24.2 第3课时 因式分解法-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第3课时 因式分解法（答案P6) 通基仙> (4)x2-6x=-9. >>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2023·承德平泉期末)方程x2=x的解是( A.x=1 B.x=0 易縉三不能正确掌握解方程的方法，造成错解 C.x1=1,x2=0 D.x1=0,x2=-1 6.一元二次方程(x一2)(x+7)=0的根是 2.抽象能力》已知一元二次方程的两根分别为 通能力》299> x1=3,x2=一4，则这个方程为( A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0 7.嘉嘉在解方程x(x一3)=x一3时，只得到一 C.(x十3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 个解是x=1,则他漏掉的解是() 3.用因式分解法解下列方程： A.x=3 B.x=-3 (1)3x(x-2)=2(x-2); C.x=0 D.x=-1 8.(2023·廊坊广阳区期末)三角形两边的长分 别是3和4，第三边的长是方程x2一9x十18= 0的一个根，则该三角形的周长为() (2)(x十2)2=2x+4. A.10或13 B.13 C.10 D.以上都不对 9.创新意识》某节数学课上，老师让学生解关于 x的方程x(x+5)=2(x+5),下面是三位同 学的解答过程： 知识点2”用适当的方法解一元二次方程 4.解方程(5x一1)2=3(5x-1)的最适当的方法 小逸 小明 小琛 是() 整理，得x2+ 移项，得 3x=10. A.直接开平方法 B.配方法 x(x+5)-2(x+ 配方，得x2+3x十 C.公式法 D.因式分解法 5)=0, 两边同 5.用适当的方法解下列方程. 10+号 9 4 .(x+5)(x-2) 时除以 (1)(y+2)2=1; =0, (x+5), +}- .x+5=0或 得x=2. 7 .x十2 士2’ x-2=0, ∴.x1=一5. (2)x2-2x=4; .x1=2,x2= x2=2. 5, 下列说法正确的是( (3)4(x-1)2-9(3-2x)2=0; A.只有小明的解法正确 B.只有小琛的解法正确 C.只有小逸的解法错误 D.小逸和小琛的解法都是错误的 -九年级·上册·数学： 30 10.(2023·石家庄桥西区模拟)已知直线y=x+13.(2023·廊坊安次区月考)解方程： n的图像如图所示，则关于x的方程x2十 (1)x2+8x=9; mx=n的根是( (2)3x2-5x=2. 1-20124 通素养9>9>9%沙》 A.1,5 B.2,3 14.阅读理解》小张与小林一起解方程x(4x一1) C.1,-5 D.1,-6 6(4x-1)=0. 11.已知一个直角三角形的两条直角边的长分别 小张将方程左边因式分解，得(4x一1)· 为a,b(a≠b),a,b恰好是方程x2一14x+ (x一6)=0.所以4x一1=0或x一6=0.所以 48=0的两根，那么这个直角三角形斜边上的 1 高为 方程的解为x1=4x2=6. 12.下面是李华用因式分解法解一元二次方程的 小林的解法是这样的： 过程，请仔细阅读，并完成相应的问题， 移项，得x(4x一1)=6(4x一1)， 解一元二次方程：3x(3x一1)=1一3x, 方程两边都除以(4x一1)，得x=6. 解：原方程可以化简为3x(3x-1)=一(3x一 1).…第一步 小林说：“我的方法多简便，可另一个解x-} 两边同时除以(3x一1)，得3x=一1.…第 哪儿去了？” 二步 (1)小林的解法正确吗？你能解开这个谜吗？ 系数化为1，得x=了…第三步 (2)解方程：(2y-1)2=3(1-2y). (1)李华的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误 (2)请完成这个方程的正确解题过程： 31 优计学案·课时通一(8x-2)=4,5x-2=±2，，=6+23 移项，得x2-2x=24. 3 配方，得x2-2x十1=24十1. √6-2√3 即(x-1)2=25. 