第二章 3 第2课时 公式法的实际应用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

第2课时 公式法的实际应用（答案P9) 通基础> 5.(教材P45习题2.6T2变式)如图所示，利用一 >>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一 知识点公式法在实际生活中的应用 个矩形场地ABCD.设矩形与墙垂直的一边 1.如图所示，在长为32m,宽为20m的矩形地面 AB=xm,矩形的面积为Sm2 上修建宽度相同且互相垂直的道路，余下部分 (1)用含x的式子表示S 进行绿化.若绿化面积为540m,则道路的宽 (2)若面积S=48m2,求AB的长 为() (3)能围成S=60m2的矩形吗？说明理由， A.1 m B.1.5m C.2.5m D.2 m 2.(2023·沈阳于洪区期中)如图所示，矩形绿地 的长为4m,宽为3m,将此绿地的长、宽各增 加相同的长度后，绿地面积增加了18m2,则绿 地的长、宽增加的长度为 m. 30m 易精三忽略实际问题中隐含的条件而出错 24m 6.如图所示，用长为22米的篱笆，一面利用墙 4m 第2题图 第3题图 (墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有 3.几何直观》如图所示，某小区有一块长30m、 一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建 宽24m的矩形空地，计划在其中修建两块相 造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽 同的矩形绿地，它们的面积之和为480m,两 为1米的两扇小门.若花圃的面积刚好为 块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则 45平方米，则此时花圃的AB段长为 人行通道的宽度为 墙14m 4.应用意识》在美化校园的活动中，某兴趣小组 想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 14m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱 通能力》>%>>>>>>>>> 笆只围AB,BC两边).若花园的面积为 48m,求AB的长度. 7.现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园 中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如 图所示，要使种植花草的面积为950m2,那么 小道的宽度应是( ) A.1m B.1.5mC.2m D.2.5m 一九年级·上册·数学，B5 36 8.空间观念》取一张长与宽之比为2：1的矩形 通素第>》沙》 纸板，剪去四个边长为20cm的小正方形（如 图所示)，并用它做一个无盖的长方体形状的 11.应用意识》某学校计划利用一片空地建一个 包装盒.要使包装盒的容积为12000cm3(纸 学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长 板的厚度略去不计)，则这张矩形纸板的 度为12米.计划建造车棚的面积为80平方 长为 米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总 30米 长为26米。 (1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行 20cm 24米 的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的 长和宽分别应为多少米？ 第8题图 第9题图 (2)如图所示，为了方便学生取车，施工单位 9.如图所示，准备在一块长30米、宽24米的长 决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停 方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直 放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽 的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个 度是多少米？ 正方形，且边长是小路宽度的4倍.若四条小 路所占面积为80平方米，则小路的宽度 为 米. 10.为了节省材料，某农场利用一段足够长的墙 体为一边，用总长为160m的围网围成如图 所示的①②③三块矩形区域，其中AE= 2BE.当BC边的长为何值时，矩形ABCD的 面积达到1200m2? 的 区域① 区域② 。 区域③ B 《37 优计学案·课时通一18.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=1代入方程，3.解：(1)由题意知，△=(2m十1)2-4(m-2)2>0, 得a十c-2b十a-c=0,则a=b,∴.△ABC为等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形.