2.3 用公式法求解一元二次方程 课件-- 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2.3用公式法求解一元二次方程 22200 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式. 2.能用公式法解数字系数的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等. 学习目标 22200 一级标题：黑体， 2 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 解：方程两边都除以 2，得 移项，得 x2 -2x = 3. 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1， 即 (x - 1)2 = 4. 两边开平方，得 x - 1= ±2. ∴ x1= 3，x2= -1. x2 - 2x - 3 = 0. 情境导入 22200 ①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解. 你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 顺序可换 你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？ 情境导入 22200 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程. 解：方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 能直接开方吗？ 新知讲解 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 能直接开方吗？ 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac≥0 时， 是一个非负数，此时两边才可以开平方. 开方，得 即 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程. 新知讲解 22200 6 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)， 当b2 - 4ac≥0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 求根公式 新知讲解 22200 例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x. 分析： ②判断 (1) ①找对应系数： a=1，b= -7，c= -18； b2 - 4ac≥0； ③代入求根公式即可. (2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1； ③判断 b2 - 4ac≥0； ④代入求根公式即可. 经典例题 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 解： (1) 这里a = 1，b = -7，c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = 9，x2 =-2. 例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x. 经典例题 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0 (2) 4x2 +1=4x 解： (2) 将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. ∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0， ∴ 即 经典例题 22200 (1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？ 分析：∵a = 1，b = -2，c = 3， ∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0. 你是怎么想的呢？ 根据求根公式的条件知：无法使用求根公式. x2 -2x + 3 = 0 配方，得(x-1)2 =-2 由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根. 新知讲解 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，当 b2-4ac＜0 时，它的根的情况是怎样的？ 当 b2 - 4ac < 0时， 没有意义. 所以当 b2–4＜0 时，此方程无根. 新知讲解 22200 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)， 当b2 - 4ac ＞ 0 时， 把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时， 方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac ＜ 0 时， 方程没有实数根. Δ=b2 - 4ac 新知讲解 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1) 2x2 + 5 = 7x； (2) 4x(x-1) + 3 = 0. 解：(1) 将方程化成一般形式： 2x2-7x + 5 = 0. Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0， ∴此方程有两个不相等的实数根. (2) 将方程化成一般形式： 4x2-4x + 3 = 0. Δ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0， ∴此方程没有实数根. 随堂练习 22200 解：(1) a = 2，b = -9，c = 8. ∵ b2 - 4ac = (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0， 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (3) 16x2 + 8x = 3； (4) x(x-3) + 5 = 0 . 随堂练习 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 解：(2) a = 9，b = 6，c = 1. ∵ b2 - 4ac = 62 - 4×9×1= 0， 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (3) 16x2 + 8x = 3； (4) x(x-3) + 5 = 0 . 随堂练习 22200 解：(3) 将方程化为一般形式，得 16x2+8x-3=0. a = 16，b = 8，c = -3. ∵ b2 - 4ac = 82 - 4×16×(-3)= 256 > 0， 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (3) 16x2 + 8x = 3； (4) x(x-3) + 5 = 0 . 随堂练习 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (3) 16x2 + 8x = 3； (4) x(x-3) + 5 = 0 . 解：(4)将方程化为一般形式，得 x2-3x+5=0. a = 1，b = -3，c = 5. ∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0， ∴ 方程没有实数根. 随堂练习 22200 3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺) 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 x2 + (x - 6.8)2 = 102 即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0. 解这个方程，得 x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去). ∴ x - 6.8 = 2.8. 答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺. 随堂练习 22200 学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的探究活动中，学生需要自主最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习逆定理应用不仅需要记忆公式，更需要掌握实验化的技巧。 求根公式： 用公式法求解一元二次方程 公式法： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 根的判别式： 当Δ=b2 - 4ac ＞ 0 时， 方程有两个不相等的实数根； 当Δ=b2 - 4ac = 0 时， 方程有两个相等的实数根； 当Δ=b2 - 4ac ＜ 0 时， 方程没有实数根. 课后总结 22200 $$