第一章 专题一 特殊平行四边形中的折叠问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

直角的直角三角形的条件时，四边形AECF是正方形. ∴.∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 .∠EBF=∠DBC=60° AECF是矩形，已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，则 又BE=BF, ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，.AC⊥EF,. ∴.△BEF是等边三角形， 矩形AECF是正方形. ∴，EF=BE=BF.当BE⊥AD,即E为AD的中点时，BE有 专题一特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2.B3.54.√5+15.2或25-2 最小值V个一-7-25，此时△55F的面积为×(2,5)- 6解：，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处， 35. ..EG=AE, .△BEG的周长为EG+BE+BG=AB+BG. 4B5(3,) ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， 6.解：如图所示，取AB的中点E,连接OE,DE,OD.OD≤ ∴.AB=AD,∠DAB=60°， OE十DE,∴当O,D,E三点共线时，点D到点O的距离最 ∴.△ABD是等边三角形，AB=BD=2十6=8， 大，此时OD=OE+DE. .△BEG的周长为8+6=14. .AB=2,BC=1, 7.B8.B9.3 40 ∴OE=AE=2AB=1, 10.证明：(1)由折叠的性质，得CD=ED,BE=BC. DE=√AD+AE=√12+1严=√2， ,四边形ABCD是矩形， ∴.OD的最大值为w2十1. ∴.AD=BC,AB=CD,∠BAD=90°， M ..AB=DE,BE=AD. 又BD=BD, ∴.△ABD≌△EDB(SSS), ∴.∠EBD=∠ADB,∴.BF=DF. (2).AD=BE,DE=AB,AE=AE, ∴.△AED≌△EAB(SSS), 7.B8.D9.C10.3√5-3 ∴∠AEB=∠EAD=号1S0-∠AFE). 11.解：(1)结论：AM⊥BN 证明：四边形ABCD是正方形， 由1)知，∠EBD=∠ADB=2(180-∠BFD. ∴.AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°. .BM=CN, N∠AFE=∠BFD, ∴.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AEB=∠EBD,.AE∥BD ∴.∠BAM=∠CBN. 11.B12.60120 ∠CBN+∠ABN=90°， 13.解：(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°.△AEM的 .∠ABN+∠BAM=90°， 周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM. ∴.∠APB=90°，∴.AM⊥BN. :AB=AD=4,M是AD的中点， (2)如图所示，以AB为斜边向外作 .△AEM的周长为4+2=6(cm). 等腰直角三角形AEB,∠AEB= (2)EP-AE+DP. 90°，作EF⊥PA于点F,作EG⊥ E 理由如下：如图所示，取EP的中点 M PB交PB的延长线于点G,连 G,连接MG,则在梯形AEPD中，MG 接EP. 为中位线， G :∠EFP=∠FPG=∠G=90°， MG=2(AE+PD).在R△EMP .四边形EFPG是矩形， ∴.∠FEG=∠AEB=90°， 中，MG为斜边EP的中线，∴.MG= B ∴.∠AEF=∠BEG. 1 P,EP-AE+DP. 又：∠EFA=∠G=90°，EA=EB, '.△AEF≌△BEG(AAS), 专题二特殊平行四边形中的最值问题 ∴.EF=EG,AF=BG, 1.A2.5 .矩形EFPG是正方形，.PA+PB=PF十AF+PG一BG 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4, =2PF=2EF」 ∴.△ABD,△CBD都是边长为4的等边三角形. EF≤AE,∴.EF的最大值为AE=2√2， .AE+CF=4,..CF=4一AE=AD-AE=DE」 ∴.△APB周长的最大值为4十4√2， 在△BDE和△BCF中， 本章综合提升 (DE=CF, ∠BDE=∠C=60°， 【本章知识归纳】 BD=BC=4, 相等垂直垂直相等一半直角 ∴.△BDE≌△BCF(SAS),'.BE=BF 直角相等一半相等直角相等 (2)·△BDE≌△BCF,∠EBD=∠FBC, 直角直角相等相等垂直平分 相等垂直直角相等专题一特殊平行四边形中的折叠问题（答案5） 类型1菱形中的折叠问题 5.如图所示，点E是菱形ABCD边AB的中点， 1.如图所示，折叠菱形纸片ABCD,使点C落在 点F为边AD上一动点，连接EF,将△AEF DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经 沿直线EF折叠得到△A'EF,连接A'D,A'C. 过点D的折痕DE.若∠A=60°，则∠DEC的 已知BC=4,∠B=120°，当△A'CD为直角三 度数为( ) 角形时，线段AF的长为 A.30° B.45° 6.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=120°， C.60° D.75° 将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的 点G处（不与点B,D重合），折痕为EF.若 DG=2,BG=6.求△BEG的周长. 第1题图 第2题图 2.如图所示的是一个对角线长分别为6和8的 菱形ABCD,O为对角线的交点，过点O所在 的直线折叠菱形，使点B落在点B'处，点C落 在点C'处，折痕是MN.若B'M=1,则CN的 长为() A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图所示，若菱形ABCD的面积为2√3cm2, ∠A=120°，将菱形ABCD折叠，使点A恰好 翻类型2矩形中的折叠问题 落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF,则 7.如图所示，在矩形ABCD中，点E在边CD EF= cm. 上，将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边 BC上的点F处.若∠BAF=60°，则∠DAE的 大小为( A.10° B.15° C.20 D.25° 4.如图所示，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E, F分别在AB,CD边上，将菱形沿EF折叠，点 D A,D的对应点分别是A',D',且A'D'经过B 点.若A'E⊥AB,则 DF CF 第7题图 第8题图 8.如图所示，E为矩形ABCD的边AB上一点， 将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED边上 的点F处.若BE=1,BC=3,则CD的长 为() B 第4题图 第5题图 A.6 B.5 C.4 D.3 一九年级·上册·数学，5 18 9.几何直观》如图所示，在矩形ABCD中，AD= 12.如图所示，四边形ABCD是一个正方形，点E, 12,点E是AB边上的点，AE=5,点P在AD F分别是AB和CD的中点，将三角形沿MD 边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点 和CN折叠后交于点G,则∠CGD= A'的位置，连接A'D,当点A'与点D的距离最 ∠MGN= 短时，△A'PD的面积为 13.推理能力如图所示，将边长为4cm的正方 形纸片ABCD沿EF折叠（点E,F分别在边 AB,CD上)，使点B落在AD边上的中点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P, 10.如图所示，将矩形纸片ABCD沿对角线BD 连接EP」 折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F, (1)求△AEM的周长， 连接AE (2)判断线段EP,AE,DP之间的数量关系， 求证：(1)BF=DF. 并说明理由.（在梯形中，梯形中位线的长等 (2)AE∥BD, 于上底与下底长和的一半) 类型3正方形中的折叠问题 11.如图所示，在边长为12的正方形ABCD中， E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至 △AFE,延长EF交BC于点G.则BG的长 为() A.5 B.4 C.3 D.2 D M N B G B--------- 第11题图 第12题图 19 优计学案·课时通一