22.3 第1课时 相似三角形的性质定理1-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

P(-1,2） :AB=AC=1,BC=1+I=2.:BD= 2 综上所述，点P的坐标为(-30或(-1,2). √2 1 2 专题七相似三角形的基本模型 2元， 1.7 2 2.解：(1)如图所示， :FC-2则CF的长度是 1 ,DP⊥AB,∠C=90°， .∠C=∠ADP=90 8.证明：，四边形ABCD为正方形， 由勾股定理，得AC= .∠B=∠C=90°，∴.∠BEF+∠BFE=90°. √AB2-BC2=4. ,∠EFG=90°，.∠BFE+∠CFG=90°， 又，∠A=∠A, ∴.∠BEF=∠CFG,∴.△EBF∽△FCG. .△APDn△ABC, 9.解：答案不唯一，如：△DMG∽△DBM, 器0增琴 25 △AMF∽△BGM. 161 ①证△DMGP△DBM. @Y△CPQv△CAB时，器-器 ,'∠DME=∠B,∠D=∠D, .△DMG∽△DBM. :4-24-{或2-4-5， ②证△AMF△BGM 4 3 4-号4=号或6（合弃）. ,∠A+∠AMF+∠AFM=180°， 当ACPQ△CBA时，则CP=CQ, ∠AMF+∠DME+∠BMG=180°， CB CA' 又.∠DME=∠A=∠B, ..∠AFM=∠BMG,..△AMFC∽△BGM. :42-1或2,4=天， 3 41 22.3相似三角形的性质 2t-43 第1课时相似三角形的性质定理1 当Q到达终点后， 3 或 1.B2.C3.D 4 4.1:25.56.B7.50 :-智或综上所述4的值为皮要攻4 8.解：由题意，知EF∥AB, ∴.△ABC∽△EFC,△AHC∽△EGC, 1 3. 带品器器 4证明CE,AE-E:0E能能 ,CG=20cm=0.2m,CH=12.6m,EF=22cm= 又，∠AEB=∠DEC,.△ABE∽△DCE. 0.22m则22m=0.2AB=13.86m,即旗杆 5.证明：，'∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC, 的高度为13.86m. ∴.∠ABE=∠ACD. 9.C 又∠BAC=∠DAE, 10.12 ,∴.∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC, 11.解：(1)由题意，知BC⊥AB,DF⊥AD, ∴.∠DAC=∠EAB,∴.△ABE∽△ACD ∴.∠CBA=∠FDA=90°. 6.证明：设OA=OB=BC=CD=k. 又：∠CAB=∠FAD,.△CAB△FAD, .OA=OB,∠AOB=90°， ..OA2+0B2=20B2=AB2, 8股 .AB=√2k, 由题意，知AD=3m,AB=5m,BC=3.5cm, C-2AB 2'BD2 …g0 G部 解得DF=2.1cm,即小视力表中相应“E”的高是 2.1cm. 又，∠ABC=∠DBA, (2)如图所示，连 .△ABCp△DBA. 接A'B',作CD⊥ 7.解：(1)证明：，'在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中， MN于点D,并延 长交A'B'于点E, ∠BAC=∠DAE=90°， 由题意，知AB∥ .∠B=∠C=∠E=∠ADE=45° MN∥A'B'. ,'∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC, .MN∥A'B',CD⊥MN, ∴.∠BAD=∠EDC,∠B=∠C=45°， .CE⊥A'B' .△ABDn△DCF. MN∥A'B', (2).△ABD∽△DCF,. AB BD ∴.∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C, CD FC △MNCAABC,小0 22 由题意知CE=5m,DE=3m,A'B'=AB= 0.8m,∴.CD=CE-DE=2m, ∴∠1-2∠ABC,∠2=3∠BAC. 六g=号MN=632a, ∠C=90°， ∴.镜长至少为0.32m. ∴∠1+∠2=2（∠ABC+∠BAC)=2X90 12.解：(1).梯形ABCD的边AD∥BC, 45°，∴.∠3=∠1+∠2=45°. ∴.△AEDU∽△CEB.设△AED的边AD上的高为 ,△ABC△EDA,∴.