第一章 1 第1课时 菱形的性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

第一章特殊平行四边形 大单元建构 定义 个角是直角 性质 (判定) 菱形 定文 (性质与判定 性质 特殊平行 四边形 正方形 判定 定文) (性质与判定。 性质 矩形 中点四边形 (判定 性质与判定) 组邻边相等 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 抽象能力 通过实例观察特殊的平行四边形的形状，抽象出菱形、矩形、正方形的概念 利用动手操作折纸探索特殊平行四边形性质的活动过程，由几何图形推理出特殊平行四边形的 几何直观 对称性，发展几何直观 经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及它们的性质与判定的探索、猜测与证明的过程，进 推理能力 步发展推理能力 利用菱形、矩形、正方形的周长和面积公式，结合全等三角形、轴对称、勾股定理等知识进行边长、 运算能力 角度、周长、面积等计算 应用意识 利用特殊平行四边形的性质解决生活中与几何图形的面积等相关的问题 在实际问题中构造特殊平行四边形的模型，利用特殊平行四边形的性质解决简单的实际问题，体 模型观念 验数学来源于生活，并能解决生活中的很多实际问题 优计学案·课时通 1菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质（答案P1) 通基仙22>>2>>>> 6.(教材P4习题1.1T2变式)如图所示，菱形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC= 知识点1菱形的定义及对称性 24,BD=10,则菱形ABCD的边长为 1.抽象能力如图所示，在□ABCD中，AB=5,当 7.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC和 AD= ,四边形ABCD是菱形， BD相交于点O,∠ABC=120°，AB=6. (1)求∠BAC的度数. (2)求对角线AC的长. B 第1题图 第2题图 2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形 ABCD是菱形，点B的坐标为(0，一3)，则点 D的坐标为 知识京2菱形的边的性质 3.如图所示，菱形ABCD的周长为28，对角线 易错国对所有可能性把握不清 AC,BD交于点O,E为AD的中点，则OE的 8.在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内， 长为() 以对角线BD为底边作等腰直角三角形BDE, A.2 B.3.5 C.7 D.14 则∠EBC的度数为 通能力>299沙>9》》9” 9.(2023·丽水中考)如图所示，在菱形ABCD中， AB=1,∠DAB=60°，则AC的长为() 第3题图 第4题图 4.运算能力》如图所示，在菱形ABCD中， 1 A.2 B.1 C v3 D.√5 2 ∠B=40°，点E在CD上，AE=AC,则 ∠BAE= 知识点3菱形的对角线的性质 5.(2023·湘潭中考)如图所示，在菱形ABCD 第9题图 第10题图 中，连接AC,BD,若∠1=20°，则∠2的度 10.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4cm, 数为() ∠ADC=120°，点E,F同时由A,C两点出 A.20° B.60° 发，分别沿AB,CB方向向点B匀速运动（到 C.70° D.80° 点B时停止运动)，点E的速度为1cm/s,点 F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边 三角形，则t的值为() B 第5题图 第6题图 3 A.1s B.s D.2s 一九年级·上册·数学，5 11.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与 通素养》9 BD相交于点O,OE⊥AD于点E,交BC于 点F,若AC=8,BD=6,则EF的 13.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线 长为 AC上任意一点，F是线段BC延长线上一 点，且CF=AE,连接BE,EF. (1)如图①所示，当点E是线段AC的中点 时，求证：BE=EF. (2)如图②所示，当点E不是线段AC的中 12.几何直观如图所示，在菱形ABCD中，对角 点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论： 线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD (填“成立”或“不成立”) 的垂线交BA的延长线于点E. (3)如图③所示，当点E是线段AC延长线上 (1)求证：四边形ACDE是平行四边形， 的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是 (2)若AC=12,BD=9,求△ADE的周长. 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说 明理由 3 优计学案·课时通一优计学案 参考答案 心课时通] 九年级·上册·数学·BS 第一章特殊平行四边形 ..AG=AE=GE, 1菱形的性质与判定 ∴.BG=CE,∠BGE=∠ECF=60° 又.CF=AE,.GE=CF 第1课时菱形的性质 在△BGE和△ECF中， 1.52.(0,3)3.B (BG=EC, 4.110解析：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC,AB∥CD, {∠BGE=∠ECF=60°， ∠ACB=∠ACD.:∠B=40°，∠BAC=∠BCA=70°， GE=CF, ∴.∠ACD=70°.：AE=AC,∴.∠ACE=∠AEC=70°， ∴.△BGE≌△ECF(SAS),.BE=EF .∠CAE=40°，.∠BAE=∠BAC+∠CAE=110. 5.C6.13 7.解：(1)：四边形ABCD是菱形，∠ABC=120, B ∴∠BAD=60,ACLBD.∠BAC=∠BAD=30 1 第2课时菱形的判定 (2):AB=6,0B=2AB=3, 1.B2.C 由勾股定理，得OA=35,∴.AC=2OA=6√3. 3.AC⊥BD(答案不唯一) 8.120减09D10.C1. 4.证明：四边形ABCD为平行四边形，0A=2AC=12, 12.解：(1)证明：.四边形ABCD是菱形， 0B=2BD=5,0A2+0B=12+52=169,AB2 ∴.AB∥CD,AC⊥BD. DE⊥BD,.DE∥AC, 132=169, '.四边形ACDE是平行四边形. ..0A2+0B2=AB2, (2):四边形ABCD是菱形，AC=12,BD=9, ∠AOB=90°，，AC⊥BD,.□ABCD是菱形 5.D6.菱形 六A0=号AC=6,D0=BD=号，AC1BD, 7.证明：四边形ABCD为平行四边形，.AF∥BE, .∠AOD=90°，∴CD=AD=√WAO2+DOF ∴.∠FAE=∠AEB.又'∠BAE=∠FAE, ∴.∠BAE=∠AEB,∴.AB=BE. 6+(-号 同理，AB=AF.,AB=BE,∠FBA=∠FBE, ∴，BF垂直平分AE,.AF=EF,∴，AB=BE=EF=AF, 由(1)，得四边形ACDE是平行四边形， .四边形ABEF是菱形. AE-CD-DE-AC-12. 8.A9.AD∥BC(答案不唯一) .△ADE的周长为 10.证明：(1)连接BD,交AC于点O,如图所示. AD+A能+DE=号+ +12=27. 13.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC. :∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形， 四边形ABCD是平行四边形， ∠BCA=60°.：E是线段AC的中点， ∴OB=OD .∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE.CF=AE,.CE=CF, :BM∥DN, ∴∠F=∠CEF=2∠BCA=30,∠CBE=∠F=30, ∴.∠MBO=∠NDO. 又∠BOM=∠DON, ∴.BE=EF ∴.△BOM≌△DON(ASA), (2)成立 ∴.BM=DN, (3)结论成立.证明： ∴，四边形BMDN为平行四边形， 如图所示，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G. ∴.BN∥DM, 四边形ABCD为菱形，∴.AB=BC ∴.∠DMN=∠BNM. 又.∠ABC=60°， (2),四边形ABCD是平行四边形， .△ABC是等边三角形， ∴.BC∥AD, .AB=AC,∠ACB=60°， .∠BCA=∠DAC ∴.∠ECF=60° ·∠BAC=∠DAC, 又，EG∥BC, ∴.∠BAC=∠BCA, .△AGE是等边三角形， ..AB=BC,