22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

第5课时直角三角形相似的判定方法（答案P21) 通基础》9%999999沙99 5.结论开放》如图所示，在正方形ABCD中，E 是边CD的中点，P是边BC上一点，要依据 知识点1直角三角形相似的判定 “两边成比例且夹角相等”判定△ABP刀 1.在△ABC和△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°， △ECP,还需添加的一个条件 AC=12,AB=15,A1C1=8,要使△ABC∽ 是 △A1B1C1,A1B1的长为() 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D, A.8 B.10 C.12 D.14 CE⊥AB于点E.求证：△ABDC∽△CBE. 2.如图所示，已知Rt△ABC和Rt△DEF, ∠C=∠F=90°，AB=5,AC=3,DE=6,当 DF= 时，Rt△ABC∽Rt△DEF. 3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°， AC=3,AB=√13，B'C'=4,A'B'=2/13. 知识点3直角三角形相似在测量中的应用 求证：△ABC△A'B'C. 7.(2023·滁州定远期末)如图所示，小明同学用 自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度 AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持 水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知 纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm, 知识京2判断直角三角形相似的方法综合 测得边DF离地面的高度AC=1.6m,CD= 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 8m,则树高AB为 m BC=3,下列选项中按虚线剪下的三角形与 △ABC不相似的是( 第7题图 第8题图 8.如图所示，已知零件的外径为acm,现用一个 交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件 30 的内孔直径AB.如果OA:OC=OB:OD= B 3,且量得CD=5cm,那么零件厚度x为 第4题图 第5题图 cm. 75 优计学案·课时通 通能力 13.应用意识》如图所示，为测量学校围墙外直 立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处 9.如图所示，在正方形ABCD中，E 直立高3m的竹竿CD,然后退到点E处，此 是CD的中点，AE,BC的延长线 时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重 交于点F,AE的垂直平分线分别 D 合.小亮又在点C1处直立高3m的竹竿 交AE,BC于点H,G,连接EG,则 C1D1,然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿 与△FEC相似的三角形个数 顶端D1与电线杆顶端B重合.小亮的眼睛 为() 离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m, A.1 B.2 C.3 D.4 EC1=6m,C1E1=3m,求电线杆AB的 10.下列命题是真命题的有() 高度 ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ②两条直角边对应成比例的两个直角三角形 一定相似；③有一个角相等的两个直角三角 形相似；④两个等腰直角三角形是相似三 角形. A.1个B.2个C.3个 D.4个 11.如图所示，在矩形ABCD中，点E,F分别在 BC,CD边上，EF⊥AE,BH⊥AC于点H, EF与AC交于点M,BH与AE交于点N. 通素养》9899 则下列结论错误的是( 14.如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标 A.△EFC∽△AEB 为（一3,0），点A,B分别在x轴、y轴的正半 B.△ECM∽△ABN 轴上，且满足OB2-3+OA-1=0. C.△CFM∽△BEN (1)求点A,B的坐标. D.△ANH∽△EFC (2)若点P从点C出发，以每秒1个单位长度 12.探究拓展》在每个小正方形的边长为1的网 的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP, 格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶 是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三 点都是格点的三角形称为格点三角形.如图 角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的 所示，已知Rt△ABC是8×8网格图形中的 坐标；若不存在，请说明理由. 格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似 的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长 是 一九年级上册数学 76能 5.BP=2CP =√2 6.证明：AD⊥BC,∠ADB=90° ∴.△ABCP△CED. ,CE⊥AB,.∠CEB=90°. ,∠ABD=∠CBE, 7.证明：AD=1 4090-号 ∴.△ABD∽△CBE. B00E=2,0DOE 7.5.6 ·BE= OB-3AO-OB 8.Q15 又：∠AOB=∠DOE,.△AOB∽△DOE, 2 E台同理可江眨号既 DF EF 2 9.C10.C11.D 12.10 DE 2 13.解：DC⊥AE,D1C1⊥AE,BA⊥AE, AB3' .DC∥D1C1∥BA, .DN FN △ABC△DEF,相似比为号 .△F1D1N△F1BG, BG F G 8.A9.15cm10.