23.1 3. 一般锐角的三角函数值-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

3.一般锐角的三角函数值（答案30） 7.已知sinA=0.1782,则锐角A的度数大约为 。.(精确到1) 知识点1用计算器求一般锐角的三角函数值 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB= 1.若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度 2/19,求∠A的大小.（精确到0.1） 量单位为“度”的状态下用计算器求sin47°时， 正确的按键顺序是( D'M'S sin 47 (1) (2) (3) (4) A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(3) C.(1)(4)(2)(3) D.(2)(1)(4)(3) 知识点3”锐角三角函数的增减与取值范围 2.用计算器求tan80°25的值，精确到0.0001应 9.如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的 为( ) 差() A.5.9229 B.5.9228 A.大于0 B.小于0 C.5.9230 D.5.9227 C.等于0 D.不能确定 3.用计算器计算sin20°一cos20°的值约是 10.三角函数sin30°，cos16°，cos43°之间的大小 (精确到0.0001) 关系是() 4.用计算器求下列各式的值.（精确到0.0001） A.sin30°<cos16°<cos43° (1)sin6738'24". B.cos43°<sin30°<cos169 (2)c0s63°17'. C.sin30°<c0s43°<cos16° (3)tan27.35°. D.cos16°<sin30°<cos43 1若∠A为锐角，c0sA<,则∠A的取值范 围是() A.30°<∠A<90° B.0°<∠A<30° C.0°<∠A<60° D.60°<∠A<90 知识点2根据三角函数值求锐角 2,若锐角a满足cosa<之且tana<3,则 5.已知sina=0.5018,求a,若用计算器计算且 结果为“30°78.97”，最后应按键( 的范围是() ) A.30°a<45° B.45°<a<60 A.ON/C B.2ndF C.60°<a<90° D.30°<a<60 C.MODE D.2ndF D'M's 13.(2023·安徽模拟)比较大小：sin81° 6.如果tana=0.213,那么锐角a的度数大约 tan47°.（填“>”“<”或“=”） 为() 14.若锐角∠A满足sin20°<cosA<cos25°，则 A.8° B.10° C.12° D.14° ∠A的取值范围是 107 优计学案·课时通 15.若a是锐角，且sina=1一3m,则m的取值21.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 范围是 D沿BC自B向C运动（点D与点B,C不重 将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由 合)，作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F, 小到大的顺序排列是 在点D的运动过程中，试判断BE十CF的值 易错国考虑问题不全面而导致错误 是否发生改变？ 16.一个直角三角形有两条边长分别为3,4，则较 小的锐角约为( A.37° B.41° C.37°或41° D.以上答案均不对 通能力>>%9>>>>%2>%>%>%>2>% 17.用计算器验证，下列不等式成立的是( A.sin37°24>c0s37°24'+cos3°10 B.cos45°32'>sin45°-sin112 C.sin 6347'<cos 1821'-cos 87 D.2sin3012'<sin60°24 18.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b, 且3a=4b,则∠A的度数为() A.53.7 B.53.13° 通素养》99992 C.53°131 D.53481 22.(1)设a,b,c是直角三角形的三边，c为斜边， 19.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图所 整数n≥3，求证：a"十bm<c" 示，当太阳光线与地面成 A (2)一题多解》如图所示，在Rt△ABC中， 35°角时，测得旗杆AB CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC 在地面上的投影BC的 长为23.5米，则旗杆B 351>C 于点R求证器C AB的高度约是 米.（精确到0.1米） 20.一个等腰三角形，两腰和底的长分别是10和 13,求这个等腰三角形的三个内角的度数. (精确到1') 一九年级上册数学 1082 第2课时互余两锐角的三角函数关系 .sinA-。=0,2-c0sB=0, 5 1.C2.C3.17 2,cos B=2 .sin A=1 2 4.解：cosB=sin(90°-∠B)=sinA=3 4 .∠A=45°，∠B=45°， ∴.∠C=180°-45°-45°=90°. BC164 5.解：(1)在题图①中，tanA=AC=12-3,tanB= (3),|tanB-√3|≥0，(2sinA-√3)2≥0，且 AC123 Itan B-√3|+(2sinA-√3)2=0， BC-16-4 ∴.Itan B-3|=0,(2sinA-√3)2=0， 在题图②中，BC=√AB2-AC=√732-55=48， dmB=5,如A-g .tan A-BC-48 BC=48: ∠A,∠B均为锐角，∠B=60°，∠A=60. C丽anB-AC-55 (2)直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数. '.∠A=∠B=∠C=60°，即△ABC为等边三 6.B 角形 b√6√2 7.解：'sinA+sinB=3 17.解：(1)cosA= c2./5=2,..∠A=45. (sin A+sin B)216 9 (2)'.'sin A=- --a=6 ∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°， .b=√c2-a=6√3. ∴.sinB=cosA, 18.解：由题意，得sin120°=sin(180°-120)=sin60°= sinA+cos'A+2sin Asin B-16 2,c0s120°=-c0s(180°-120)=-c0s60°= √ sin'A+cos'A-1,2sin Asin B7 9 1 2sim150°=8in180°=150)=sin30壳 (snA-sinB)2=1-g=号， 19.