3 开方，得x-1=士5. 16.解：设3x-1=y,原方程变为y2-y=6.配方，得 解得x1=6,x2=-4. y-y号-号+6，即(-”-华两边开平方， 17.解：(1).四边形ABCD是菱形，.AB=AD 义：AB,AD的长是关于x的方程2一mx+受 得y或y号-=39=-2 15 =0的两个实数根。 1 4 1 ·3x-1=3或3x-1=-2,解得x=3或x=-3, 小原方程的解为无-号，=一号 1 62-ac=（-m)°-4×（份）= (m-1)2=0, 第2课时公式法 ∴.m=1,∴.当m为1时，四边形ABCD是菱形 1.B2.B3.C4.D5.246.m≤1 当m=1时，原方程为22-x十=0， 7.解：(1)这里a=2,b=3,c=-4. 即( 1 .b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0, ）=0,解得x1=x2=2, .原方程有两个不相等的实数根 (2)方程移项，得16x2-24x十9=0. 这里a=16,b=-24,c=9. 菱形ABCD的边长是 (2)把x=2代入原方程， :b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0, .原方程有两个相等的实数根. 得4一2m+空}=0，解得m=5 24 2 8.B 9.解：(1)这里a=1,b=4,c=-3. 将m=号代入原方程，得-号+1=0， .b2-4ac=42-4×1×(-3)=28>0, 1 :x=二42图=-2士7， x1=2,x2=2’ 2×1 ·方程的另一根为AD= 即x1=-2十√7，x2=-2-√7 2 (2)这里a=3,b=-√3，c=-6. 口ABCD的周长是2X(2+)-5. :b2-4ac=(-√3)2-4X3X(-6)=75>0, 第3课时因式分解法 z=B±v历-V±55 1.C2.A 2×3 6 3.解：(1)原方程变形为3x(x-2)-2(x-2)=0, 即x1-,z2=-23 2 3 即(3x-2)(x-2)=0,x1=3x2=2. (2)原方程可化为(x十2)=2(x+2), 10.2x1=x2=211.C (x+2)2-2(x+2)=0, 12.x1-2+3,x2-2-√313.9 (x+2)(x+2-2)=0, 14.k>2k≤2且k≠1 x(x十2)=0. 15.解：(1)原方程整理，得2x2+4x一5=0.这里a= 得x=0或x+2=0. 2,b=4,c=-5..b2-4ac=56>0,∴.x= .x1=0,x2=-2. 4.D -4±W5 ,即x1=-2+4,x,=二2,4 4 2 2 5.解：(1)两边开平方，得y+2=士1. .y1=-1,y2=-3. (2)原方程变形为x2-2√2x-1=0.这里a=1, (2)移项，得x2一2x-4=0.这里a=1, b=-2√2，c=-1..b2-4ac=(-22)2-4× b=-2,c=-4. 1X(-1）=12>0,.x=25,t2-2±5，即 ,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=20>0, 2×1 2士√20 x1=√2+√5，x2=√2-√3. .x= 2×1 =1土5， 16.解：(1)四x=-6±B-4ac .x1=1十√5，x2=1-5, 2a (3)原方程变形为[2(x-1)]2-[3(3-2x)]=0, (2)x2-2x-24=0, .[2(x-1)+3(3-2x)][2(x-1)-3(3-2x)]= 6 0.整理，得(7-4x)(8x-11)=0.∴.7-4x=0,或 方，得x-2=士√3，x=2土√3.x1=2十√3，x2= 7 11 8x-11=0.x1=4x2=8 2-5. (3)原方程可化为(y-1)2-2y(y-1)=0,(y一 (4)移项，得x2-6.x十9=0，则(x-3)2=0, 1)(y-1-2y)=0,(y-1)(-y-1)=0,得y-1= ∴.x1=x2=3. 0,或-y-1=0.∴y1=1,y2=-1. 6.x1=2,x2=-7 13.解：(1)证明：(k-2)2-4k×(-2)=(k+2)2≥0， 7.A8.A9.C10.D11.4.8 ∴.不论为何值，这个方程都有两个实数根. 