21.1 一元二次方程 课堂同步训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程 一．选择题 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2xy+y2＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1 C． D．2t2+1＝﹣2t 2．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 3．已知一元二次方程3x2﹣mx﹣m＝0的一个根是2，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5 5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2＝1的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 6．将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，则一次项的系数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 7．将方程3x2﹣8＝2x改写成为ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．3，﹣8，2 B．3，﹣8，﹣2 C．3，﹣2，﹣8 D．2，﹣3，8 8．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，若1﹣a+b＝0，则下列各数中是该方程的根的是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 9．若x＝α是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的一个根，则α2﹣α的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2024 二．填空题 10．写出一个根为x＝2的一元二次方程，它可以是　 　 ． 11．一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　 ． 12．若x＝1是方程2x2﹣3x+5﹣a＝0的根，则a的值是　 　 ． 13．若方程x2+x﹣2025＝0的一个根是a，则a2+a+1的值为　 　 ． 14．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 15．已知一元二次方程3x2﹣5x﹣1＝0的二次项系数为3，则一次项系数为　 　 ． 16．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m3﹣3m2+m+5的值为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （3x+1）2﹣2x＝0 　 　 　 　 　 　 　 　 3x2﹣2x＝x2+1 　 　 　 　 　 　 　 　 18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 20．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根． （1）﹣2m2+4m+1的值为　 　 ． （2）求的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A C C B C C B D 二．填空题 10．x2﹣4＝0（答案不唯一）． 11．2． 12．4． 13．2026． 14．0． 15．﹣5． 16．3． 三．解答题 17．解：如图： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （3x+1）2﹣2x＝0 9x2+4x+1＝0 9 4 1 3x2﹣2x＝x2+1 2x2﹣2x﹣1＝0 2 ﹣2 ﹣1 18．解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 19．解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 20．解：（1）由条件可得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴﹣2m2+4m+1＝﹣2（m2﹣2m）+1＝﹣2+1＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）由条件可知m2﹣2m﹣1＝0，且m≠0． 将等式两边同时除以m，得， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/17 10:55:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $