1.1 菱形的性质与判定同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础夯实 知识点 1 菱形的定义 1.如图，在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段 AB 水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF，若四边形 ECDF 为菱形，则a的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 知识点 2 菱形边的性质 2.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B 在x轴的负半轴上，顶点 C 的坐标为(3，4)，则顶点A 的坐标为 ( ) A.(-4,2) C.(-2,4) D.(-4, 3.「2025四川成都铁路中学月考」如图，菱形ABCD 的周长为20,E 是AC 的中点,F 是AB 的中点,连接 EF,则EF= 4.「2024四川广安中考」如图,菱形ABCD 中,点E,F分别是 AB,BC 边上的点,BE =BF,求证:∠DEF=∠DFE. 知识点 3 菱形对角线的性质 5.新课标优秀传统文化 「2025山东青岛市北期中」中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16 cm,AC=12 cm,则此菱形的周长为 ( ) A.28 cm B.40 cm C.56 cm D.80 cm 6.「2025山西大学附中月考」如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，其中点B 的坐标是(6，2),点D的坐标是(0,2),点A在x轴上,则点 C的坐标是 ( ) A.(3,2) B.(3,3) C.(3,4) D.(2,4) 7.解释教材变式 如图,四边形ABCD 是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD 和∠ABC 的度数. (2)AB 和AC 的长. 8.「2024 上海崇明模拟，☆☆」图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 9.「2025陕西启迪中学月考, 〔公〕如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,E 是线段 BD 上一动点(点 E 不与点B、D 重合),当△ABE 是等腰三角形时,∠DAE 的度数为 ( ) A.30° B.70° C.30°或60° D.40°或 70° 10.如图，在菱形ABCD 中,点A、B、C、D 均在坐标轴上,∠ABC=120°,点A(-3,0),点E是CD的中点,点 P 是OC上一动点，则PD+PE 的最小值是 ( ) A.3 B.5 11.新㪧探究题「2024甘肃中考,☆☆」如图1,动点 P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 中点时，PO 的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 素养提优 12.「2025四川成都七中月考」在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,P 是直线 BD 上一动点,以AP 为边向右侧作等边△APE(A,P,E逆时针排列),点 E的位置随点 P 的位置变化而变化. (1)如图1,当点 P 在线段 BD 上,且点 E 在菱形ABCD 内部或边上时,连接 CE,则 BP 与 CE的数量关系是 ，BC 与 CE 的位置关系是 . (2)如图2,当点 P 在线段 BD 上,且点 E 在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由. (3)当点 P 在直线 BD 上时，其他条件不变，连接BE.若 AB=2 ,BE = 2 请直接写出△APE 的面积. 第2课时 菱形的判定 基础夯实 知识点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.「2025山东济南济阳期中」在实验课上，为判断地板砖是不是菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后乙测量出 ，最后得到结论：地板砖是菱形.则横线处应填 ( ) A.两组对边分别相等 B.一组邻边相等 C.两条对角线相等 D.一组邻角相等 2.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是 ( ) 知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.「2024内蒙古通辽中考」如图,▱ABCD 的对角线AC,BD交于点 O，以下条件不能证明▱ABCD 是菱形的是 ( ) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD 4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD 于点 O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD 成为菱形. 5.教材变式「2023湖南永州中考」如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点 O，OA=3，BD=8,AB=5. (1)△AOB 是直角三角形吗?请说明理由. (2)求证:四边形ABCD 是菱形. 知识点 3 四边相等的四边形是菱形 6.「2025 河南郑州期中」如 图,在 A△ABO中,AO=BO,∠O=120°,C 是 AB 的中点,若将△ABO 绕点 C 逆时针旋转180°，则旋转前后两个三角形组成的图形是 ( ) A.等腰梯形 B.菱形 C.正五边形 D.正三角形 7.「2025江西吉安十校联考」小明用四个全等的含30°角的直角三角尺拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点 B 和点 D.