理由如下：根据题意，得△= 六20m-15>0,m>至.m-2≠0,5m≠2，放m的取值 (-2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,∴.△ABC为 直角三角形. 范图是m>且m≠2。 (3),△ABC为等边三角形，.a=b=c, (2)由题意知，△=(2m+1)2一4(m一2)2=0， 方程化为x2-x=0,解得x1=0,x2=1. 20m-15=0,m=年.m-2≠0，∴m≠2， 第2课时公式法的实际应用 3 1.D2.23.2m 故m的值是m=4 4.解：设AB的长为xm,则BC的长为(14-x)m. (3)由题意知，△=(2m+1)2-4(m-2)2<0, 依题意，得x(14一x)=48, 解得x1=6,x2=8. 20m-15<0,m<径.m-2≠0， 答：AB的长度为6m或8m. 5.解：(1)设矩形与墙垂直的一边AB=xm,矩形的面积为 六m≠2，故m的取值范围是m< 4· Sm2,则BC的长为(20-2x)m.根据题意，得 4.解：(1)八关于x的方程x2-(k十1)x+4 =0有两个不相 S=x(20-2x). (2)x(20一2x)=48,解得x=4或x=6,故AB的长为4m 等的实数根， 或6m. ∴△>0且及≠0，即[-(+1)门-4级×冬>0且质≠0，解得 (3)不能.理由如下：设矩形场地的宽为xm,则长为(20一 1 2x)m,依题意列方程x(20-2x)=60,即x2-10x+30=0, k>-2且k≠0 △=102一4×1×30=一20<0，方程无实数解，故矩形场地的 面积不能达到60m2. (2)存在，若方程的一个实数根是1，则k-(k+1)+ 40, 6.5米7.A8.100cm9,4 解得=4，符合条件. 即当k=4时，方程有一个实数根为1. 10.解：设BC=xm,BE=am,则AE=2am,AB=3am.根 5.解：(1)证明：.a=1,b=一m,c=-2m2, 据题意，得2x十8a=160, .b2-4ac=(-m)2-4X1×(-2m2)=9m2. ∴a=20-子，AB=a=(60-是+）m, ,不论m为何值，总有m2≥0，即9m2≥0，.b2-4ac≥0， ∴.不论m为何值，该方程总有两个实数根. (0子)=120. (2),x=1是x2-m.x-2m2=0的根，∴.1-m-2m2=0,即 2m2+m=1,.4m2+2m+5=2(2m2+m)+5=2×1+ 解得x1=x2=40. 5=7. ∴.当BC=40m时，矩形ABCD的面积为1200m2。 6.证明：方程x2+2x-m十1=0没有实数根， 11.解：(1)设与墙垂直的一面为x米，则另一面长为(26-2x十 ,△=22-4(-m+1)<0,∴.4m<0,.m<0. 2)米. :方程x2十mx=1-2m可化为x2+mx+2m-1=0, 根据题意得x(28-2x)=80, .△=m2-8m+4.m2>0,-8m>0, 整理得x2-14x+40=0, .m2-8m+4>0,∴.△>0， 解得x1=4,x2=10, ,方程x2十mx=1一2m一定有两个不相等的实数根， 当x=4时，28-2x=20>12(舍去)， 7.解：此三角形为直角三角形.理由如下：方程整理，得(b十c)· 当x=10时，28-2x=8<12, x2-2ax一(b一c)=0.,方程有两个相等的实数根， .长为10米，宽为8米 .△=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0, (2)设小路的宽为a米，根据题意得(8一2a)(10一a)=54, .a2十b2=c2,.此三角形为直角三角形. a2-14a+13=0, 8.解：方程有两个相等的实数根，.△=0，即(a十2)2 解得a1=13>10(舍去)，a2=1. 答：小路的宽为1米. 4x1x(-4a+7）=0, 专题三一元二次方程根的判别式的应用 ∴.a2+5a-24=0, 1.解：(1)y2-2y+1=0, ∴.a1=-8,a2=3.,a是正数，.a=3 在等腰三角形ABC中， :4=(-2)2-4×1×1=0, ①当b=5为底时，则a=c=3,此时△ABC的周长为3十3+ .此方程有两个相等的实数根 5=11. (2)(2x-1)2+x(x+2)=0, ②当b=5为腰时，c=b=5.此时△ABC的周长为 方程可变形为5x2一2x+1=0. 5+5+3=13.综上可知△ABC的周长为11或13. 4=(-2)2-4×5×1=-16<0, 9.解：(1)方程x2+(2m+1)x十m2一4=0有两个不相等的 ∴.此方程没有实数根。 实数根， 2.解：△=(2c)2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b). ∴.△>0，即(2m+1)2-4×1×(m2一4)>0， :a,b,c分别是三角形的三条边长， ..a+b>c,a+b+c>0;c-a-6<0, 如十17>0，解得m>呈当0>号时，方程有两个 ∴.4(c+a+b)(c-a-b)<0,即△<0， 不相等的实数根， .方程(a十b)x2+2cz+(a十b)=0没有实数根. (2),·方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边