第一章 2 第1课时 矩形的性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质（答案P2) 通基922>92>2>>2>2 6.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,过点C作BD的平行线，过点 知识点1矩形的定义及对称性 D作AC的平行线，两线相交于点P,求证：四 1.已知平行四边形ABCD,不能判定这个平行四 边形CODP是菱形 边形为矩形的是() A.∠A=∠B B.∠B=∠C C.AB=BC D.AB⊥BC 2.在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形， B,D两点关于原点O对称，已知点A的坐标 为（一3，一3），则点C的坐标是 知识点2矩形的边和角的性质 3.矩形具有而菱形不具有的性质是() A.对边平行 B.对边相等 C.四条边相等 D.四个角都是直角 知识点4直角三角形斜边上的中线等于斜边 4.几何直观如图所示，矩形ABCD为一个正在 的一半 倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点 7.运算能力》(2023·西安高新区期中)如图所 为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27° 示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 时，∠AED的大小为( 若∠A=25°，则∠BDC=( ) 27 A.60° B.55 C.50° D.45° B A.27° B.53 8.(2023·荆州中考)如图所示，CD为Rt△ABC C.57° D.63° 斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC= 8,CD=5,则DE= 知识点3矩形的对角线的性质 5.(教材P13习题1.4T2变式)如图所示，在矩形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,已知 ∠BOC=120°，DC=3cm,则AC的长为 易错国对直角三角形的边的可能性把握不清 cm. 9.在直角三角形中，已知两边长分别是12和5， 0 则斜边上的中线长为() A.26 B.13 C.6.5 D.6.5或6 一九年级·上册·数学，B5 通能力92 通素养> >>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>2>>> 10.(2023·成都金牛区期中)如图所示，四边形 12.抽象能力》阅读下面材料： ABCD是菱形，∠DAB=40°，对角线AC, 小明遇到这样一个问题：如图①所示，在 BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接 △ABC中，DE∥BC且分别交AB于点D,交 OH,则∠DHO= 度」 AC于点E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=4, 求BC十DE的值， 小明发现，过点E作EF∥DC,交BC的延长 线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够 11.如图所示，在矩形ABCD中，点O是AC的 使问题得到解决（如图②所示）. 中点，AC=2AB,延长AB至点G,使BG= AB,连接GO交BC于点E,延长GO交AD 于点F,连接AE,CF (1)求证：△ABC≌△AOG. (2)猜测四边形AECF的形状，并证明你的 (1)请按照上述思路解决小明遇到的这个 猜想. 问题， (2)参照小明思考问题的方法，解决问题： 如图③所示，已知□ABCD和矩形ABEF, AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求 ∠DGC的度数. 9 优计学案·课时通∴.四边形ABCD是菱形， ∴.在Rt△BDE中， .AC⊥BD, BD2+DE2=BE2, .MN⊥BD, 32+x2=(6-x)2, ∴.平行四边形BMDN是菱形 9 9 ..x=- 11.解：(1)证明：.AC=CE=CB=CD, 4EF=2DE=2, ∠ACB=∠ECD=90°， ∴.∠A=∠B=∠D=∠E=45° 菱形BCF的面积=号×BC·EF=2×6×号-2号 2=2 在△BCF和△ECH中， 11.解：(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， I∠B=∠E, ∴.AB∥CD,OB=OD,∴.∠OBE=∠ODF BC=EC, 在△BOE和△DOF中， ∠BCF=∠ECH, ∠OBE=∠ODF, OB=OD, .△BCF≌△ECH(ASA), ∠BOE=∠DOF ∴.CF=CH. ∴.△BOE≌△DOF(ASA),.BE=DF (2)当∠BCE=45°时，四边形ACDM是菱形.证明： ,∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°， BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形 EF⊥BD, ,∠ACE=∠DCB=45° ∴.四边形DEBF是菱形. ∵∠E=45°， (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ACE=∠E,∴.ACDE,.∴.∠AMH=180°-∠A=135° ∴.AB∥CD. 又.∠A=∠D=45°，∴.∠AMH+∠D=135°+45°=180°， AD∥EF,∴.四边形ADFE是平行四边形， ..AM//CD, ∴.AE=DF」 ,四边形ACDM是平行四边形， 由(1)得，四边形DEBF是菱形， .'AC=CD,.平行四边形ACDM是菱形， .DE=DF=BE,.'.AE=DE. 第3课时菱形的性质与判定的综合运用 .AD=AE,∴.AD=AE=DE, 1.C2.C3.16√2cm ∴，△ADE是等边三角形， 4.解：点M,N分别是边AD,CD的中点，MN是△ACD ∴.∠AED=60° 的中位线，MO是△ABD的中位线，∴.AC=2MN=12, .DE=BE, AB=2OM=10, ∠EDB=∠EBD=2∠AED=30°， 0A=AC=6.:四边形ABCD是菱形， 同理：∠FDB=∠FBD=30° ∴.AD=AB=10,AC⊥BD.在Rt△AOD中，OD= 即题图②中四个度数为30°的角分别为∠EDB,∠EBD, √AD2-OA=8,.BD=2OD=16,∴.菱形ABCD的面积 ∠FDB,∠FBD, 为2AC·BD=2×12X16=96. 1 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 5.C6.24 1.C2.(3,3)3.D4.D5.6 7.证明：(1)，四边形ABCD是菱形，，AB=CD,AB∥CD, 6.证明：.DP∥AC,CP∥BD, .∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中，AB=CD, .四边形CODP是平行四边形. ∠BAE=∠DCF,AE=CF,.△ABE≌△CDF(SAS). :四边形ABCD是矩形， (2)如图所示，连接BD,交AC于点O.·四边形ABCD是菱 形，∴.BD⊥AC,AO=CO,BO=DO.,AE=CF,.EO= BD=AC,OD=BD,0C=合AC, FO,∴.四边形BEDF是平行四边形. ∴.OD=OC, 又'BD⊥EF,∴.平行四边形BEDF是菱形 .平行四边形CODP是菱形 7.C8.39.D10.20 11.解：(1)证明：，点O是AC的中点， :AO-CO-AC.AC-2AB,BG-AB, .AB=AO,AC=AG.在△ABC和△AOG中， 8.B9.96 AB=AO, 10.解：(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点， ∠BAC=∠OAG, ∴.AD⊥BC,BD=CD AC=AG, .DE-DF, ∴.△ABC≌△AOG(SAS) ∴.