23.2 第4课时 坡角,坡度问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

7.解：如图所示，过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥ .'DF=2E'F=2 cm. AC于点N,则四边形ONCM为矩形. (2)设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作 北 地面的垂线段MN,延长MC'交地面于，点P,如图 所示. 3) ② ① B P 45 则∠BNM=90°，∠DC'P=90°，BM=5cm, ■ ∠MPN=a,C'D=1cm. ..ON=MC,OM=NC. MN 1 设OM=xm,则NC=xm,AN=(840-x)m. 在Rt△BMN中，tan∠MBN=tanB=BN=3' 在Rt△ANO中，∠OAN=45°， 设MN=k(k>0),则BN=3k,根据勾股定理，得 ∴.ON=AN=(840-x)m,则MC=ON=(840-x)m. MN2+BN2=BM2, OM 7 在Rt△BOM中，BM=tan∠OBM24(m). 2+(3)2=5,解得6=10 2 cm,∴.MN= 7 由题意，得840-x十24=500，解得x=480. √10 2 cm,BN=3/10 2 cm. 答：点O到BC的距离为480m. √10 8.解：(1)由题意，可得∠BAC=90°， MN MN 2 .BC=√/402+(8√5)2=16W7(km), 在Rt△PMN中，PN= tan∠MPN tan a :轮船航行的速度为167÷音-12厅(km/). √10(cm), (2)能.理由如下： 如图所示，过点B作BD⊥1 ∴BP=BN-PN=3,-/o= 2 2(cm), 于点D,过点C作CE⊥l于 点E,延长BC交l于点F. 在Rt△PCD中，PC'= C'D C'D 1 tan∠MPN tan a-1 在Rt△BDA中，BD=AB· EMN东 2 sin∠BAD=20√3km,DA 2(cm), =AB·cos∠BAD=20km. .PD=√C'D2+PCr=√+2=√5(cm), 在Rt△ACE中，CE=AC·sin∠CAE=4W3km, AE=AC·cos∠CAE=12km. ·BD=BP+PD三√20+5=10十25(cm) BD⊥I,CE⊥L,∴.CE∥BD,.△FCED△FBD, 2 11.解：(1)，坡度i=12,AC=4米， ÷6码设EF-k如 ∴.BC=4×2=8(米)， 20√3 x+20+12' ∴.AB=√AC2+BC=√/4+82=4V5(米). .'.x=8,..AF=AE+EF=20 km. :AM=19.5km,AN=20.5km,19.5<AF< 答：斜坡的坡面AB的长度为4√5米 20.5, (2).∠DGM=∠BHM=90°，∠DMG=∠BMH, ∴.轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN 靠岸 ∠cDM=∠HBM:80-令 第4课时坡角、坡度问题 .DG=EF=2米，∴.GM=1米， 1.C2.√33.75°4.D5.12 ∴.DM=√I2+2=√5（米），BM=BF+FM= 6.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°， 3.5+(2.5-1)=5(米). 设MH=x米，则BH=2x米， AC=2AB=6米， ∴.x2+(2x)2=52,解得x=√5（负值舍去）， C-AB oARC) .DH=√5+√5=2W5(米). 答：点D离BC所在水平面的高度DH为2√5米. 斜坡BD的坡度是1：3，CD=1 12.解：过点F作FH⊥AD于点H,则四边形FHEB 为矩形， 2√3米，∴.AD=AC-CD=(6-2W3)米. .FH=BE,BF=HE.,斜坡AB的坡度为i= 答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6一2√3)米 1:∴AE:BE=5:12,设AE=5x米，则 7.D8.D9.C BE=12x米，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, 10.(1)2(2)10+25 解析：(1)在Rt△DE'F 即262=(5x)2+(12x)2, 2 解得x1=2,x2=-2(舍去)， 中，∠DFE'=90°，E'F=1cm. 则AE=10米，BE=FH=24米. E'F 1 :tanZE'DF=tan a-DF2' 在Rt△FAH中，tan∠FAH=FH AH' 35 ..AH= FH 24 tan∠FAH≈1.33≈18（米）， 在R△ADN中，DN=AD·m3T=50X号-30米)， .BF=HE=AH-AE=18-10=8(米). .BM=DN=30米 答：BF至少是8米 13.解：(1)在Rt△EFQ中，.∠Q=90°， DM⊥BC,∠MEB=45°，.△MEB为等腰直角 三角形，.ME=BM=30米 tan∠EFQ=i=1:0.75=号=F0. 设EQ=4x(x>0)m,则FQ=3xm. 在Rt△CEM中，CM=ME tan37。—30×2=40(米). ∴.EF=√JEQ2+FQ=5x米. .BC=MB+CM=70米. EF=15m,∴.5x=15,x=3,.FQ=9m. 答：古塔的高度BC是70米 答：山坡EF的水平宽度FH为9m. (2).'L=CF+FQ+EA=CF+9+4=(CF+ 6.18.4 13)m, 7.解：在Rt△AOB中，OA=2米，OB=7米， H=AB+EH=22.5+12=34.5(m),H1= 由勾股定理，得AB=√53米， 0.9m,.日照间距系数=L:(H-H1)= 十。：该楼的目照间E系数不妖 由题意，可知AB=A'B′=√53米， 又OA'=3米，.根据勾股定理，得 于1.25， :CF+13 OB'=2/1I米，.BB'=(7-2W1I)米. 33.6≥1.25，CF≥29m. 8.解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F. 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C ,DF:AF=1:√3，AD=200米， 距F处至少29m远. 第5课时平面直角坐标系中的直线 与x轴的夹角 n∠DAF-Si∠DAF=30, 1.B2.A3.C 4.解：设直线分别交x轴、y轴于点A,B,如图所示. D=2AD=×20=10（米. 对于y=-2x十5，当x=0时，y=5. .∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°， 当y=0时，x= B05a(5o）. 5 ∴.四边形DECF是矩形，∴.EC=DF=100米. 即0B=5,0A= :∠BAC=45°，BC⊥AC,.∠ABC=45°. B ∠BDE=60°，DE⊥BC, 在Rt△AOB中，AB= .∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°， 6+(-85 入A ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°， 在R△A0B中，sina=25, ∠BAD=∠BAC-∠DAC=45°-30°=15°， 5,cos a=/5 5,tan a=2. ∴.∠ABD=∠BAD,∴.AD=BD=200米. 5.C6.