∠ABC=∠3=45. hm,则△BEC的边BC上的高为2h, (2)过点A作AF⊥DE于 ÷号×5h+2×10×2h=250÷10, 点F,如图所示.∠3= 45°，AE⊥AD,.△ADE 解得h=2,∴.梯形的高为h十2h=2+2×2=6(m), 是等腰直角三角形，设 AD △4BE和△DCE的面积之和=号×(5+10)X AF=a,则DE=2a, DF=a, 6-250÷10=45-25=20(m), 在Rt△ADF中，AD=√2a. ∴.所种花的单价为(650-250)÷20=20（元/m2). .2∠1=2∠2=45°，.∠1=∠2， 答：选择种兰花，刚好用完所筹集资金。 .AD=BD=√2a,∴.BF=√2a+a. (2).'△APB≌△DPC, ∴.点P在等腰梯形ABCD的对称轴上.AD= 在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=a2+(2a+ 5m,BC=10m,S△APp=S△BpC,∴点P到AD的 距离等于到BC的距离的2倍，点P的位置如图 a)'=(4+22)a2.△ABCn△EDA,:SaMc= /S△EDA 所示. AB2_(4+22)a2_2+2 ED2=(2a)2 2 15.解：(1)△ABE与△ECD相似，理由如下： ,EC∥AB,.∠A=∠CED. EB∥DC,∴.∠AEB=∠D, ∴.△ABE∽△ECD. 第2课时相似三角形的性质定理2,3 (2)①由(1)，得△ABE△ECD, 1.B2.D3.24.D5.B6.1:9 ,△ABE的边BE上的高为h1,△ECD的边CD 7.解：DE,FG把△ABC的面积三等分， 上的高为h2,△ABE的面积为3，△ECD的面积 .S△AFG:S△ABC=2:3. .FG∥BC,.△AFGの△ABC, =1…h2 --号即股- ②过点E作EM⊥CD于点M,过点C作CN⊥ BE于点N,如图所示. ∴.FG=4√6cm. 8.B 9.48 10.解：两个相似三角形的一对对应边长分别为 35cm和14cm, .其相似比为5：2，.其面积比为25：4. 设较大的三角形面积为25xcm,则较小的三角形 .EB∥DC,EM⊥CD,CN⊥BE, 面积为4xcm2. ∴.EM=CN.:△ABEP△ECD,△ABE的面积 它们的面积差为21cm2,.25.x一4x=21,解得 为3，△ECD的面积为1， x=1, ∴.较大的三角形面积为25cm,较小的三角形面 - T:CD =√5，即BE=√3CD, 积为4cm2. 11.C12.10 2BE·CN 13.解：(1)60 (2),四边形PNMQ为矩形， S△ECD =3, CD EM ∴.PQ∥BC;PQ=MN. AD⊥BC,.PQ⊥AD,∴.PN=DH, cA0C 1 ∴.AH=AD-DH=80-PN. .矩形PNMQ的周长为220mm, 专题八证明比例式或等积式的常用技巧 ,∴.PQ=110-PN 1.解：(1)证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB, n0/Bc△AnQc△ABcA-8, ∴.∠A+∠ABC=∠DCB+∠ABC, .∠A=∠DCB. E是AC的中点，∴.ED=EA,∠A=∠EDA. ·。Y=110二PN,.PN=20mm. 80 而∠BDF=∠EDA,∴∠A=∠BDF, 14.解：(1)如图所示，，AD与BD分别是△ABC的内 ∴∠DCB=∠BDF,而∠F=∠F, 角∠BAC,∠ABC的平分线， ,.△BDFp△DCF,∴.FD:CF=BF:FD, 2322.3相似三角形的性质 第1课时相似三角形的性质定理1（答案P22) 通基仙> 面小孔正右方有一根点燃的蜡烛AB= >>5>>>>>>y>>>>y>>>>>>>>>>>>>>>> 10.5cm,如图所示是小孔成像示意图，则像 知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比 A'B的长是( 1.已知△ABC△DEF,且相似比为7：9，则 A.2.5 cm B.3.5 cm △ABC与△DEF对应角平分线的比 C.4.5 cm D.7.5 cm 是() A.9:7 B.7:9 C.49:81 D.81:49 36 cm 2.如果两个相似三角形对应角平分线的比为 第6题图 第7题图 3:2,那么这两个三角形对应中线的比 7.