依次连接点 D，A,B,C,D,连接BD、AC,交于点 O. (1)判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由. (2)求BD的长. 9.如图,在四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是线段 AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，需添加的条件是( ) A. AC=BD B. AC⊥BD C. AB=CD D. AB⊥CD 10.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( ) 11.「2025辽宁沈阳大东月考, 」如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF. (2)若DF=FC,求证:四边形 DECF 是菱形. 12.教材变式做 「2024江苏扬州中考，〔如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD. (1)试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由. (2)已知矩形纸条宽度为2cm ，将矩形纸条旋转至如图2所示的位置时，四边形ABCD 的面积为8 cm²,求此时直线AD、CD 所夹锐角∠1 的度数. 素养提优 13.新根据能力 考虑分类讨论 如图，在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,BC=10,点 P从点B 出发，沿射线BC方向运动，同时点Q 从点D 出发，沿DA 方向运动，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q 停止运动，设运动的时间为 t s. (1)若点 P 每秒运动3 个单位，点Q 每秒运动1个单位，求当t为何值时，以P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形. (2)当点 P 每秒运动 m 个单位，点Q 每秒运动n个单位时，若运动中能使以点 P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出 m、n的数量关系. 第3课时 菱形的性质与判定综合 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 1 菱形的面积 1.如图,菱形 ABCD 中,AB=10,BD=12,菱形ABCD的面积为 ( ) A.60 B.120 C.192 D.96 2.如图,四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点 E,则AE的长是( ) A. B.6 C.4 D.12 知识点 2 菱形的性质与判定的综合 3.「2025山东青岛期中」如图,在菱形ABCD中,E 是AD的中点,CE,BA的延长线交于点 F,连接AC,DF. (1)求证:AF=CD. (2)连接 BD,请判断 BD 与 DF 的位置关系,并说明理由. (3)当菱形ABCD满足∠ABC= °时,四边形ACDF 是菱形. 4.「2025河南郑州外国语学校期中」如图，在▱ABCD 中，点E,F分别在边 BC,AD 上,AC 与 EF 交于点 O,且EF垂直平分AC,连接AE,CF. (1)求证:四边形AECF 是菱形. (2)若AC⊥AB,∠B=30°,AE=12,求四边形AECF的面积. 能力提升 5.如图,▱ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,且 BD =2AB,AE∥BD,OE∥AB. (1)求证:四边形ABOE 是菱形. (2)若AO=4,四边形ABOE 的面积是12 ,求 BD的长. 6.如图,已知等边△ABC中,AD⊥BC,E为AB中点.以 D 为圆心,适当长为半径画弧,交DE 于点M,交DB 于点N,分别以M、N为圆心，大于 MV的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 DP 交AB 于点 G.过点E作EF∥BC 交射线DP 于点 F,连接BF、AF. (1)求证:四边形 BDEF 是菱形. (2)若AC=4,求△AFD的面积. 素养提优 7.如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中,对角线 BD=16,对角线AC,BD相交于点 G,点 O 是直线 BD 上的动点,OE⊥AB 于 E,OF⊥AD 于 F. (1)求对角线AC 的长及菱形ABCD 的面积. (2)如图①,当点 O 在对角线 BD 上运动时,OE+OF 的值是否发生变化?请说明理由. (3)如图②，当点 O 在对角线 BD 的延长线上时，OE+OF 的值是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 微专题 对角线互相垂直的四边形的面积 学科网（北京）股份有限公司 例题 如图①，四边形 ABCD 的对角线 则 结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于 应用：如图②，四边形 ABCD 是我们常见的风筝的图案，其中对角线 BD 的长为30 cm,AC 的长为40 cm,AC 垂直平分BD,垂足为 E.求四边形 ABCD 的面积. 1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 基础夯实 1. B ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4, ∵将线段 AB 水平向右平移得到线段 EF,.. AB∥EF∥CD，∴四边形 ECDF 为平行四边形.根据菱形的定义可知,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC-CE=6-4=2.故选 B. 2C 如图,过 C 作 CN⊥x轴于 N,过 A 作 AM⊥x轴于M, ∵点C 的坐标为(3,4),∴ON=3,CN=4,∴OC= 四边形 ABOC 是菱形,∴AC=OC=5,AC∥BO,∴点A的坐标为(-2,4).故选 C. 3.