(1,2) 在Rt△BDE中，sin∠BDE= BE 7解：将(33)代入y=红，得3=3，即= BD' 3, tan a=3 ,又：a是锐角，a=30 &BE=BD·Sin∠BDE=200X%=100W3(米： .BC=EC+BE=(100+100√3)米. 8.解：由题意，可得k=tan60°=√3，∴y=√3x十b. 9 H 直线y=√5x十b经过点（一1,2）， ∴.-√5十b=2,得b=2十√， ∴.所求直线的函数表达式为y=√3x十2十√5. 专题十构造三角函数基本图形 i=1:5 解决实际问题 1.4502.353.30海里4.52.5 第8题图 第9题图 5.解：如图所示，延长DE交BC 9.解：如图所示，作AH⊥ED交ED的延长线于点H. 于点M,作DN⊥AB于点N, 则DM⊥BC,四边形MBND为 设DE=x米.CD的坡度i=1:2,.CE=2x米， 矩形，∴BM=DN.由题意，可 由勾股定理，得DE2+CE2=CD2, 237 知∠DAN=37°，∠MEC=53°， B 即x2+(2x)2=(305)2,解得x=30(负值舍去)， ∠MEB=45°， ∴.∠MCE=90°-∠MEC=90°-53°=37°. 则DE=30米，CE=60米. 设AB=y米，则HE=y米，.DH=(y-30)米. 36第4课时坡角、坡度问题（答案P35) 通基佣>22>>22 比).A,D两点处于同一铅垂线上，求开挖后 小山坡下降的高度AD. 知识点1坡角与坡度 1.一斜坡的坡角为45°，则其坡度为( D A.1:3 3 B.1:√3 C.1:1 D.1:2 2.一斜坡的坡度为√3：1，坡角为a,则 tan a= 3.某水库大坝的横断面是梯形，背水坡的坡度是 1：√3，迎水坡的坡度为1：1.那么这两个坡角 的和是 知识点2坡角、坡度的应用 4.如图所示，已知一个小球由桌面沿着斜坡向上 前进了10cm,此时小球距离桌面的高度为 5cm,则这个斜坡的坡度i为( ) mnmiinmmmnmmmmmnnnm A.2 B.1:2 通能力》2>2>2>2>2> C.1:√2 D.1: 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD, 7.如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向 12 天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡 BC∥AD,迎水坡AB长l3米，且tan∠BAE= 5 改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 则河堤的高BE为 米 处，使∠D=30°，则CD的长度约为()（参 考数据：√2≈1.414，√3≈1.732) 6.如图所示，学校校园内有一小山坡AB,经测 量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为 才3 45 方便学生行走，学校决定开挖小山坡，使斜坡 D BD的坡度是1：3（即为CD与BC的长度之 A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米 121 优计学案·课时通 8如图所示，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD,坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的 ② E ①D 坡度i=1：1.5,则坝底AD的长度为( ) B 10 C ② i=1:1.5 11.某仓储中心有一个坡度为i=1：2的斜坡 AB,顶部A处的高AC为4米，B,C在同一 A.26米 B.28米C.30米 D.46米 水平地面上，其横截面如图所示。 9.小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高 (1)求该斜坡的坡面AB的长度， 度，假设树是竖直生长的，如图所示，用图中线 (2)现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体 段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°， 货柜，其中长DE=2.5米，高EF=2米，该 小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D 货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面 点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了 的高度不断变化，求当BF=3.5米时，点D 8米到达E点，测得∠AED=60°，B,C,D在 离BC所在水平面的高度DH. 同一水平线上，则大树AB的高度约为() (结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41， √3≈1.73) A.20.3米 B.20.4米 C.24.4米 D.25.3米 10.将一组完全一样的宽1cm,高5cm的多米诺 骨牌按图①所示竖直放置在地面上，推动至 其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图②所 示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号 骨牌与地面夹角。的正切值为2 (1)DF的长为 cm. (2)若③号骨牌与地面的夹角阝的正切值为 3则BD的长为 cm B ① 一九年级上册·数学 122 12.如图所示，山区某教学楼后面紧邻着一个土 通素第>》沙 坡，坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡 13.应用意识》日照间距系数反映了房屋日照情 度为i=1:2且AB=26米.为了防止山体 5 况.如图①所示，当前后房屋都朝向正南时， 滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改 日照间距系数=L:(H一H1),其中L为楼 造.经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可 间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧 确保山体不滑坡.为了消除安全隐患，学校计 楼房底层窗台至地面的高度， 划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么 如图②所示，山坡EF朝北，EF长为15m, BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考 坡度i=1:0.75,山坡顶部平地EM上有一 数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ 高为22.5m的楼房AB,底部A到E点的距 1.33) 离为4m. (1)求山坡EF的水平宽度FQ (2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建 一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C 处的高度为0.9m,要使该楼的日照间距系数 不低于1.25，底部C距F处至少多远？ 123 优十学案·课时通