如图所示，某校宣传栏BC后面12米处(FG 为() 12米)种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即 A.2:3 B.4:9 BC∥ED,一人站在宣传栏前面的A处正好看 C.3:2 D.√3：√2 到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住.已 3.如图所示，△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别 知AG⊥DE交BC于点F,AF=3米，BC= 是△ABC的高和中线，A'D',B'E'分别是 10米，该宣传栏后DE的距离为 米 △A'B'C的高和中线，且AD=4,A'D'=3, 8.(2023·安庆宿松期中)如图所示，用手举一根 BE=6,则B'E'的长为() 标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距 离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆， 此方法可测量旗杆的高度.若人与标尺EF的 水平距离CG=20cm,人与旗杆AB的水平距 B.2 C.2 9 离CH=12.6m,标尺的长度EF=22cm,根 D. 据测量结果，试求旗杆的高度. 4.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与 原三角形对应高的比是 5.如图所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC,两边BA与 CD的延长线相交于点P, PF⊥BC,AD=2,BC=5, EF=3,则PF= 知识点2相似三角形性质定理1的实际应用 6.学科融合》在一个棱长为12cm的正方体箱 子的右侧面中心处（点O)有一个小孔，在右侧 79 优计学案·课时逼 (1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是 3.5cm,那么小视力表中相应“E”的高是 9.如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其 多少？ 中一个三角形的一边上的中线长为2，则另 (2)乙生的方案中如果视力表的全长为 个三角形对应中线的长为( 0.8m,请计算出镜长至少为多少米. A号 B号 c片或号 D.无法确定 10.如图所示，△ABC为锐 角三角形，AD是边BC 上的高，正方形EFGH 的一边FG在BC上，顶 点H,E分别在AC,AB上.已知BC=30, AD=20,则这个正方形的边长是 通素第》>99999999 11.新情境为了加强视力保护意识，欢欢想在 12.某小区的居民筹集资金650元，计划在楼前 书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但 一块上底长5m、下底长10m的梯形（如图① 两面墙的距离只有3m.在一次课题学习课 所示)空地上种植花草，美化环境 上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如 (1)他们在△AED和△BEC地带上种康乃 何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位 馨，单价为10元/m,共花250元.若其余地 同学设计方案新颖，构思巧妙 带（△ABE和△DCE)可种兰花或茉莉花，单 价分别为20元/m2、15元/m2,那么应选择种 生 甲 ① 哪种花，刚好用完所筹集资金？ 图 (2)若梯形ABCD为等腰梯形（如图②所 例 D 示)，请你设计一种花坛图案，即在梯形内找 3 m m 到一点P,使得△APB≌△DPC,S△APD= 使用平面镜成像的原理 S△BPC,并说明理由. 来解决房间小的问题 如图所示，在相距3m 5m 3 m 如图所示①是测试距 的两面墙上分别悬挂视 离为5m的大视力表， 力表(AB)与平面镜 可以用硬纸板制作一 (MN),由平面镜成像原 10m 10 ② 个测试距离为3m的理，作出了光路图，通过 方 小视力表②.通过测量调整人的位置，使得视 大视力表中“E”的高度力表AB的上、下边沿 (BC的长)，即可求出A,B发出的光线经平 小视力表中相应的“E” 面镜MN的上下边沿反 射后射入人眼C处，通 的高度(DF的长) 过测量视力表的全长 (AB)就可以计算出镜 长MN 一九年级·上册·数学 80