第一章 1 第2课时 菱形的判定-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

第2课时 菱形的判定（答案P) 通基仙> >>》>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点3四边相等的四边形是菱形 5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边 知识点1有一组邻边相等的平行四边形是 形窗框是不是菱形.下面是某合作小组的4位 菱形 同学拟定的方案，其中正确的是() 1.(2023·深圳中考)如图所示， 4 A.测量对角线是否互相垂直 在平行四边形ABCD中， B.测量两组对边是否分别相等 AB=4,BC=6,将线段AB A C.测量四个角是否相等 水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若 D.测量四条边是否相等 四边形ECDF为菱形时，则a的值为( 6.如图所示，小聪在作线段AB的垂直平分线 A.1 B.2 C.3 D.4 时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心， 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是 大于AB的长为半径画弧，两孤相交于C,D 菱形 2.下列条件中，能判断一个四边形是菱形的 两点，则直线CD即为所求.根据他的作图方 是() 法可知，四边形ADBC一定是 A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相平分且垂直 D.对角线互相垂直且一条对角线平分一组 对角 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAE= 3.(结论开放》如图所示，在四边 ∠FAE,∠FBA=∠FBE.求证：四边形 形ABCD中，对角线AC,BD ABEF是菱形. 相交于点O,已知AB∥CD, AB=CD,请你添加一个条件 ,使四 边形ABCD是菱形 4.(教材P6例2变式)如图所示，□ABCD的对 角线AC,BD相交于点O,且AB=13,AC= 24,BD=10 求证：□ABCD是菱形， -九年级：上册·数学，B5 4 通能 ]>2>>>>>>%>>>>>> 通素养9 8.运算能力》如图所示，AC为矩形ABCD的对 11.推理能力》如图①所示，在△ABC和△EDC 角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC 中，AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD= 上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落 90°，AB与CE交于点F,ED与AB,BC分 在AC上的点N处，易证四边形AECF是平 别交于点M,H. 行四边形.当∠BAE为( )度时，四边形 (1)求证：CF=CH, AECF是菱形 (2)如图②所示，△ABC不动，将△EDC绕 A.30 B.40 C.45 D.50 点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形 ACDM的形状.并证明你的结论， B E M M 第8题图 第9题图 9.(2023·齐齐哈尔中考)如图所示，在四边形 ② ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加 一个条件： ,使四边形ABCD成为 菱形 10.(2023·湘西州中考)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，BM∥DN,且分别交对角线 AC于点M,N,连接MD,BN. (1)求证：∠DMN=∠BNM, (2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形 BMDN是菱形. 5 优计学案·课时通一优计学案 参考答案 心课时通] 九年级·上册·数学·BS 第一章特殊平行四边形 ..AG=AE=GE, 1菱形的性质与判定 ∴.BG=CE,∠BGE=∠ECF=60° 又.CF=AE,.GE=CF 第1课时菱形的性质 在△BGE和△ECF中， 1.52.(0,3)3.B (BG=EC, 4.110解析：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC,AB∥CD, {∠BGE=∠ECF=60°， ∠ACB=∠ACD.:∠B=40°，∠BAC=∠BCA=70°， GE=CF, ∴.∠ACD=70°.：AE=AC,∴.∠ACE=∠AEC=70°， ∴.△BGE≌△ECF(SAS),.BE=EF .∠CAE=40°，.∠BAE=∠BAC+∠CAE=110. 5.C6.13 7.解：(1)：四边形ABCD是菱形，∠ABC=120, B ∴∠BAD=60,ACLBD.∠BAC=∠BAD=30 1 第2课时菱形的判定 (2):AB=6,0B=2AB=3, 1.B2.C 由勾股定理，得OA=35,∴.AC=2OA=6√3. 3.AC⊥BD(答案不唯一) 8.120减09D10.C1. 4.证明：四边形ABCD为平行四边形，0A=2AC=12, 12.解：(1)证明：.四边形ABCD是菱形， 0B=2BD=5,0A2+0B=12+52=169,AB2 ∴.AB∥CD,AC⊥BD. DE⊥BD,.DE∥AC, 132=169, '.四边形ACDE是平行四边形. ..0A2+0B2=AB2, (2):四边形ABCD是菱形，AC=12,BD=9, ∠AOB=90°，，AC⊥BD,.□ABCD是菱形 5.D6.菱形 六A0=号AC=6,D0=BD=号，AC1BD, 7.证明：四边形ABCD为平行四边形，.AF∥BE, .∠AOD=90°，∴CD=AD=√WAO2+DOF ∴.∠FAE=∠AEB.又'∠BAE=∠FAE, ∴.∠BAE=∠AEB,∴.AB=BE. 6+(-号 同理，AB=AF.,AB=BE,∠FBA=∠FBE, ∴，BF垂直平分AE,.AF=EF,∴，AB=BE=EF=AF, 由(1)，得四边形ACDE是平行四边形， .四边形ABEF是菱形. AE-CD-DE-AC-12. 8.A9.AD∥BC(答案不唯一) .△ADE的周长为 10.