25.4 第1课时 相似三角形的判定定理1-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

21.证明：如图所示，在AB上截取AE=AD,DF= AD,连接EF,则AE=DF. :-780解得8D=智 BD 9 cm. 0 25.3相似三角形 1.C2.A3.C 4.解：∠A=30°，∠B=45°，.∠ACB=180°- ∠A-∠B=180°-30°-45°=105. .△ABC∽△CBD,.∠BCD=∠A=30°， ,AEDF,.四边形AEFD是平行四边形， ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=105°-30°=75. .'.AD=EF,..EF=AD=AE=DF. 5.解：四边形ABCD是矩形，.∠A=90°. 又，∠A=90°，.四边形AEFD是正方形 在Rt△ABE中，由勾股定理， AB-BC,AE=AD-BC. 得BE=√JAE&+AB=√92+6=3√/I3. BE-AB-AE-14/5 2 BC-BC-2C, △ABEADEF,是器即g-. .EF=13. 器2 6.C7.58.B9.48 10.解：EF∥BC,.△AGF∽△ADC, ∴矩形BCFE的长与宽的比是黄金分割比，矩形 BCFE是黄金矩形， AD-AC·同理可得△AEFO△ABC, AG AF ∴.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩 .AF_EF AG EF 形构成. Ac0DC,即C-4, 3=51 25.2平行线分线段成比例 第1课时平行线分线段成比例的基本事实 AG=号 1.D2.A3.C 11.B12.A13.614.2+√10 解：AD/BECF,铝e 15.解：(1).△ABC∽△ADE, .∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=180°- .AB_2 AC=3,DE=6,DF=9, ∠A-∠C=95. .EF=DF-DE=9-6=3. (2)S△ABC∽△ADE,.BC=A长， 5B69 ..DE_5 75+3DE=35 8 cm. 7解：0h,:B8音 16解：△ABC△DB,80合是 又.AB=6,CA=10,DE=15, ∴DE=ZEF=6. DE AB2 即号-品DF=25 (2):LzLg小EF=BC=3 BC=2AB=号×6=. 又：是器即号8+FC=2 2 17.解：，AB∥GH∥CD, .∴.AC=AB+BC=6+9=15. .∴.△CGH∽△CAB,△BGH∽△BDC, 第2课时平行线分线段成比例的基本事实的推论 8-B肥. 1A2C3.14A5 GHGH_CH.BH 6.解：(1)证明过程的剩余部分如下： “ABDC-CB+BC=1. CE∥DA, AB=2,CD=3, ÷8DB盼∠CAD-∠ACE,∠BAD-∠E, g性-1cH=号 AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, 25.4相似三角形的判定 ∠ACE=∠E,∴AE=AC,:.AB=BD 第1课时相似三角形的判定定理1 AC CD 1.C2.C3.C (2):AD是∠CAB的平分线，A5-BD 4.∠C=∠E或∠B=∠ADE AC CD 5.∠ADE=∠B(答案不唯一) .'AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, 6.证明：AD平分∠BAC, 12 ∴.∠BAD=∠CAD. 7.证明：(1)：∠BCE+∠BDE=180°， BE=BD,∴∠BED=∠BDE. 且∠ADE+∠BDE=180°， ∴.∠AEB=∠ADC. ∠BCE=∠ADE. ∴.△ABE∽△ACD. ∠DAE=∠CAB, 7.B8.D9.C10.B11.D12.5 ∴.△ADE∽△ACB. 13.解：，△ABC是等边三角形， (2)由(1)，得△ADE△ACB, .∠B=∠C=60°，AB=BC .CD BC-BD =9-3=6,/BAD+ 是治 ∠ADB=120°. 又，∠EAB=∠DAC, .'∠ADE=60°，∴.∠ADB+∠EDC=120°. ∴.△AEB∽△ADC. ∴.∠DAB=∠EDC 又∠B=∠C=60, 8D9.B10.3或号 △ABDO△DCE,2-80. 11.解：(1).AE=3,AC=12, .CE=AC-AE=12-3=9. 即9、3 .AB∥CD, 16=CE CD CE 解得CE=2. ·.△CDED△ABE,AB-AE' ∴.AE=AC-CE=9-2=7. ÷CD=AB:CE-6X9-18. 14.证明：，四边形ABCD是平行四边形， AE 3 ∴.ABCD,AD∥BC, ∴.∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC 公E明铝--0-是-日 :∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B, ∴.∠AFD=∠C,.△ADF∽△DEC. 铝怨 15.解：(1)证明：，CD⊥AB,EF⊥AE, ∠A=∠A,.△ABE△ACB, .∠FDG=∠FEG=90°. 12.证明：(1)AB=AC, ∴.∠DGE+∠DFE=360°-90°-90°=180°. ∴.∠B=∠C. 又∠BFE+∠DFE=180°，∴.∠BFE=∠DGE. .CF=BE,..CE=BF. 又∠DGE=∠AGC,∴.∠AGC=∠BFE. (AC=AB, 又∠ACB=∠FEG=90°， 在△ACE和△ABF中，了∠C=∠B, .∠AEC+∠BEF=180°-90°=90°，∠AEC+ CE=BF, ∠EAC=90°..