12.解：(1)二 (2)kx2+(k-2)x-2=0(k≠0)， (2)3x(3x-1)=-(3x-1), 2 3x(3x-1)+(3x-1)=0, (kx-2)(x十1)=0，解得x1=友x:=-1. (3x-1)(3x+1)=0, 3x-1=0或3x+1=0, :该方密的两根均为整数号为能数。 所以x1-3=子 1 ∴.整数k为士1或士2. 14.解：(1)①③ 13.解：(1)x2+8x=9, (2)证明：，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) x2+8x-9=0, 为“和谐方程”，.b=a十c, (x+9)(x-1)=0, ∴.b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0， x+9=0或x-1=0, “和谐方程”总有实数根。 解得x1=一9，x2=1. (3)一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)为“和 (2)3x2-5x=2, 谐方程”，∴b=a十c. 3x2-5x-2=0, ,和谐方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的 (3x十1)(x-2)=0, 实数根，∴.b2-4ac=(a十c)2-4ac=(a-c)2=0, 3x十1=0或x-2=0, ∴.a=c. 1 解得x1=一3x2=2. 15.解：(1)a2-3a-1=0(a≠0) (2)设x2+2x=y,原方程化为y-y-6=0,解得 14.解：(1)小林的解法不正确.理由：小林在方程两边 y1=3,y2=一2.当y=3时，即x2十2x=3,解得 同除以含有未知数的代数式4x一1时，认定了 x=1或x=-3;当y=-2时，即x2+2x=一2， 4x-1≠0，忽视了4x一1=0的情况，所以漏掉了 x2+2x十2=0，b2-4ac=4-8=-4<0,无解.综 1 x=4这个解。 上所述，原方程的解为x1=1,x2=一3. 24.3一元二次方程根与系数的关系* (2)移项，得(2y-1)2-3(1-2y)=0, (课程标准变动内容) 即(2y-1)2+3(2y-1)=0. 1.A2.C3.A4.C5.1 .(2y-1)(2y-1+3)=0. 6.解：，x1x2=2,两根互为倒数，2=1.解得=1 .2y-1=0或2y+2=0. 或-1. 1 y1=2y2=-1. 方程有两个实数根，.(k一2)2一4k2≥0. 当k=1时，(k一2)2一4k2<0,应舍去， 阶段检测一（24.1~24.2) 故k的值为-1. 1.B2.C3.B4.B5.B6.B 7.解：(1)由题意，得(2m-1)2-4(m2-3)≥0， 7.a≥48.149.010.k<4.5 11.解：，m是方程x2-x一2=0的一个实数根， 解得m<号 .m2-m-2=0,.m2-m=2,m2-2=m, (2)当m=2时，方程为x2+3x十1=0， m-mv是+）-8×n2+-2x x1十x2=一3，x1x2=1.,方程的根为x1,x2, x+3x1+1=0,x+3x2+1=0,.(x+2x1)· (网+1=2x1+1)=4. (x+4x2+2)=（x员+2x1+x1-x1)(x2+3x2+ x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)=(-1-x1)· 12.解：(1)这里a=2,b=-4,c=-5. (x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2 .b2-4ac=(-4)2-4X2X(-5)=56>0. 3-2=1. 4士√564士2√14_2士√14 .x= 8.解：(1)证明：.b2-4ac=(-8)2-4X1×(-k2)= 2×2 4 2 64十4k2>0,.方程有两个不相等的实数根， 2+142-√14 (2)由题意，得x1十x2=8,且x1+2x2=7, ∴.x1= 2x2= 2 解得x1=9,x2=一1.将x2=一1代人原方程， (2)配方，得x2-4x+4=3,即(x-2)2=3.两边开平 得(-1)2-8×(-1)-k2=0,解得k=±3.