第一章 2 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

.△ABC≌△AOG, BE∥CF,.∠BEH=∠CFH. ∴.∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， ∴.AC⊥EF,.平行四边形AECF是菱形 |∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，∴.EF=CD=3,CF=DE BH=CH, CD⊥BE,∴.EF⊥BE, ∴.△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE2+EF=5. (2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,·四边形ABCD是平行四 △BEH≌△CFH,.BE=CF,EH=FH.BE∥CF, 边形， .四边形BFCE是平行四边形 ∴.AB=DC,AB∥DC. 又BH=EH,.BC=EF,.四边形BFCE是矩形 ,四边形ABEF是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 ∴.AB=FE,AB∥FE,BF=AE, .DC∥FE,DC=FE, 1.D2.A3.C4.25°5.2 1 .四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：△AOB为等边三角形，∴OA=OB,四边形 .CE∥DF,CE=DF. ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,.OA=OB= .AC=BF=DF,..AC=AE=CE, OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 .△ACE是等边三角形， (2)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60.CE∥DF, .AC=2AB=8,.BC=√82-4=4V3.矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60° 面积为4√3×4=16√3. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC= AC,OB=OD=号BD.'AE⊥BD于点E,DFLAC于 1 点F,.∠AEO=∠DFO=90°.在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO,∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS),..OA=OD,..AC=BD, 第2课时矩形的判定 ,平行四边形ABCD是矩形. 1.D2.90° (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BAD= 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.AD∥ 90°，OA=OB,.∠OAB=∠OBA.AE⊥BD于点E, CE.AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 ∴.∠AEO=90°..∠BAE:∠EAD=2:3,∴.∠BAE=36°， 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. ∴.∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴.∠EA=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18°， 6.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB= ∴.∠AOE=90°-∠EAO=90°-18°=72° CD,∴.∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 .CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：，FD∥CA,BC∥DE,∴.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又，∠C=90°， ∴.△ABF≌△ECF(AAS). ∴.平行四边形ECFD为矩形. (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.,AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,.四边形ABEC是平行四边形. 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, ·AD=AE=BC,∴.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 ∴.EF=√CE2+CF2=2√5. 的平行四边形是矩形). 7.D :SARCP-2 XCF·CE= 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， 1 ∴.∠BAD+∠ABC=180°， XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, .CH=CF CE_45 EF 5, ∴.∠BAF+∠ABF=90°， ∴.∠AFB=90°，∴.∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，∴，四边形EFGH是矩形. 点C到EP的E海为g5 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°，.BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：，AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又∠B=90°，.平行四边形ABQP是 ∴.∠B=∠ACB,AD⊥BC.,AE平分∠FAC, ∴.∠FAE=∠EAC.∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形. .∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥BC.又DE∥ 此时，t=8-t,解得t=4. 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，∴.AE∥BD,AE=BD (2).AP=CQ=8-t,APCQ,.四边形AQCP是平行四 .AD⊥BC,AB=AC,,BD=DC,.AE∥DC,AE=DC 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设t秒后， .四边形ADCE是平行四边形.又∠ADC=90°，∴.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即√/4+t2=8一t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：点H是BC的中点， 解得t=3. ∴.BH=CH 答：当t=3时，四边形AQCP是菱形，第3课时 矩形的性质与判定的综合运用（答案3） 通基础> 6.(教材P18习题1.6T1变式)如图所示，平行四 >>>>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 知识点矩形的性质与判定的综合运用 △OAB是等边三角形. 1.下列说法正确的是() (1)求证：平行四边形ABCD为矩形 A.对角线相等的四边形是矩形 (2)若AB=4,求四边形ABCD的面积. B.矩形的对角线互相垂直 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相平分且相等 2.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD= 55°，则∠OCD的度数为( A.35° B.40° 7.(2023·重庆云阳期中)如图所示，在平行四边 C.45 D.50° 形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 3.如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点， AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE=DF. DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=12, (1)求证：平行四边形ABCD是矩形 BD=16,则OE的长为( (2)若∠BAE：∠EAD=2：3,求∠AOE的 度数 A.8 B.9 C.10 D.11 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,且OA=OB,∠OAD= 65°.则∠ODC= B 5.如图所示，在矩形ABCD中，M为AD边的中 点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E,PFI MB于点F,当AB= BC时，四边形 PEMF的形状为矩形， 一九年级·上册·数学，B5 12 通能力922 通素养》99 8.如图所示，点P是Rt△ABC斜边AC(不与 11.空间观念》如图所示，在矩形ABCD中， A,C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点 AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向 M,作PN⊥BC于点N,若AB=6,BC=8,当 点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从 点P在AC上运动时，则MN的最小值 点B出发向点C运动，运动到点C即停止， 是() 点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ, A.4.8B.5 C.2.4 D.2.5 CP,设点P,Q运动的时间为t(s) A (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ 第8题图 第9题图 9.如图所示，在矩形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD上的动点，P是线段EF的中点， PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足，连接GH. 若AB=8,AD=6,EF=4,则GH的最小值 是 10.(2023·乐山中考)如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任 意一点（不与点A,B重合），过点D作DE∥ BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连 接EF。 (I)求证：四边形ECFD是矩形 (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的 距离. 13 优计学案·课时通一