解：(1)sin75°=sin(30°+45)=sin30°·cos45°+ w0n45=名×号+×9-恒6 &sinA-sinB=士9 2 2 2 4 8.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，∴.∠A+∠B= (2)tan75°=tan(30°+45)= tan30°+tan45° 1-tan30°tan45° 90°，.sinB=cosA=3. (2)cosA=sinB.理由：，cosA-cos35°=sin55°， -=2+3. .∴.cosA=sinB. 1 3 3一般锐角的三角函数值 1.B2.B3.-0.5977 3V3 4.解：(1)sin67°3824"≈0.9248. 20.解：(1)y= 的图象过点A(3,n),.n=√3. (2)c0s6317′≈0.4496. (3)tan27.35≈0.5172. ,一次函数y=√3x十m的图象过点A(3,n), 5.D6.C7.10 .m=-25. 8.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=219, (2)过点A作AC⊥x轴于点C,如图所示. 由(1)，可知直线AB:y=√3x-2√3，.B(2,0), cos A=AC8 AB2√/19 ≈0.918， 即OB=2. .∠A≈23.4. 又AC=√3，OC=3,∴.BC=OC-OB=1, 9.D10.C11.A12.B13.< ∴.AB=√BC2+AC2=2=OB,∠1=∠2. 14.25°<∠A<70° 在Rt△OAC中，tan∠2=AC=E 03,..∠2=30°， 15.msin 43 .∠BAO=∠2=30°. 16.C17.B18.B19.16.5 20.解：如图所示，AB=AC=10,BC=13,过点A作 AD垂直于BC于点D. 又，AB=AC, ∴.BD=CD=6.5, 2∠BAC. ∠BAD=∠CAD= BD 在Rt△ABD中，cOsB= AB 30 6.5=0.65, 专题九求锐角三角函数值的常用方法 10 .∠B≈49°28'，.∠C≈49°28'，∠BAC≈81°4'. 1.C2.223写4B5是6.D 故△ABC的三个内角的度数分别为81°4'，49°28， 7.解：(1)在△ABC中，∠B=∠C=67.5°， 49°28. .∠A=180°-∠B-∠C=180°-67.5°-67.5°=45°， 21.解：，BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,.CF∥ BE,∠DCF=∠DBE. sinA=sin45°-2 2 设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=a, (2)过点B作BD⊥AC于点D,如图所示. ∴.CF=DC·cosa,BE=DB·cosa, 由(1)可知∠A=45°，.△ABD为等 ∴.BE+CF=(DB+DC)cosa=BC·cosa. 腰直角三角形. ∠ABC=90°，.0<a<90°. 设BD=a,∴.AD=a,AB=√2a. 当点D从B→D运动时，a是逐渐增大的，cosa的 AB=AC,∴.AC=√2a, 值是逐渐减小的， ∴.BE十CF=BC·cosa的值是逐渐减小的. ∴.CD=AC-AD=√2a-a, 综上，在点D的运动过程中，BE十CF的值是逐渐 tanC=BD-_&-1 =2+1， 减小的. CD√2a-a√2-1 22.证明：(1)在Rt△ABC中，设∠A=a,则sina= 即tanC=√2+l. -,cos a=5 8.解：.BF=CF,∠C=30°， ∴∠FBC=∠C=30°，∴∠DFB=60°. 0<sin a<1,0<cos a<1, 由题易知BE与BC关于直线BF对称， 当整数n≥3时，sin"a<sin2a,cos"a<cos2a, ∠DBF=∠FBC=30°. .sin"a+cos"a<sin a+cos a. AD∥BC,∠A=90°，∠ABC=90°， 又，'sin2a+cos2a=1, sime+cosa<1,即(2）”+(2）广<1， ∠ABD=30,∴tan∠ABD=tan30- 3 9.B10.D c">0,∴a"+b”<c". (2)证法一：∠ACB=90°，CD⊥AB, 11.(1)2 (2)8解析：(1)依题意，得FH∥BC, ∴.∠ACB=∠ADC=90°. EH=1,FH=2,如图所示. 又∠A=∠A,.△ACB∽△ADC, A ∴.AC:AB=AD：AC,即AC2=AD·AB, 同理：BC2=BD·AB, C部品 BC4 BD2 ,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC, .∠B=∠EFH, 同理可得：AD=AE·AC,BD2=BF·BC, .AD:_AE AC EH 1 .tanB=tan∠EFH=FH-2 BD2 BF BC' (2)依题意，得DE∥FH,DE=2,CD=3, C品瓷品- .∠EFH=∠AED, BC3· 证法二：设∠B=a, Ban∠EFH=tan∠AED=0E=2:AD=l, ,CD⊥AB,DF⊥BC, ∠CDF+∠BDF=90°，∠B+∠BDF=90°， ∴.AC=AD+CD=1+3=4. ∴.∠CDF=∠B=a. 同理：∠DCE=∠ADE=∠B=a. C2AC-8 AE 12.解：∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， 在Rt△ADE中，tan∠ADE=tana=DE, .CD=BD,∴∠B=∠BCD.AE⊥CD, DE 在Rt△CDE中，tan∠DCE=tana=CE .∠CAH+∠ACH=90°.又.∠ACB=90°， .∠BCD+∠ACH=90°，∴.∠B=∠BCD= .∠ACB=90°，DE⊥AC,DF⊥BC, ∴.四边形CEDF为矩形，DF=CE ∠CAH,即∠B=∠CAH.Ac=CH, DF CE 在Rt△BDF中，tanB=tana=BF一BF' ∴sinB=sin∠CAH=CH-CH_2 5 AC 在Rt△ABC中，tanB=tana-BC, 是cH 13.C AE DE CE (AC)3 ,即 14.解：(1).AD=2CD,AC=3,∴.AD=2 心DE·CE·BF=tana= BC ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3, AE AC3 BF BC3 ∴∠A=∠B=45°，AB=√AC2+BC=√32+32= 3√2.，DE⊥AB,.∠AED=90°，∠ADE= 31