24.1.2 垂直于弦的直径-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

∴.△P'AP是等边三角形， .PP'=6. (2)P'B=PC=10,PB=8, ..P'B2=P'P2+PB2, A日 ∴△P'PB为直角三角形， 【通模拟】 且∠P'PB=90°， 1.D2.A3.B4.B5.B6.C7.10 .∠APB=∠P'PB+∠P'PA=90°+60°=150°. 8.(1)二(2)-3 【变式训练4】B解析：，∠ACB=90°， 9.解：(1)如图所示，AB1即为所求. ∠B=60°， (2)如图所示，△A2B2B1即为所求 ∴.∠BAC=30°， 「T1 「T ∴.AB=2BC=2×2=4. B △ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C, B B ..A'B'=AB=4,B'C=BC=2,A'C=AC,/A'= ∠BAC=30°，∠A'B'C=∠B=60°， 1- B或 ∴.△CAA'为等腰三角形， .∠CAA'=∠A'=30°. A,B,A'在同一条直线上， ∴∠A'B'C=∠B'AC+∠B'CA, 【通中考】 ∴.∠B'CA=60°-30°=30°， 10.C11.B .B'A=BC=2, 第二十四章圆 ∴.AA′=AB′+A'B'=2+4=6. 【例4】思路分析：(1)根据等边三角形边相等的性质解 24.1圆的有关性质 题即可，(2)根据等边三角形的性质得到∠ACB= 24.1.1圆 ∠DCE=60°，于是得到∠ACD=∠BCE,即可证 1.D2.D3.D4.B5.226.C7.D8.B 明△ACD≌△BCE,根据全等三角形对应边相等 9.a=b=c 的性质即可解题. 解析：连接OM,OD,OA,如图所示 解：(1)，△ABC和△CDE都是等边三角形， :点A,D,M在半圆上，.OM=OD=OA. ∴.AC=BC,CD=CE, ,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形， ∴.AC-CD=BC-CE, ..OM=NH,OD=GF,OA=BC, 即AD=BE .BC=EF=HN,即a=b=c. (2)如题图②所示， D ,∠ACB=∠ECD=60°， .∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE, 即∠ACD=∠BCE, 在△ACD与△BCE中. AC=BC, 10.解：OE=OF. ∠ACD=∠BCE, 证明：如图所示，连接OA,OB CD=CE, .OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA. ∴.△ACD≌△BCE(SAS), 又.AE=BF,OA=OB, ∴.△OAE≌△OBF(SAS). ..AD=BE. ..OE=OF. 同理将△CDE绕C点沿顺时针方向旋转至如题图 ③④⑤⑥⑦⑧的位置时，AD=BE还成立. 【变式训练5〔“，》 解析：，∠AOB=90°，OA=3,OB=4, ∴.AB=√OA+OBZ=√32+4=5. 过点C作CH⊥x轴于点H,如图所示， CHX5- X3×4,CH=12 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.C3.A4.B5.56.A 7.解：(1)连接OA,过点O作OC1 5 AB,垂足为C,交⊙O于点D,如 根据图形，每3个图形为一个循环组，3十5十4 图①所示 12,而8=3×2+2， .'AB=10 cm, 二图⑧与图@的直角顶点的纵坐标相同，都为 ∴.AC=BC=5cm, 1 ∴.OC=√OA2-AC2= 图⑧的直角顶点的横坐标为2X12十3+9-144 √/132-52=12(cm), ① 5 5 .CD=OD-OC=13-12=1(cm). 即图③的直角预点的丝标为（售，号）】 (2)①当水面CD在与水面平行的直径下方，连接 OA,OC,过点O作OM⊥AB于点M,交CD于点 23 H,如图②所示， .∠A+∠ODA+∠ODC=90°， ..OMCD. ∴.∠ODC=30°， .CD=24(cm), .CH=12(cm), .*O 20D-AB- ·0E= 2.DE= 2 在Rt△COH中， H CO2=CH2+OH2, .AB⊥CD,∴.CD=2DE=√3 M 13.解：货船能顺利通过这座拱桥.理由如下： ∴.132=122+0H2, ..OH=5(cm). ② 如图所示，连接ON,OA. 由(1)得OM=12cm, .OC⊥AB,AB=7.2m, ∴.上升的距离为 AD-7AB=3.6 m. MH=OM-OH=12-5=7(cm). ②当水面CD在与水面平行的直径上方，连接OA, 设OA=OC=ON=rm, OC,过点O作OM⊥AB于点M,交OC于点H,则 则OD=(r-2.4)m. 在Rt△AOD中， OH⊥CD,如图③所示. .CD=24(cm), 根据勾股定理，得r2=(r一2.4)2+3.62. .CH=12(cm), 解得r=3.9. 在Rt△COH中， CD=2.4m,船舱顶部为长方形并高出水面 0 CO2=CH2+OH2, 1.5m,.CH=2.4-1.5=0.9(m), 132=122+0H2, .OH=3.9-0.9=3(m). M 在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92- .OH=5(cm). 由(1)得OM-12cm, 32=6.21,∴.HN=√6.21m, .上升的距离为 ∴.MN=2HN=2√6.21m>3m, MH=OM+OH=12+5=17(cm). 货船能顺利通过这座拱桥」 答：排水管水面上升了7cm或17cm. M C 8.D解析：过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所 对的两条孤，故A错误，不符合题意； 弦的垂直平分线平分它所对的两条孤，一定过圆心， A、、E 故B错误，不符合题意； 过弦（不是直径）的中点的直径垂直于弦，故C错误， 不符合题意； 24.1.3弧、弦、圆心角 平分弦所对的两条孤的直径平分弦，故D正确，符合 1.A2.B3.D4.48°5.2√2 题意. 6.