1.2 菱形的判定 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第一章-特殊平行四边形 1.1菱形的判定 学习目标 1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点） 旧知复习 1.平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 旧知复习 2.菱形的定义与性质 ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②性质：菱形的四条边都相等 ③性质：菱形的对角线互相垂直 ④性质：菱形是轴对称图形 新课讲授 探究： 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判定一个平行四边形是菱形． （1）想一想除了菱形的定义之外，对角线满足什么条件时可以判定一个平行四边形是菱形？ 互相垂直 新课讲授 (2)对你的猜想进行证明． 已知：如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,　　　　　． 求证：▱ABCD是菱形． 证明： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴▱ABCD是菱形. AC⊥BD 新课讲授 归纳： 菱形的判定定理1： 对角线　　　　　　的平行四边形是菱形． 几何语言： 在▱ABCD中，∵AC⊥BD ∴▱ABCD是菱形 互相垂直 例题讲解 例1 [教材例题]已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1. 求证：▱ABCD是菱形． 证明:在△AOB中, ∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°. ∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形. 新课讲授 议一议 动手操作：已知线段AC，用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线．小刚的作法如下： 如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为 半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次 连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形． 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？ 新课讲授 猜想验证：由小刚的作法猜想有什么条件可以判定一个四边形是菱形？补充你的猜想并进行证明． 已知：　　　　　　　　　　　　　　　． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明： ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴▱ABCD是菱形 在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA ∵AB=CD,AD=BC 新课讲授 归纳： 菱形的判定定理2： 四边　　　的四边形是菱形． 几何语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD为菱形 相等 例题讲解 例2 如图，在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF. 求证：四边形DFCE是菱形． 证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点, ∴DE=BC=CF,DF=AC=CE ∵AC=BC, ∴DE=CF=DF=CE, ∴四边形DFCE是菱形. 新课讲授 总结： 若已知待证明的菱形的对角线互相垂直，则可考虑先证明 该四边形是平行四边形； 若已知待证明的菱形中有多条线段相等，则可以考虑通过 菱形的定义或四边相等来证明这个四边形是菱形． 随堂小练 1．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O， 添加一个条件：　　　　　　　　　　　　，可使四边形ABCD成为菱形． AB=AD (答案不唯一) 随堂小练 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）． A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD A B C O D C 随堂小练 3．[教材随堂练习]画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4 cm和6 cm. 作图略 随堂小练 4.如下图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． 证明: ∵在▱ABCD中,AE∥FC. ∴∠1=∠2.又∵EF垂直平分AC ∴AO = OC ,∠AOE=∠COF=90° ∴△AOE≌△COF,∴EO =FO ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明. 菱形的判定 定义判定 判定定理 课堂小结 ∵AB=,OA=2,OB=1,∴AB2=OA2+OB2. $$