21.2 3. 二次函数表达式的确定-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

14.解：（1)把(2,0)代入y=a(x一4)2十2，得9.解：(1)图象如图所示. a(2-4)2+2=0, 1 3 解得a=-了，ia的值为-日 1 (2)y=-2x2-x+2 1-- (2)由(1)可知抛物线的函数表达式为 ?(x+1)2十2，平移后图象 1 y=一2(x一4)2+2，心对称轴为直线x=4, 所对应的函数表达式为y c-2y+2 -- .C(4,0).令x=0,得y=-6, .B(0,-6).A(2,0),.AC=4-2=2, 10.A11.D12.D13.A 14.6 S△ABc=2X2X6=6. 15.y=-x2+4x(答案不唯一) 15.解：(1)认同，理由如下： 16.解：(1)：二次函数y=x2+ax十a+1的图象经过 y=-4(x-3m)'+3-3m, 1 点P(-2,3), ∴.3=(-2)2+aX(-2)十a+1,解得a=2, ∴.抛物线的顶点坐标为(3m,3-3m), .y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ,3m+3-3m=3, ∴.该函数图象的顶点坐标是(-1,2). .(3m,3-3m)在y=-x十3上， (2)①：点Q(m,n)在该二次函数的图象上，m= ∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在 2,y=x2+2x+3,.n=22+2X2+3=11. 一条直线上运动. ②.y=x2+2x+3=(x+1)2+2, (2)证明：，A(a一5，c),B(6m十4，c)都在该二次 ∴.该函数图象开口向上，当x=一1时取得最小值 函数图象上， 2.:当m≤x≤m十3时，该二次函数有最小值11， ∴.A,B关于直线x=3m对称， ∴.分情况讨论如下： :a-5+6m+4-3m,解得a=1, 当m>-1时，即m2+2m+3=11,解得m1=-4 2 (舍去)，m2=2; ∴.A(-4,c), 当m<一1<m十3时，该函数的最小值为2，不符 合题意； c=1-4-3m)2+3-3m= 4m2-9m 当m+3<-1,即m<-4时，(m+3)2+ 2(m+3)+3=11,得m3=-1(舍去)，m4=-7. 1=-(骨m+9m+9+9-1=-(m+3)+8 3 由上可得，m的值是2或-7. -1<0,.c≤8. 17.(1)(2,4)(2)(1,1)解析：(1)由题意令y=0, 16.解：(1)由数值转换器，得 1 .y= 2x2+x十4=0.∴x=-2或x=4, 3 y=4x+m(0≤x≤4)， .A(-2,0),B(4,0) 又令x=0,∴.y=4,∴.C(0,4). (x-6)2+n(x>4). 当x=0时，y=m=3;当x=4时，y=3+3=6,即 又抛物线为y=2x2十x十4 B(4,6). ∴.对称轴为直线x=1. 将B点坐标代入y=（x一)2+n,得4十n-6,解 ,点C关于抛物线对称轴的对称点为P, 得n=2.当x=6时，y最小值=n=2. ∴.P(2,4). 3 (2)当y=5时，4x+3=5,解得x=3 (2)点M在PC的垂直平分线上，M在第一象限， .可设M(1,m)(m>0). 当y=5时，(x一6)2+2=5，解得x1=6十√3， △BPM是等腰三角形，.分以下三种情形. x2=6-W3. 由点M,B,P的坐标，得MB2=9十m2,BP2=4十 8 16=20,MP2=1+(m-4)2, 综上可得，x的值为3或6十3或6一√3. 当BM=BP时，MP为斜边，即9+m2=20且 第4课时二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质 MP2=1+(m一4)2=20×2，方程无解； 1.C2.C3.44.155.2 当BM=PM时，则BP为斜边，9+m2=1+(m一 6.解：二次函数y=mx2+(m-1)x十m-1有最大 4)2且9+m2+1+(m-4)2=20,解得m=1,即点 值0， M(1,1); m<0, 当BP=MP时，则BM为斜边，即20=1+(m一 4n(n-1)-（m-1)=0,解得m,=- 1 4)2且9+m2=20+1+(m一4)2，方程无解. 3 综上所述，点M的坐标为(1,1). Am 1 *3.