证明：如图所示，连接OC. 9.2√5或45 解析：连接AC,AO,如图所示. ,⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, AM=2AB=号×8=4(cm),0D=0C=5cm 当C点位置如图①所示时， .'OA=5 cm,AM=4 cm,CD LAB, ,C为AB的中点，.AC=BC,.∠MOC= ∴.OM=√52-4=3(cm), ∠NOC.M,N分别是OA,OB的中点，.OM= ..CM=OC+OM=5+3=8(cm), .AC=√82+4=45(cm). OA,ON-20B.OA-OB,OM-ON. y 当C点位置如图②所示时，同理可得OM=3cm. (OM-ON, ,OC=5 cm, 在△MOC和△NOC中，：∠MOC=∠NOC, ∴.MC=5-3=2(cm) OC=OC, .△MOC≌△NOC(SAS),∴.MC=NC 在Rt△AMC中，AC=√J4+2=2√5(cm). 7.C8.A 9.A解析：点C,D是孤AB的三等分点， ∴AC=CD=DB,∴选项B正确，不符合题意， .OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA=45° ∠AOC=∠BOD=30°， ∴.∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理 ① ② /OFE=75°， 10.A11.2√5 ..OE=OF. 12.解：在△AOF和△COE中， .OC=OD, .∠AFO=∠CEO=90°，∠AOF=∠COE, ∴CE=DF,选项C正确，不符合题意， ∴.∠A=∠C. 由上可得∠OFE=75°， 连接OD,则∠A=∠ODA,∠C=∠ODC, ∴∠DFB=75°，故选项D正确，不符合题意， ∴.∠A=∠ODA=∠ODC. 直径AB垂直于弦CD,.∠AED=90°， ∠0CD=180°-30° 2 75°， 24第二十四章圆 大单元建构 :圆的对称性 弧、弦、圆心角的关系 等分圆周 圆周角与圆心角的关系 圆的有关性质 直径与弦的关系 正多边形和圆 点在圆上 圆 点在圆外 点在圆内 三角形的外接圆 点和圆的位置关系！ 弧长公式 有关圆的计算 圆锥的侧面 圆的切线的判定 相离 与圆有关的 积和全面积 扇形面积公式 圆的切线的性质 位置关系 相切 直线和圆的位置关系 切线长定理 三角形的内切圆 相交 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 利用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算，加强公式的推导和运用，恰当的选择公式，理解不 运算能力 同条件“R”的意义，促进数学运算能力的发展 能通过观察圆的形成过程和特征，抽象出圆的概念，归纳出确定圆的因素，通过对圆心角、圆周 抽象能力 角、弧、半圆、内切圆、外接圆等基本概念位置和特征分析抽象出存在的数量关系 借助垂径定理和勾股定理表达出数量关系，构建方程模型，根据点与圆、直线与圆的位置关系，确 模型观念 定半径“x”和距离“d”的关系，列出方程或不等式（组），从而解决问题 根据弧、弦、圆心角关系定理，圆周角定理及切线的性质和判定进行有关推理和论证，经历用逻辑 推理能力 推理分析问题和解决问题的过程，进一步提高逻辑推理能力 利用垂径定理解决生活中桥拱、隧道的半径，管道液面深度的计算等实际问题，服务于解决实际 应用意识 问题，增强应用意识 -九年级·上册数学J河北专用 86 24.1圆的有关性质 24.1.1 圆（答案P23) 通基仙22>>2>>>> (5)直径不是弦；(6)优弧大于劣弧；(7)以O为 圆心可以画无数个圆.正确的说法有() 知识点1圆的定义 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形 通能力2 是() A.圆的外部（包括边界） 7.如图所示，⊙O的直径AB B.圆的内部（不包括边界） 与弦CD的延长线交于点 C.圆 E.若OB=DE,∠E=26°， D.圆的内部（包括边界） 则∠AOC为() 知识点2与圆有关的概念 A.52° B.62° C.72 D.78° 8.教材P80例1变式》在下列图形中，四个顶点 2.下列说法不正确的是() 一定在同一个圆上的是() A.过圆心的弦是圆的直径 A.平行四边形、菱形B.矩形、正方形 B.等弧的长度一定相等 C.菱形、正方形 D.矩形、平行四边形 C.周长相等的两个圆是等圆 9.如图所示，点A,D,G,M G D D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 在半圆上，四边形ABOC, 3.(2023·沧州青县期中)小明在半径为5的圆 DEOF,HMNO均为矩形. 中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定错 设BC=a,EF=b,HN=c,则a,b,c三者间 误的是() 的大小关系为 A.4 B.5 10.如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC,OD分 C.10 D.11 别交AB于点E,F,且AE=BF,请你判断线 知识点3同圆的半径相等 段OE与OF的数量关系，并给予证明. 4.如图所示，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连 接OC.若∠ACO=25°，则∠BOC的度数 是() A.40° B.50° C.55° D.60° A- 01B2 第4题图 第5题图 5.如图所示，半圆O的直径AB等于 易错固对圆的相关概念理解不透 6.以下说法：(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆； (2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是 直径；(3)弦是直径；(4)直径是圆中最长的弦； 87 优学秦·课时通一