答案 解析 ··菱形 ABCD 的周长为20,∴ BC=20÷4=5,∵E 是AC的中点,F是AB 的中点,∴ EF 是△ABC的中位线，∴ ，故答案为 4.证明 ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, ∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,∴AE=CF, 在△DAE 和△DCF中, ∴ △DAE≌△DCF(SAS),∴ DE=DF, ∴ ∠DEF=∠DFE. 5. B ∵ 四边形ABCD为菱形,且BD=16cm,AC=12cm, 4C=6cm,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,在Rt△OAB 中,由勾股定理得 ∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选 B. 6. C 连接AC,BD,相交于点 E, ∵四边形ABCD 是菱形,∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD, ∵点A 在x轴上，点B的坐标为(6，2)，点D 的坐标为(0,2),∴BD=6,AE=2,∴DE= BD=3,AC=2AE=4,∴点 C 的坐标为(3,4).故选 C. 7.解析 (1)∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ DC = BC,AC ⊥ BD,∠BCD = 2 ∠ACD,∠ABC =2∠CBD, ∵∠ACD=30°,∴∠BCD=60°, ∴ ∠BAD = ∠BCD = 60°,△BCD 为等边三角形, ∴ ∠CBD=60°,∴∠ABC=2∠CBD=120°. (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形,△BCD 为等边三角形,BD=6,AC⊥BD,∴AO=OC,BC=BD=6,∴AB=BC=CD=6. 在 Rt△COD中,∠ACD=30°, 能力提升 8. C 如图, ∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°, ∵ BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选 C. 9. C 在菱形ABCD中,∠ABC=80°,∴ ∠ABD= ∠ABC =40°,∵ AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=100°, ∵△ABE是等腰三角形,点 E不与点 B、D 重合, ∴AE=BE或AB=BE. 当AE=BE时,∠ABE=∠BAE=40°,∴∠DAE=100°- 当AB=BE 时, 40°)=70°,∴∠DAE=100°-70°=30°. 综上所述，当△ABE 是等腰三角形时，∠DAE 的度数为30°或60°,故选 C. 10 A 根据题意得 E 点关于x 轴的对称点是 BC 的中点,设为点 E',连接 DE'交 AC 于点 P,如图,此时PD+PE的值最小,为 DE'的长. ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,点A(-3,0), ∴OA=OC=3,∠DBC=60°,BC=CD, ∴△BCD 是等边三角形,易得 DE'=OC=3,即 PD+PE 的最小值是3. 11 C 结合图象可得,当x=0时,PO=AO=4,当点 P运动到点 B 时,PO=BO=2,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,∴ ∠AOB =∠BOC = 90°,∴ AB = BC = .当点 P 运动到BC 中点时,PO 的长为 故选 C. 方法总结 动点与函数图象综合问题的解题策略 (1)趋势判断法：根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； (2)解析式计算法：根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； (3)定点求值法：结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； (4)范围排除法：根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除. 素养提优 12 解析 (1)如图1,连接AC,延长CE交AD 于点H, ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC, ∵ ∠ABC=60°,∴ △ABC 是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60°. ∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°, ∵∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC=60°, ∴ ∠BAP=∠CAE. 在△BAP 和△CAE中, ∴ △BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,. ∵ △ABC是等边三角形,∴∠BCA=60°, . △BAP≌△CAE,∴∠ABP=∠ACE=30°, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°+30°=90°,∴ CE⊥BC.故答案为 BP=CE;CE⊥BC. (2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥BC仍然成立,理由如下：如图2，连接AC， . 在菱形ABCD中,AB=BC,且∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴ AB=AC,∠BAC = ∠ACB = 60°, ∴△APE 是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°, ∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC,∴∠BAP=∠CAE. 