丙 1解：0分-C-品 CBAG ∠A=∠A' EF⊥AE,E1F1⊥AE,∴.四边形EFF1E1为矩 (2)△ABC与△A'B'C相似，理由如下： 形，.GF1∥AE1,.DN=DM=1.5m, 8A记，：ABAD=AB二AD AD A'D f8-0脚oNn-o-giGM 3 2 即 AB AB BD B'D' 16m. ABAB 0福 8提-员c= .'.AB=BG+GA=15 m. CD=AB BC 答：电线杆AB的高度为15m. CD'AB'B'C 14.解：(1).√OB2-3+|OA-1|=0,.OB2-3=0, CD BD BC ∴CB-BB-BC△BDCn△B'D'C, OA-1=0,∴.OB=√3，OA=1. 点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上， ∴∠DBC=∠D'B'C'. .A(1,0),B(0,3). 又-A0△ABC△AgC. (2)存在.由勾股定理，得AB=√OB2+OA= 12.解：(1)△ABC△DEF.理由如下： √(3)2+12=2， :AC=√22+1=W5,AB=√4+22=25， BC=√OB2+OC2=√(W3)2+32=2√3. BC=√4+32=5，DF=√22+2=2√2，DE= 由勾股定理的逆定理，得AB2十CB2=2+(2√3)2= √/4+4=4√2，EF=√22+6=2/10， 16,AC2=[1-(-3)]2=16. 器得年提篇零器 :AB2+BC2=AC2,.△ABC是直角三角形， ∠ABC=90°， 存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与 5-0, 2104, △AOB相似.当△AOB∽△ABP时，即3-P, ÷S-是-=△ABc△DE 即 2=B那解得BP=23,则P,(-3,0. (2)答案不唯一，下面6个三角形中任意2个均可： AO BO △P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,△P4P5D, 当△AOB∽△PBA时，PBAB' △PzP4P,△P,FD.图中连线略. 第5课时直角三角形相似的判定方法 即-得B即-2的 3 1.B2.3.6 如图所示，过P2作P2D⊥OC于点D, 3.证明：，∠C=90°，AC=3,AB=√13， .BC=√AB2-AC2=√（√13）2-32=2. △CP,D∽△CB0,:Cg-PDCD BCOB-OC 0温器士 2w3-23 3 P2D B P 滑器 23 3 CD P ∴.Rt△ABC∽Rt△A'B'C', 3, D 即△ABC∽△A'B'C'. 4.D CD=2,P,D=2 3 21 P(-1,2） :AB=AC=1,BC=1+I=2.:BD= 2 综上所述，点P的坐标为(-30或(-1,2). √2 1 2 专题七相似三角形的基本模型 2元， 1.7 2 2.解：(1)如图所示， :FC-2则CF的长度是 1 ,DP⊥AB,∠C=90°， .∠C=∠ADP=90 8.证明：，四边形ABCD为正方形， 由勾股定理，得AC= .∠B=∠C=90°，∴.∠BEF+∠BFE=90°. √AB2-BC2=4. ,∠EFG=90°，.∠BFE+∠CFG=90°， 又，∠A=∠A, ∴.∠BEF=∠CFG,∴.△EBF∽△FCG. .△APDn△ABC, 9.解：答案不唯一，如：△DMG∽△DBM, 器0增琴 25 △AMF∽△BGM. 161 ①证△DMGP△DBM. @Y△CPQv△CAB时，器-器 ,'∠DME=∠B,∠D=∠D, .△DMG∽△DBM. :4-24-{或2-4-5， ②证△AMF△BGM 4 3 4-号4=号或6（合弃）. ,∠A+∠AMF+∠AFM=180°， 当ACPQ△CBA时，则CP=CQ, ∠AMF+∠DME+∠BMG=180°， CB CA' 又.∠DME=∠A=∠B, ..∠AFM=∠BMG,..△AMFC∽△BGM. :42-1或2,4=天， 3 41 22.3相似三角形的性质 2t-43 第1课时相似三角形的性质定理1 当Q到达终点后， 3 或 1.B2.C3.D 4 4.1:25.56.B7.50 :-智或综上所述4的值为皮要攻4 8.解：由题意，知EF∥AB, ∴.△ABC∽△EFC,△AHC∽△EGC, 1 3. 带品器器 4证明CE,AE-E:0E能能 ,CG=20cm=0.2m,CH=12.6m,EF=22cm= 又，∠AEB=∠DEC,.△ABE∽△DCE. 0.22m则22m=0.2AB=13.86m,即旗杆 5.证明：，'∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC, 的高度为13.86m. ∴.∠ABE=∠ACD. 9.C 又∠BAC=∠DAE, 10.12 ,∴.∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC, 11.解：(1)由题意，知BC⊥AB,DF⊥AD, ∴.∠DAC=∠EAB,∴.△ABE∽△ACD ∴.∠CBA=∠FDA=90°. 6.证明：设OA=OB=BC=CD=k. 又：∠CAB=∠FAD,.△CAB△FAD, .OA=OB,∠AOB=90°， ..OA2+0B2=20B2=AB2, 8股 .AB=√2k, 由题意，知AD=3m,AB=5m,BC=3.5cm, C-2AB 2'BD2 …g0 G部 解得DF=2.1cm,即小视力表中相应“E”的高是 2.1cm. 又，∠ABC=∠DBA, (2)如图所示，连 .△ABCp△DBA. 接A'B',作CD⊥ 7.解：(1)证明：，'在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中， MN于点D,并延 长交A'B'于点E, ∠BAC=∠DAE=90°， 由题意，知AB∥ .∠B=∠C=∠E=∠ADE=45° MN∥A'B'. ,'∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC, .MN∥A'B',CD⊥MN, ∴.∠BAD=∠EDC,∠B=∠C=45°， .CE⊥A'B' .△ABDn△DCF. MN∥A'B', (2).△ABD∽△DCF,. AB BD ∴.∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C, CD FC △MNCAABC,小0 22