四边形BECF是平行四边形 (2)四边形AECF是菱形.证明：，四边形ABCD是矩形， .AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.AD是BC的垂直平分线， ∴.∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中， .EB=EC,∴.四边形BECF是菱形 |∠OAF=∠OCE, (2)设DE=x,则AE=BE=AD-DE=6-x. .AO=CO, 易得BD=CD=BC=3. ∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.OF=OE, 'AD⊥BC,·∠BDE=90°， ∴.四边形AECF是平行四边形. .△ABC≌△AOG, BE∥CF,.∠BEH=∠CFH. ∴.∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， ∴.AC⊥EF,.平行四边形AECF是菱形 |∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，∴.EF=CD=3,CF=DE BH=CH, CD⊥BE,∴.EF⊥BE, ∴.△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE2+EF=5. (2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,·四边形ABCD是平行四 △BEH≌△CFH,.BE=CF,EH=FH.BE∥CF, 边形， .四边形BFCE是平行四边形 ∴.AB=DC,AB∥DC. 又BH=EH,.BC=EF,.四边形BFCE是矩形 ,四边形ABEF是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 ∴.AB=FE,AB∥FE,BF=AE, .DC∥FE,DC=FE, 1.D2.A3.C4.25°5.2 1 .四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：△AOB为等边三角形，∴OA=OB,四边形 .CE∥DF,CE=DF. ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,.OA=OB= .AC=BF=DF,..AC=AE=CE, OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 .△ACE是等边三角形， (2)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60.CE∥DF, .AC=2AB=8,.BC=√82-4=4V3.矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60° 面积为4√3×4=16√3. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC= AC,OB=OD=号BD.'AE⊥BD于点E,DFLAC于 1 点F,.∠AEO=∠DFO=90°.在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO,∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS),..OA=OD,..AC=BD, 第2课时矩形的判定 ,平行四边形ABCD是矩形. 1.D2.90° (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BAD= 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.AD∥ 90°，OA=OB,.∠OAB=∠OBA.AE⊥BD于点E, CE.AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 ∴.∠AEO=90°..∠BAE:∠EAD=2:3,∴.∠BAE=36°， 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. ∴.∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴.∠EA=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18°， 6.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB= ∴.∠AOE=90°-∠EAO=90°-18°=72° CD,∴.∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 .CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：，FD∥CA,BC∥DE,∴.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又，∠C=90°， ∴.△ABF≌△ECF(AAS). ∴.平行四边形ECFD为矩形. (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.,AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,.四边形ABEC是平行四边形. 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, ·AD=AE=BC,∴.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 ∴.EF=√CE2+CF2=2√5. 的平行四边形是矩形). 7.D :SARCP-2 XCF·CE= 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， 1 ∴.∠BAD+∠ABC=180°， XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, .CH=CF CE_45 EF 5, ∴.∠BAF+∠ABF=90°， ∴.∠AFB=90°，∴.∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，∴，四边形EFGH是矩形. 点C到EP的E海为g5 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°，.BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：，AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又∠B=90°，.平行四边形ABQP是 ∴.∠B=∠ACB,AD⊥BC.,AE平分∠FAC, ∴.∠FAE=∠EAC.∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形. .∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥BC.又DE∥ 此时，t=8-t,解得t=4. 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，∴.AE∥BD,AE=BD (2).AP=CQ=8-t,APCQ,.四边形AQCP是平行四 .AD⊥BC,AB=AC,,BD=DC,.AE∥DC,AE=DC 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设t秒后， .四边形ADCE是平行四边形.又∠ADC=90°，∴.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即√/4+t2=8一t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：点H是BC的中点， 解得t=3. ∴.BH=CH 答：当t=3时，四边形AQCP是菱形，