二次函数表达式的确定 m2=1(舍去)，m=一3 1.y=x2+3x-4 7.C解析：抛物线y=x2向右平移2个单位长度可 2.解：(1)设二次函数表达式为y=ax2+bx+c. 得到抛物线y=(x一2)2，再向下平移1个单位长度 c=-3, 即可得到抛物线y=(x一2)2-1. 根据题意，得4a+2b+c=一3， 故平移过程为先向右平移2个单位长度，再向下平 a-b+c=0, a=1, 移1个单位长度. 解得b=一2， 8.B c=一3， 3 ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 将y=一5代人抛物线的表达式，得xD=4, (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 故点D坐标为(4，一5). .此二次函数图象的顶点坐标为(1，一4) 3.A4.B 直线0D的函数表达式为y= 5.解：由抛物线顶点坐标为(1，一3)，设其函数表达式 又抛物线的顶点坐标为(2，一9)， 为y=a(x-1)2-3. 过点(2，一9)作y轴的平行线，与CD和OD分别 将(0，-2)代人y=a(x-1)2-3,得 交于点M,N,如图所示， a一3=一2，解得a=1, 则点M的坐标为(2，一5). 则抛物线的函数表达式为y=(x一1)2一3. 6.B 将z=2代入y=-,得y=-×2=-则 7.解：二次函数的图象过点(1,0)，(5,0)，.设这个 二次函数的表达式为y=a(x-1)(x一5)， 点N坐标为(2-) 由整愈州2-多0，。 即y=ax2-6ax+5a. 9 又：-5-(-9)=4，- 5 13 -(一9)= 2 21 8 13 y=、9 ∴.m的取值范围是4<m< (x-1)(x-5), 2 即y-8+-5 .2745 8.B9.C 10.y=-3(x-2)2-111.1 2y=-景+台+2 13.解：(1)由题意，得抛物线与x轴的另一个交点为 (1,0).设y=a(x-1)(x+3),把(0,3)代入，得 15.解：(1)将(1,3)代入y=ax2+(a+1)x+a-4,得 3=-3a, 3=a+a+1+a-4,∴.a=2, ∴.a=-1,∴.抛物线的函数表达式为 .这个二次函数的表达式为y=2x2十3x一2. y=-(x-1)(x十3)，即y=-x2-2x+3. (2),y1=y2,.这两个点关于x轴对称， (2)设直线AB的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， (一3,0)，(0,3)代入，得3k十6=0解得k=1 2a2 ∴.直线AB的函数表达式为y=x十3. +-2-安-1a-月 3 如图所示，作PQ⊥x轴于点Q,交直线AB于 (3)①点（一1，t)在二次函数图象上， 点M. .t=a-a-1+a-4=a-5. ②当x≥一1时y随x的增大而增大， 当a>0时，有a十1 ≤-1，.0<a≤1， .-5<t≤-4； 当a<0时，不符合题意舍去..-5<t≤-4. X=- 专题一二次函数表达式的求解策略 设P(x,-x2-2x十3)(-3<x<0),则M(x,x十3)， 1.2 .PM=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x, 2 一2 3 2.(1)y=x2-4x+5(2)> 3.解：.点B(4,m)在直线y=x十1上， ..m=4+1=5,..B(4,5). 当x= 时，S最大=8' 27 2 把A,B,C三点坐标分别代入抛物线的函数表达 式，得 y=-(-》-2x(-)+8-5 a-b+c=0, a=-1, {16a+4b+c=5,解得b=4, :△PAB的面积的最大值为号，此时点P坐标为 25a+5b+c=0, c=5. ∴.抛物线的函数表达式为y=一x2+4x+5. (,) 4.解：(1)二次函数y=x2十bx十c的图象经过点 A(1,-2)和B(0,-5). 14.解：(1)，抛物线的对称轴是直线x=2, “-名=2，解得6=4 ÷计6：三-2舞得=2 c=一5， ∴.二次函数的表达式为y=x2+2x-5. 又抛物线与y轴交于点C(0,一5)， (2)x的取值范围是一3x1. .c=一5. 