∠EAC=∠BEF. .△ACE≌△ABF(SAS), ∴.△AGCn△EFB. ∴.∠CAE=∠BAF (2)有. (2).△ACE≌△ABF, :∠GAD=∠FAE,∠ADG=∠AEF=90°， .AE=AF,∠CAE=∠BAF ∴.△AGD∽△AFE ,AE2=AQ·AB,AC=AB, :∠ACB=∠ADC=90°， '.△ACDn△ABC,同理得△BCD∽△BAC. 福是即铝架 .△ACD△CBD, .△ACE∽△AFQ, 即△ACD∽△ABC∽△CBD. .∠AEC=∠AQF, 综上所述，△AGD∽△AFE, .∠AEF=∠BQF. △ACD∽△ABC∽△CBD. .'AE=AF, 第2课时相似三角形的判定定理2 ∴.∠AEF=∠AFE, 1.C2.D ∴.∠BQF=∠AFE. 3.(1)AF:AC(2)∠B ∠B=∠C, ∴.△CAFD△BFQ, 4,DF=6(答案不唯-)5.只 6.解：△ADEn△ACB.理由如下： ÷86G期CF·0=AF·0 AD=5,DB=7,AE=6, 13.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D EC-4.A5=1A .61 6+42'AB7+52’ 90',AB-AD-CD.AE-ED,DF-IDC, .AD AE ·ACAB AR=FD=名AB,nF-AR把-0 又'∠A=∠A,.△ADEC∽△ACB. .△ABE∽△DEF. 1325.4相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1（答案P12) 通基l9>9% 易错固对应关系理解不清，出现错解 6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC,E 知识点。两角对应相等的两个三角形相似 是AD上一点，且BE=BD.求证： 1.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°， △ABEp△ACD. 另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则 这两个三角形() A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定 2.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB于点D,则下列说法错误的是() A.△ACD△CBDB.△ACD△ABC C.△BCD△ABC D.△BCD∽△BAC D 第2题图 第3题图 3.如图所示，D,E分别是△ABC边AB,AC上 的点，∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6, AC=4,则AE的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2023·秦皇岛青龙期中)如图所示，∠1= 7.下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的 ∠2，请补充一个条件： ,使 是() △ABC∽△ADE. A.都含有60°角 B.都含有45°的角 C.都含有90°的角 D.都含有120°的角 5.推理能力》如图所示，在△ABC中，点D,E8.阅读理解》定义：从三角形的一个顶点引出一 分别为边AB,AC上的点，试添加一个条件： 条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把 ,使得△ADE与△ABC相 这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的 似.（写出一个即可） 两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么 我们称这条线段为原三角形的相似线.在 △ABC中，∠A=30°，若过顶点B能画出两条 相似线，则∠B的度数可能是( ) A.60° B.75 C.90° D.120° 一九年级上册数学： 58 9.如图所示，∠1=∠2，DE∥AC,则图中的相似14.如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为 三角形有( ) BC边上一点，连接DE,点F为线段DE上一 点，且∠AFE=∠B.求证：△ADF△DEC. 2 A.2对 B.3对C.4对 D.5对 10.如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的中 线，BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长 为() A.4 B.4√2 C.6 D.4√3 11.如图所示，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中 相似三角形共有() 通素第》沙>9沙29% 15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB,垂足为点D,E为BC上一点，连 接AE,过点E作EF⊥AE交AB于点F. A.1对B.2对C.3对 D.4对 (1)求证：△AGCp△EFB. 12.如图所示，在矩形ABCD中，过点D作DF⊥ (2)除(1)中相似三角形，图中还有其他相似 AC,垂足为点F,延长DF交边AB于点E, 三角形吗？如果有，请把它们都写出来。 在图中一定和△DFC相似的三角形有 个 13.如图所示，在边长为9的等边三角形ABC 中，BD=3,∠ADE=60°，求AE的长. 59 优计学案·课时通一