第二章 1 第1课时 一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

第二章一元二次方程 大单元建构 项及系数， 定文》 认识一元 二次方程 〔配方法 根与系数 两根之和 一元二次 (公式法】 方程的解法 的关系 (两根之积 (因式分解法 几何图形问题 一元二次方程 连续增长率问题 4ac>0 类型 利润问题 根的 数位问题 b2-4ac=0 判别式 应用 动点问题 b2-4ac<0 步骤) 审→设→列→解→验→答 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有 抽象能力 效数学模型 利用几何图形面积公式探究出一元二次方程概念的过程，借助几何直观可以把复杂的数学问题 几何直观 变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路 运用几何图形面积公式探究出一元二次方程.在探究的过程中，感受数学知识之间的联系，形成 推理能力 有依据、有条理、合乎逻辑的思维习惯，进一步提高逻辑推理能力 运算能力 掌握一元二次方程的解法，进行解一元二次方程的运算 应用意识 通过熟悉各数量间关系，建立一元二次方程的关系式，联系实际解决具体问题 通过丰富的实例，让学生合作探讨，提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该 模型观念 模型解决实际问题 27 优计学案·课时通 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程（答案P7) 易帽固忽略一元二次方程中的隐含条件“a≠0” 7.(2023·常州期中)已知关于x的一元二次方 知识点1一元二次方程的定义 程(a一1)x2+x十a2一1=0的常数项是0，则 1.下列方程是一元二次方程的是() a的值为() A.x2-1=2 B.x(x-1)=x2+1 A.1 B.2 C.-1 D.1或-1 x C.5x2-6y-2=0 D.x(x-1)=0 通能力》>22>>9>22%% 2.方程(a-2)x2+ax+b=0是关于x的一元二 8.若关于x的一元二次方程(3a一6)x2+(a2 次方程，则a的取值范围是( ) 4)x十a+9=0没有一次项，则a的值 A.a≠0 B.a≠2 为(). C.a=2 D.a=0 A.2 B.-2 C.±2 D.士3 知识点2一元二次方程的一般形式 9.几何直观如图所示，小明同 3.方程2x2十1=3x的二次项系数和一次项系数 学用一张长11cm,宽7cm的 分别为() 矩形纸板制作一个底面积为 A.2和3 B.2和-3 21cm的无盖长方体纸盒.他将纸板的四个角 C.2和-1 D.2和1 各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折 4.(2023·沈阳铁西区期中)若关于x的一元二 叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为 次方程(a十2)x2一3ax十a-6=0的常数项为 xcm,则可列出关于x的方程为 0,则a的值为 10.已知方程(m-3)xm-7+(m-2)x十5=0. 知识点3根据实际问题列一元二次方程 (1)当m为何值时，方程是一元二次方程？ 5.(2023·哈尔滨中考)为了改善居民生活环境， (2)当m为何值时，方程是一元一次方程？ 某小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的 长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空 地的长为x米，根据题意，所列方程正确的 是( ) 通素养 ◆>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> A.x(x-6)=720 11.试证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+ B.x(x+6)=720 2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元 C.x(x-6)=360 二次方程. D.x(x+6)=360 6.抽象能力某校截止到2022年底，校园绿化面 积为1000平方米.为美化环境，该校计划 2024年底绿化面积达到1440平方米.利用方 程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为 x,则依题意列方程为 一九年级·上册·数学，B的 28(2)在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°， (2):(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元一次方程， BC=6,∴，△BCD为等边三角形，∴.AD=DB=CD=6, ∴.①当m2-7=1时，m=士2√2，此时 ∴.AB=12,由勾股定理得AC=6√3， m一3≠0，m一2≠0，m-3十m-2≠0，符合题意 四边形DBCE是平行四边形，.DE=BC=6. ②当m一3=0且m一2≠0时，解得m=3. ∴.S菱形ADCE AC·ED_63×6-=185. 故当m为3或士2√2时，方程是一元一次方程. 2 2 11.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， 11.证明：a2-8a十20=(a-4)2+4≥4，.无论a取何值， ∴.AD=BC,∠DBC=∠ADB=45°. a2一8a十20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都 .'CG∥AP,.∠BGC=∠BFP. 不会等于0，.关于x的方程(a2-8a十20)x2+2ax+1= .'∠BFP=∠AFD,∴.∠AFD=∠BGC 0,无论a取何值，该方程都是一元二次方程. I∠AFD=∠BGC, 第2课时一元二次方程的解的估算 在△ADF和△CBG中，{ ∠ADB=∠CBD, 1.D2.5 AD=BC, 3.解：当x=0时，a2-1=0,解得a1=-1,a2=1. ∴.△ADF≌△CBG(AAS). 又：原方程为一元二次方程，∴.a≠1，.a=一1. (2)四边形AGCF是菱形.理由如下： 4.C5.x=46.A7.B8.x=-3 连接AC,设AC与BD交于点O,如图所示， 9.解：根据题意知a2=3a十4，∴a2-3a=4,则 D (a+4)(a-4)-3(a-1)=a2-16-3a+3=a2-3a-13 4-13=-9. 10.(1)31121.61.7 (2)1.7 2用配方法求解一元二次方程 ,四边形ABCD是正方形， 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 ,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 由(1)知△ADF≌△CBG, 1.B2.A3.-√34.4或-2 .DF=BG,..OB-BG=OD-FD 5.解：(1)两边开平方，得x-1=6或x-1=-6, ..OG=OF..OG=OF,OA=OC, 解得x1=7,x2=一5. .四边形AGCF为平行四边形. (2)两边同除以2，得(x一1)2=8. :AC⊥FG,,平行四边形AGCF是菱形. 两边开平方，得x一1=士2√2， 【通中考】 .x1=1+22,x2=1-22. 12.C13.2514.√2 (3)移项，得(2y一3)2=64. 15.证明：(1)∠ABO=∠DCO=90°，AB/CD,∠A=∠D. 两边开平方，得2y一3=±8， 在△AOB与△DOC中， 即2y一3=8或2y-3=-8, ∠A=∠D, ∠ABO=∠DCO, y1=5.5,y2=-2.5. OB=CO, 6.C7.D8.(x-4)2=99.13 ∴.△AOB≌△DOC(AAS), 10.解：(1)移项，得x2-6x=15, ∴.AO=D0. 配方，得x2-6x十9=15+9，(x-3)2=24, 点E,F分别是AO,DO的中点， 开方，得x-3=±26， ∴0E=0A,0F=0D∴0E=0F. ∴.x1=3+2V6,x2=3-2W6. (2)移项，得x2+2x=3, (2)OB=OC,OE=OF,.四边形BECF是平行四边形 配方，得x2+2x十1=3十1，(x十1)2=4， “∠A=30,∴0B=20A=0E.:0E=0F,0B=0C, 开方，得x+1=士2， ,BC=EF,.平行四边形BECF是矩形 x1=1,x2=-3. 第二章一元二次方程 11.±612.D13.C 14.1或-315.2 1认识一元二次方程 16.解：(1)整理，得(y十2)2=12， 第1课时一元二次方程 两边开平方，得y+2=士2√3 1.D2.B3.B4.65.A 6.1000(1+x)2=1440 y1=25-2,y2=-2W3-2. 7.C8.B （8移项，得x-号1 9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)：(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元二次方 配方，得-号+（侣》=1+（层）月 程，m2-7=2且m-3≠0，解得m=一3. 故当m为一3时，方程是一元二次方程. 即(》广-9