3)x2-√2x=2; (4)(3x-2)2=x2 (4)(x-5)2-8(x-5)+16=0. -九年级·上册·数学，B5 40 易错三因为方程两边同时除以含有未知数的 (1)尝试：分解因式：x2十+6x十8= 式子导致漏根 (x+ )(x十 ). 9.一元二次方程x2=2x的根是( ) (2)应用：请用上述方法解方程x2一3x一 A.x=2 B.x1=0,x2=2 4=0. C.x1=0,x2=-2 D.x=-2 通能力》99>>>>22>>>2% 10.解方程①x2-7=0;②9x2-7x-1=0; ③(2-3x)+3(3x-2)2=0.较简便的方法 是() A.依次为：直接开平方法、公式法、因式分 解法 B.依次为：因式分解法、公式法、配方法 通素第》9999 C.依次为：直接开平方法、因式分解法、因式 15.阅读例题，解答下题， 分解法 例：解方程：x2-|x-1一1=0. D.依次为：公式法，公式法，因式分解法 解：①当x-1≥0，即x≥1时，x2-(x-1) 11.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是 1=0,x2-x=0, 方程x2一6x十8=0的解，那么这个三角形的 解得x1=0(不合题设，舍去)，x2=1. 面积是() ②当x-1<0,即x<1时，x2+(x一1)一 A.10 B.12 C.10或12D.6 1=0,x2+x-2=0, 12.阅读理解》对于实数a,b,定义运算“⊙”： 解得x1=1(不合题设，舍去)，x2=一2. ab-b(a≥b), 综上所述，原方程的解是x=1或x=一2. a⊙b= 例如：5⊙3，因为5> la2-ab(a<6), 依照上例解法，解方程：x2+2x十2一4=0. 3,所以5⊙3=5×3-32=6.若x1,x2是一元 二次方程x2一3x十2=0的两个根，则x1 ⊙x2等于( A.-1 B.±2 C.1 D.±1 13.推理能力》关于x的方程ax2十bx+c=3的 解与(x-1)(x一4)=0的解相同，则a十 b十c的值为 14.阅读理解有多项式乘法：(x十a)(x十b)= x2+(a十b)x十ab,将该式从右到左使用，即 可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)·(x+b), 示例：分解因式：x2+5x+6=x2十(2+ 3)x+2×3=(x+2)(x+3). 41 优计学案·课时通形为菱形， 7.有两个不相等的实数根8.x1=2,x2=0 ∴方程有两个相等的实数根，·4m+17=0,解得9.解：(1)x2+3x+1=0, 只方程为-吕十-0，解得--只 a=1,b=3,c=1,△=9-4X1×1=5, 4 -3士√5-3士√5 15 .x= ·菱形的周长为4×《=15. 2×1 2 4用因式分解法求解一元二次方程 -3+√5 -3-√5 x1= 2x2= 2 1.C2.B (2)(2x-1)2=x(3x+2)-7, 3.x1=1,x2=3 整理，得x2一6x十8=0， 17 4.x1=5,x2=3 .(x-4)(x-2)=0, x一4=0或x-2=0,∴.x1=4,x2=2 5.解：(1)原方程可变形为 (x-2)2-(2x-3)2=0, (3)x2=22x+12,x2-2W2x-12=0, (x-2-2x+3)(x-2+2x-3)=0, .'a=1,b=-2√2，c=-12, (1一x)(3x-5)=0, △=(-2√2)2-4×1×(-12)=56， =1,-号 x=装6-E士， 2×1 (2)原方程可变形为 .x1=√2+14，x2=2-√14. 3x(x+1)-(3x+3)=0, 3x(x+1)-3(x+1)=0, (4)(x-3)2=2(3-x),(x-3)2+2(x-3)= (x+1)(3x-3)=0, 0,(x-3)(x-3+2)=0, x1=-1,x2=1. (x-3)(x-1)=0, x-3=0或x-1=0,.x1=3,x2=1. (3)原方程可变形为(x一√3)2=0， 10.解：将x=1代人方程ax2+bx十c=0,得a十b十c=0. x1=x2=√5. 又：a,b满足等式b=√a-3+√3-a+3, (4)原方程可变形为[(x一5)一4]2=0， ∴.a-3≥0,3-a≥0，.a=3, x1=x2=9. 6.D7.C .b=3,则c=一a一b=一6. 8.解：(1)两边都除以5，得(x一1)2=25. 11.解：x2-16x+60=0,(x-6)(x一10)=0， 两边开平方，得x-1=士5，解得x1=6,x2=-4. ,x1=6,x2=10, (2)移项，得x2一4x=一1， ∴.另一条直角边的长为√102一6=8， 配方，得x2-4x十4=3，即(x-2)2=3. 该三角形的面积=号×6×8=24 两边开平方，得x一2=士√3， 12.解：(1)关于x的方程x2-2(m十2)x十m2+5=0没有实数 即x-2=√3或x-2=-V3, 根，.△=[-2(m+2)]2-4×1×(m2+5)=16m-4<0,解 ∴.x1=2+√3，x2=2-√3. (3)原方程化为一般形式，得x2-√2x一2=0， 得m<子 a=1,b=-√2，c=-2, (2)分情况讨论：①若m十5≠0，则原方程是一元二次方程， 4=(-√2)2-4×1X(-2)=2+8=10>0, △=[-2(m+1)]2-4m(m+5)=4-12m. “x=2±1o :m< 2 即x,=2+1 .4一12m>0,.原方程有两个不相等的实数根. 2-√10 2 一x2 2 ②若m十5=0，则m=-5,原方程为8x-5=0,x= 5 8 (4)移项，得(3x一2)2-x2=0. ,原方程有一个实数根 因式分解，得(3x-2+x)(3x-2-x)=0, 13.解：(1)设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的 .4x-2=0或2x-2=0,x1=0.5,x2=1. 另一边长为(26-2x)m.依题意，得x(26-2x)=80,解得 9.B10.A11.D12.D13.3 14.解：(1)24 x1=5,x2=8.当x=5时，26-2x=16>12(舍去)，当x=8 (2)x2-3x-4=0,x2+(-4+1)x+(-4)×1=0, 时，26-2x=10<12. 答：当矩形鸡舍的长为10m,宽为8m时，鸡舍的面积为 ∴.(x一4)(x+1)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x1=一1， 80m2. x2=4. (2)由(1)知，靠墙的边长为10m或16m,∴.当a>16时，(1) 15.解：①当x十2≥0，即x≥-2时，x2十2(x+2)一4=0，x2十 2x=0,解得x1=0,x2=一2； 中的解有两个；当10≤a<16时，(1)中的解有一个，当a< ②当x+2<0,即x<一2时， 10时，无解. x2-2(x+2)-4=0,x2-2x-8=0, (3)当S=90m2时，x(26一2x)=90,整理，得x2-13x十 解得x1=4(不合题设，舍去)，x2=一2（不合题设，舍去）. 45=0,则△=b2-4ac=169-180=-11<0, 综上所述，原方程的解是x=0或x=一2. 故鸡舍面积不能达到90m2. 阶段检测一(1~4) 14.解：(1)x2+4x+3=(x+3)(x+1). (2)2x2+3x-20=(x+4)(2x-5). 1.A2.D3.A4.B5.C6.4 10