第一章 3 第1课时 正方形的性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

3 正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第1课时 正方形的性质（答案P4) 通基922>92>2>>2>2% 6.(2023·宁夏中考)如图所示，在边长为2的正 方形ABCD中，点E在AD上，连接EB,EC, 知识点正方形的性质 则图中阴影部分的面积是 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质 是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 7.(教材P21随堂练习T2变式)如图所示，在正 D.对角线互相垂直平分 方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接 2.(2023·自贡中考)如图所示，边长为3的正方 BP,DP. 形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的 (1)求证：BP=DP 坐标是() (2)如果AB=AP,求∠ABP的度数. A.（3,-3) B.（-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) B 第2题图 第3题图 3.如图所示，O为正方形ABCD对角线AC的中 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE 的长度为( ) A B.√6 C.22 D.2√3 4.如图所示，将三个同样的正方形的一个顶点重 合放置，那么∠1的度数为 40 30 5.如图所示，点E在正方形ABCD的边CD上. 若△ABE的面积为8，CE=3,则线段BE的 长为 易错固对点的位置考虑不全面 8.在正方形ABCD中，点E为直线BC上一点， 若AE=2BE,则∠DAE= -九年级·上册·数学，B5 通能力》沙>% 通素养》99 9.(2023·河北中考)如图所示，在Rt△ABC中， 12.推理能力》如图所示，四边形ABCD是正方 AB=4,点M是斜边BC的中点，以AM为边作 形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且 正方形AMEF.若SE方形AMEF=16,则S△ABC= EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分 () 线CF于点F. A.4√5 B.8√3 C.12 D.16 (1)如图①所示，取AB的中点H,连接HE 求证：AE=EF. (2)如图②所示，若点E是BC延长线上（除 B C点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证 第9题图 第10题图 明过程；如果不成立，请说明理由. 10.(2023·枣庄中考)如图所示，在正方形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E 为BC上一点，CE=7,F为DE的中点，若 △CEF的周长为32，则OF的长 为 11.(2023·绍兴中考)如图所示，在正方形ABCD 中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不 重合)，GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂 足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 15 优计学案·课时通一3正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第2课时正方形的判定 第1课时正方形的性质 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一) 1.A2.C3.B4.20°5.56.2 4.解：四边形PQEF是正方形， 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AD=AB, 理由：在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF,AB=BC= ∠DAP=∠BAP=45°.在△ABP和△ADP中，AB=AD, CD=DA, ∠BAP=∠DAP,AP=AP,∴.△ABP≌△ADP(SAS), '.BP=QC=ED=FA」 .BP=DP」 又∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， (2)'AB=AP,.∠ABP=∠APB ',△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF(SAS) 又.∠BAP=45°，∴.∠ABP=67.5° ∴.FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB,∴.四边形PQEF 17 为菱形. 8.60或120°9.B10.2 :∠PQB+∠BPQ=90,∠APF+∠BPQ=90°， 11.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥CD, ∴.∠FPQ=90°， ∴.∠ADE=∠GEC=90°， .菱形PQEF为正方形 .AD∥GE,∴.∠DAG=∠EGH. 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. (2)AH⊥EF.理由：连接GC交EF于点O,如图所示. BD为正方形ABCD的对角线， D 理由：四边形ABCD为平行四边形，OC=OA=2AC, .∠ADG=∠CDG=45°.又.DG G 人 DG,AD=CD,.△ADG≌△CDG OB=OD=2BD.:分别以点B,C为圆心，2AC,2BD H (SAS),.∠DAG=∠DCG.在正方形 长为半径画弧，两弧交于点P,∴.OB=CP,BP=OC,∴.四边 ABCD中，∠ECF=90°.又GE⊥CD, 形BPCO为平行四边形. GF⊥BC,.四边形FCEG为矩形， (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 .OE=OC,∴.∠OEC=∠OCE, :AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，平行四边形BPCO为矩形 ∴.∠DAG=∠OEC.由(1)，得∠DAG=∠EGH, .∠EGH=∠OEC,∴.∠EGH+∠GEH=∠OEC+ AC=BD,0B=号5D,0C=2AC,∴0B=0C,矩形 ∠GEH=∠GEC=90°，∠GHE=90°，.AH⊥EF. BPCO为正方形. 12.解：(1)证明：如图①所示，设∠1，∠2. 6.B7.D8.D9.4 .四边形ABCD是正方形，AE⊥EF,AB=BC, 10.解：(1)证明：由翻折的性质可知： ∴.∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°， △ADE≌△GDE,△DCF≌△DGF, ∴∠1=∠2.点H,E分别是边AB,BC的中点， ∴.AD=DG=DC,∠A=∠DGE=90°，∠C=∠DGF= .BH=BE=AH=CE, 180°-90°=90° :∠B=90°，∴.四边形ABCD是矩形 ·∠BHE=45.·∠FCG=2∠DCG=45°， ,DA=DC,∴，矩形ABCD是正方形 ∴.∠AHE=∠ECF=135°. (2)设AE=EG=x,则BE=6-x. 在△AHE和△ECF中， 点F是BC的中点，BF=FC. 1∠1=∠2， .AB=BC=6,..BF=FC=GF=3, AH=CE, ∴.EF=x+3,BF=3.在Rt△BEF中， ∠AHE=∠ECF, .EF2=BE2++BF2, '.△AHE≌△ECF(ASA) .(x+3)2=(6-x)2+32,x=2, ..AE-EF. AE的长为2. 11.解：(1)OE=OF 证明：MN∥BC,∴.∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.又 .CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,∴.∠OCE=∠BCE, ∠OCF=∠DCF,.∴.∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ..EO=CO,FO=CO,..OE=OF. (2)不可能.理由：如图所示，连接BF.,CE平分∠ACB, CF平分∠ACD, (2)AE=EF仍然成立. 1 1 证明：如图②所示，延长BA到点M,使AM=CE ∠ECF=7∠ACB+Z∠ACD=(ZACB+∠ACD)= .∠AEF=90°，∴.∠FEG+∠AEB=90°. 90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC,但在△GFC中，不 ,∠BAE+∠AEB=90°， 可能存在两个角为90°，.不存在四边形BCFE为菱形. ∴.∠BAE=∠FEG, .∠MAE=∠CEF,,AB=BC, ∴.AB+AM=BC+CE, 即BM=BE,∴.∠M=45°， ∴.∠M=∠FCE D 在△AME和△ECF中， (3)当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形. I∠MAE=∠CEF, 理由如下：，当点O运动到AC的中点时，AO=CO. AM=CE, 又EO=FO,.四边形AECF是平行四边形.，FO=CO， I∠M=∠FCE, ..AO=CO=EO=FO,..AO+CO=EO+FO,AC= ∴.△AME≌△ECF(ASA), EF,∴.平行四边形AECF是矩形. ∴.AE=EF. (4)当点O运动到AC的中点，且满足△ABC是∠ACB为