证明：(1)连接BD,交AC于点O,如图所示. AD+A能+DE=号+ +12=27. 13.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC. :∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形， 四边形ABCD是平行四边形， ∠BCA=60°.：E是线段AC的中点， ∴OB=OD .∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE.CF=AE,.CE=CF, :BM∥DN, ∴∠F=∠CEF=2∠BCA=30,∠CBE=∠F=30, ∴.∠MBO=∠NDO. 又∠BOM=∠DON, ∴.BE=EF ∴.△BOM≌△DON(ASA), (2)成立 ∴.BM=DN, (3)结论成立.证明： ∴，四边形BMDN为平行四边形， 如图所示，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G. ∴.BN∥DM, 四边形ABCD为菱形，∴.AB=BC ∴.∠DMN=∠BNM. 又.∠ABC=60°， (2),四边形ABCD是平行四边形， .△ABC是等边三角形， ∴.BC∥AD, .AB=AC,∠ACB=60°， .∠BCA=∠DAC ∴.∠ECF=60° ·∠BAC=∠DAC, 又，EG∥BC, ∴.∠BAC=∠BCA, .△AGE是等边三角形， ..AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形， ∴.在Rt△BDE中， .AC⊥BD, BD2+DE2=BE2, .MN⊥BD, 32+x2=(6-x)2, ∴.平行四边形BMDN是菱形 9 9 ..x=- 11.解：(1)证明：.AC=CE=CB=CD, 4EF=2DE=2, ∠ACB=∠ECD=90°， ∴.∠A=∠B=∠D=∠E=45° 菱形BCF的面积=号×BC·EF=2×6×号-2号 2=2 在△BCF和△ECH中， 11.解：(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， I∠B=∠E, ∴.AB∥CD,OB=OD,∴.∠OBE=∠ODF BC=EC, 在△BOE和△DOF中， ∠BCF=∠ECH, ∠OBE=∠ODF, OB=OD, .△BCF≌△ECH(ASA), ∠BOE=∠DOF ∴.CF=CH. ∴.△BOE≌△DOF(ASA),.BE=DF (2)当∠BCE=45°时，四边形ACDM是菱形.证明： ,∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°， BE∥DF,.四边形DEBF是平行四边形 EF⊥BD, ,∠ACE=∠DCB=45° ∴.四边形DEBF是菱形. ∵∠E=45°， (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ACE=∠E,∴.ACDE,.∴.∠AMH=180°-∠A=135° ∴.AB∥CD. 又.∠A=∠D=45°，∴.∠AMH+∠D=135°+45°=180°， AD∥EF,∴.四边形ADFE是平行四边形， ..AM//CD, ∴.AE=DF」 ,四边形ACDM是平行四边形， 由(1)得，四边形DEBF是菱形， .'AC=CD,.平行四边形ACDM是菱形， .DE=DF=BE,.'.AE=DE. 第3课时菱形的性质与判定的综合运用 .AD=AE,∴.AD=AE=DE, 1.C2.C3.16√2cm ∴，△ADE是等边三角形， 4.解：点M,N分别是边AD,CD的中点，MN是△ACD ∴.∠AED=60° 的中位线，MO是△ABD的中位线，∴.AC=2MN=12, .DE=BE, AB=2OM=10, ∠EDB=∠EBD=2∠AED=30°， 0A=AC=6.:四边形ABCD是菱形， 同理：∠FDB=∠FBD=30° ∴.AD=AB=10,AC⊥BD.在Rt△AOD中，OD= 即题图②中四个度数为30°的角分别为∠EDB,∠EBD, √AD2-OA=8,.BD=2OD=16,∴.菱形ABCD的面积 ∠FDB,∠FBD, 为2AC·BD=2×12X16=96. 1 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 5.C6.24 1.C2.(3,3)3.D4.D5.6 7.证明：(1)，四边形ABCD是菱形，，AB=CD,AB∥CD, 6.证明：.DP∥AC,CP∥BD, .∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中，AB=CD, .四边形CODP是平行四边形. ∠BAE=∠DCF,AE=CF,.△ABE≌△CDF(SAS). :四边形ABCD是矩形， (2)如图所示，连接BD,交AC于点O.·四边形ABCD是菱 形，∴.BD⊥AC,AO=CO,BO=DO.,AE=CF,.EO= BD=AC,OD=BD,0C=合AC, FO,∴.四边形BEDF是平行四边形. ∴.OD=OC, 又'BD⊥EF,∴.平行四边形BEDF是菱形 .平行四边形CODP是菱形 7.C8.39.D10.20 11.解：(1)证明：，点O是AC的中点， :AO-CO-AC.AC-2AB,BG-AB, .AB=AO,AC=AG.在△ABC和△AOG中， 8.B9.96 AB=AO, 10.解：(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点， ∠BAC=∠OAG, ∴.AD⊥BC,BD=CD AC=AG, .DE-DF, ∴.△ABC≌△AOG(SAS) ∴.四边形BECF是平行四边形 (2)四边形AECF是菱形.证明：，四边形ABCD是矩形， .AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ABC=90°，AD∥BC, ∴.AD是BC的垂直平分线， ∴.∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中， .EB=EC,∴.四边形BECF是菱形 |∠OAF=∠OCE, (2)设DE=x,则AE=BE=AD-DE=6-x. .AO=CO, 易得BD=CD=BC=3. ∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.OF=OE, 'AD⊥BC,·∠BDE=90°， ∴.四边形AECF是平行四边形.