在△ABP 和△ACE 中, △ACE(SAS),∴BP=CE,∠ACE=∠ABP, , ∠ABP= ∠ABC=30°,∴ ∠ACE=∠ABP=30°, ∵.∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°,∴CE⊥BC, ∵(1)中的结论:BP=CE,CE⊥BC 仍然成立. (3)△APE 的面积为7 或31 详解：如图3，当点 P 在 BD 的延长线上时，连接AC交 BD 于点 O,作 EF⊥AP 于 F, 四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ABC, 与(2)同理可知CE⊥BC,∵BE=2 ,BC=AB= ∵'=CE=8,∴DP=2,∴OP=5, ∵ △APE 是等边三角形,∴ 如图4，当点 P 在 DB 的延长线上时，同理可得AP= 综上所述，△APE的面积为7 或31 第2课时 菱形的判定 基础夯实 1. B由“甲测量出两组对角分别相等”推知该地板砖是平行四边形，则当乙测量出一组邻边相等时，该平行四边形地板砖是菱形，故选 B. 2. C选项 A 中，∵四边形是平行四边形，∴对角线互相平分，故A 不一定是菱形.选项 B 中，∵四边形是平行四边形，∴对边相等，故B 不一定是菱形.选项 C中，根据三角形的内角和定理可得： 55°，..平行四边形的邻边相等，..C是菱形. 选项 D中，∵四边形是平行四边形，∴对边平行，故D不一定是菱形.故选 C. 3. D 选项 A,∵ ∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意.选项B，∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠ADB = ∠CBD,·∠ABD=∠CBD,.. ∠ABD = ∠ADB,∴ AB =AD,.▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意.选项 C，∵四边形ABCD 是平行四边形, OB=OD,. OA²+OB²=AD²,∴ OA²+OD²=AD²,.. ∠AOD=90°,∴ AC⊥BD,∴▱ABCD 是菱形,故选项 C 不符合题意.选项 D,. AD²+OA²=OD²,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∴AC与BD不垂直，∴▱ABCD不是菱形，故选项D符合题意.故选 D. 4.答案 AD∥BC(答案不唯一) 解析 答案不唯一.当添加“AD∥BC”时,∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC⊥BD,..四边形ABCD 是菱形. 5.解析 (1)△AOB 是直角三角形.理由:∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∵OA=3,AB=5,∴ OA²+OB²=AB²,∴ △AOB 是直角三角形,且∠AOB=90°. (2)证明:由(1)可知∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD 是菱形. 6. B 如图, ∵C是AB的中点,∴ CA=CB.△ABO 绕点 C 逆时针旋转180°得到△BAC',· BC'=AO,AC'=BO,∵AO=BO, .四边形 AOBC'为菱形.故选 B. 7 D 四个全等的含 30°角的直角三角尺拼成如题图所示的三个图案，第一个与第三个图案中的四边形的四条边都相等，∴第一个与第三个图案是菱形.第二个图案如图. ∵上图是由四个全等的含30°角的直角三角尺拼成的四边形,∴AD=BC=EF,CD=AB, ··∠ADF=∠FEB=30°,∠AFD=∠FBE=90°,∴AF= 2AD=AD,∴AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD 是菱形.故选 D. 8解析 (1)四边形ABCD 为菱形.理由如下：由作法，得AB=AD=CB=CD=5,∴四边形ABCD 为菱形. (2)∵四边形ABCD为菱形, 在 Rt△AOB中,( 能力提升 9. C ∵ 点 E、F、G、H 分别是AD、BD、BC、AC 的中点, ∵ 当 EF = FC=GH=EH时,四边形 EFGH 是菱形,∴当AB=CD时,四边形EFGH 是菱形.故选 C. 10 C 选项 A,由作图可知AC 是 BD 的垂直平分线,. AB=AD,设AC与BD的交点为O,则OB=OD.易知AD∥BC,.. ∠ADO = ∠CBO,又∠AOD = ∠COB,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形,又AB=AD,∴四边形ABCD 是菱形,不符合题意;选项 B,由作图可知 AB = BC,AD =AB,∴BC=AD,又BC∥AD,∴四边形ABCD 是平行四边形,又AB=BC,∴四边形ABCD是菱形,不符合题意;选项C，由作图可知AB、CD是角平分线，只能得出四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；选项D，由作图可知∠DAC=∠CAB,∠DCA =∠ACB,. AD∥BC,..∠DAC = ∠ACB,∴ ∠DAC = ∠CAB = ∠DCA,∴AB∥CD,AD=DC,结合AD∥BC可得四边形 ABCD是菱形，不符合题意.故选 C. 11 证明 (1)∵AD=BC,: AD+CD=BC+CD,∴AC=BD, ∵AE=BF,CE=DF, ∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF. (2)∵ △AEC≌△BFD,∴ ∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,∵EC=DF,∴ 四边形DECF 是平行四边形,∵ DF=FC,∴ 四边形 DECF 是菱形. 12.解析 (1)四边形 ABCD 是菱形,理由如下:如图1,作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G,∵两个纸条为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC,..