5.D6.B7.y=(x-2)2-1 ∴.抛物线的表达式为y=x2-4x一5. 8.解：(1)直线x=-1 (2).CD∥x轴，∴.yp=yc=-5. (2)y=ax2+2ax+3a2-4=a(x+1)2+3a2-*3.二次函数表达式的确定（答案P3) 通基佣>22>>922 5.已知抛物线的顶点坐标是(1，一3)，与y轴的 交点是(0，一2)，求抛物线的函数表达式 知识点1用一般式求二次函数的表达式 1.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)， （一1，一6)，(2,6)，则该抛物线的表达式 为 2.已知二次函数的图象经过点A(0,一3)， B(2,-3),C(-1,0). (1)求此二次函数的表达式. 知识点3用交点式求二次函数的表达式 (2)求此二次函数图象的顶点坐标， 6.如图所示是一条抛物线，则其函数表达式 为() A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2.x+3 D.y=x2+2x-3 7.已知二次函数的图象过点(1,0)，(5,0)，顶点 知识点2用顶点式求二次函数的表达式 的纵坐标是，求这个二次两数的表达式。 3.几何直观》已知某二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为( ) 31 A.y=-3(x-1)2+3B.y=3(x-1)2+3 C.y=-3(x+1)2+3D.y=3(x+1)2+3 通能力》>%>>>>>> 4.顶点为（一2,0），开口方向、形状与函数y= 8.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x一3) 222的图象相同的抛物线所对应的函数表达 经变换后得到抛物线y=(x十3)(x一5)，则这个 式是() 变换可以是() 1 1 A.向左平移2个单位长度 A.y=2(x-2)2 B.y=2(x+2)2 B.向右平移2个单位长度 1 C.y=-2x-2)2 D.y= 2(x+2)2 C.向左平移8个单位长度 D.向右平移8个单位长度 13 优计学案·课时通 9.已知某二次函数y=ax2十bx十c的图象如图 (2)将抛物线向上平移个单位长度，使平移 所示，则这个二次函数的表达式可能是( 后的抛物线的顶点落在△OCD的内部（不包 A.y=-x2十2x+3 括△OCD的边界)，直接写出m的取值范围. B.y=-x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=x2+2x+3 10.(2023·阜阳太和期中)把抛物线y=一3(x+ 2)一1沿y轴翻折所得新抛物线的表达式 为 11.函数y=x2+bx一c的图象经过点(1,2)，则 b一c的值为 12.已知抛物线y=一ax2+bx十2的对称轴为直 线x=1,且抛物线经过点（一1,0），则抛物线 的函数表达式为 通素第》%99999999999 13.如图所示，已知抛物线经过两点A(一3,0)， 15.探究拓展》已知二次函数y=ax2十(a十 B(0,3),且其对称轴为直线x=一1. 1)x+a-4. (1)求此抛物线的函数表达式. (1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函 (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动 数的表达式 点（不包括点A,点B),求△PAB的面积的 (2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象 最大值，并求出此时点P的坐标. 上两个不同点，当x1十x2=2时，y1=y2,求 a的值， (3)若点（一1，t)在此二次函数图象上. ①直接用含a的代数式表示t; ②当x≥一1时y随x的增大而增大，求t的 取值范围. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原 点，抛物线y=x2一bx十c的对称轴是直线 x=2,与y轴交于点C(0,一5).过点C作 CD∥x轴，交抛物线y=x2-bx+c于另一 点D.连接OD (1)求抛物线的表达式. 一九年级上册数学 14