四边形ABCD 是平行四边形， ∵S▱ABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,..四边形ABCD是菱形. (2)如图2,作AM⊥CD,垂足为M, 且AM=2cm, ∴ CD=4 cm,∴AD=CD=4 cm. 在 Rt△ADM中,AM= AD,∴∠1=30°. 素养提优 13.解析 (1)①如图,当点 P 在线段 BC上时, DQ=t,PC=10-3t, ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC. 若以点 P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则.DQ=PC,∴t=10-3t,.. t=2.5. ②当点 P 在 BC 的延长线上时,PC=3t-10. 若以点 P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则DQ=PC,∴t=3t-10,∴t=5. 综上,当t的值为2.5 或5时,以点 P、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形. (2)①当点 P 在线段 BC 上时,若以点 P、C、D、Q 为顶点的四边形是菱形,则DQ=PC=CD=6,∴nt=10- ②如图,当点 P 在 BC 的延长线上时,连接PQ,交 CD于点 E, ·AB⊥AC,∴∠BAC=90°, 四边形ABCD 是平行四边形， .. CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC=90°. 若以点 P、C、D、Q 为顶点的四边形是菱形，则 PQ⊥CD,CE=DE=3,PE=QE,DQ=PC,∴PQ∥AC. :AD∥BC,∴四边形ACPQ 是平行四边形, ∴PQ=AC=8,∴QE=PE=4, ∴nt= mt-10=5,∴mt=15,∴m=3n. 综上,当3m=2n或m=3n时,以点 P、C、D、Q 为顶点的四边形为菱形. 第3 课时 菱形的性质与判定综合 基础夯实 1. D如图,连接AC,交B D于点O, ∵四边形ABCD 是菱形,∴ BD⊥AC,OA=OC,OB=OD,∵BD=12,∴OB=OD=6.在 Rt△AOB 中,AO= ∴菱形的面积为 故选 D. 2. A ∵ 四边形ABCD 是菱形,CD=5,BD=8, . BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°.在 Rt△OBC 中,由勾股定理得 ²-4²=3,∴AC=2OC=6,∵菱形ABCD 的面积=AE ,故选 A. 3.解析 (1)证明;∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB∥CD,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AFE与△DCE中, ∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=CD. (2)BD⊥DF.理由:如图, ·四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=CD, AF=CD,∴AB=AD=AF,∴∠ABD=∠ADB,∠ADF= 90°.. BD⊥DF. (3)当菱形ABCD满足∠ABC=60°时,四边形ACDF是菱形. 提示:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF 是平行四边形,∵∠ABC=60°,AB=BC, △ABC是等边三角形,∴AB=AC,∴AC=CD,平行四边形ACDF 是菱形. 4.解析 (1)证明:··四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,..∠OAF=∠OCE, ∵EF 垂直平分AC,∴EF⊥AC,OA=OC,在△AOF和△COE中. ∴△AOF≌△COE(ASA), ∴OE=OF,∴ 四边形AECF 是平行四边形, 又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形. (2)由(1)知,OE=OF,四边形 AECF 是菱形,∴CE=AE=12. ∵ AC ⊥AB,EF ⊥AC,∴ ∠COE = 90°,EF ∥AB, ∴EF=2OE=12 ,.. 菱形 AECF 的面积 能力提升 5.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,OB=OD= BD,∵BD=2AB,∴AB=OB,∵AE∥BD,OE∥AB,∴四边形ABOE 是平行四边形,又∵AB=OB,∴平行四边形ABOE 是菱形. (2)如图,连接BE,交 OA 于 F,∵四边形ABOE是菱形,∴OA⊥ B BE = 2BE, .. BE = 6 , . . BF = 3 ,.. OB = ,即 BD 的长为 6.解析 (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°, E 为AB 中点,..BE= AB,.. BE=BD, .△BED是等边三角形,∴BE=BD=DE, 由作图知,DF平分∠EDB,∴∠EDF=∠FDB, ·· EF∥BC,. ∠EFD =∠FDB, . ∠EFD =∠EDF,. EF=ED,∴ EF=BD,..四边形BDEF 是菱形. (2)∵ △ABC是等边三角形,AD⊥BC, ∴∠C=60°,∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=30°, 四边形 BDEF 是菱形,∴AG⊥FD,FG=GD. 在 Rt△AGD 中,∵ 7.解析 (1)在菱形ABCD中, 16=8, 由勾股定理得 12,∴菱形ABCD 的面积 (2)不发生变化.理由：如图①，连接AO，则 即 ∴OE+OF=9.6, 故OE+OF 的值不发生变化. (3)发生变化. 如图②，连接AO，则 即 .. OE-OF=9.6, .. OE+OF的值发生变化,OE、OF 之间的数量关系为OE-OF=9.6. 微专题 对角线互相垂直的四边形的面积例题 解析 结论：两对角线乘积的一半. 应用： $$