第二十一章 一元二次方程 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

(2)列表如下： 21.2.1配方法(2) 、第1次 解：(1)配方，得x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2. 红 红 红 白 黄 第2次 直接开平方，得x十3=士√2.由此可得x十3=√2， 红 (红，红)（红，红） (红，红) (红，白)（红，黄） 或x十3=-√2，所以x1=-3十√2，x2=-3-√2. 红 (红，红) (红，红) (红，红) (红，白) (红，黄) (2)移项，得x2-2x=2023. 红 (红，红) (红，红) (红，红) (红，白)（红，黄） 配方，得x2-2x十1=2023十1， 即(x-1)2=2024. (白，红)（白，红） (白，红) (白，白)（白，黄） 由此可得x一1=土2√506， 黄 (黄，红)（黄，红） (黄，红) (黄，白)（黄，黄） 所以x1=1+2√506，x2=1-2√506， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都 (3)移项，得-3x2十2x=-1.二次项系数化为1， 是红球的结果有9种， 得x2一 这两次摸出的小球都是红球的概率为25： 9 4解：)号 即(：》”-合直接开平方，得红一日士号由 (2)四张卡片内容中是化学变化的有：A,D, 此可得x背号，或工一号一号，所以工=1， 画树状图如图所示， 开始 (4)方程可化为2x2-x=4.二次项系数化为1，得 1 个N x2- 2x=2. 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片 配方，得x2- +()-2+(, 内容均为化学变化的结果有：AD,DA,共2种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 即()-器 2-1 12-6 直接开平方，得红一}士 41 限时训练 21.221.2.1配方法(1) 由此可得红一号咸红 4 解：(1)将方程2x2-8=0,转化为x2=4. 直接开平方，得x=士2.即x1=2,x2=-2. 所以x,=1+y33,=1-V33 4 ,x2= 4 (2)将方程(3x-5)2+16=0, 21.2.2公式法(1) 移项，得(3x-5)2=一16. 解：(1)x2-3x-2=0, -16<0, .△=b2-4ac=9+8=17, ∴.原方程无解， (3)将方程女一5-16-=0， z=3±17 2 z,=37 2 2=3+7 2 转化为(x-5)2=32. (2)2x2-3x=1, 整理，得2x2-3x-1=0, 直接开平方，得x一5=士4√2. .△=b2-4ac=9+8=17, 即x1=5+4√2，x2=5-4√2. 3±√17_3±√17 (4)9(x-1)2-4=0, 2×2 4 9(x-1)2=4,则(x-1)2= 9 x1-31 4 ,x2-3+7 4 g-1=士号即=号=号 5 1 (3)(x+2)(x+3)=-4, 整理，得x2+5x+10=0, (5)对于(2x-1)2=(W2-1)2, 4=b2-4ac=52-40=-15<0, 直接开平方，得2x-1=±(2-1)， ∴.原方程无实数根。 解得号，29 (4)(x+1)(x-1)=2√2x, 2 整理，得x2-2√2x-1=0, (6)对于(2x+3)2=(3x+2)2, ∴.△=b2-4ac=8+4=12, 开方，得2x十3=3x十2，或2x+3=-3x-2, 解得x1=1,x2=-1. x=22±12 2 =2±3， 42 x1=√2-3，x2=√2十3 x -2士√/12 ,x1=-1+3,x2=-1-5. 21.2.2公式法(2) 2 1.证明：a=m2+1,b=-2m,c=m2+4. (5)移项，得x2-4x=2, △=4m2-4×(m2+1)(m2+4)=4m2-4m4 方程配方，得x2-4x十4=2十4，即(x-2)2=6, 20m2-16=-4m4-16m2-16=-4(m2+2)2<0, 开平方，得x一2=土√6， 则方程(m2+1)x2一2mx十(m2+4)=0没有实数根. 解得x1=2+√6，x2=2-√6 2.解：(1)a=1,b=2m+1,c=m2-1. (6)整理，得x2十x-2=10,即x2+x-12=0, △=b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5. 原方程可化为(x十4)(x一3)=0， .方程有两个不等的实数根，.△=4m+5>0. .x十4=0，或x-3=0, 解得m>-5 解得x1=-4,x2=3. 4 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (2)结合(1)，可知m的最小整数值为一1， ∴.原方程化为x2一x=0.a=1,b=-1,c=0. 1.解：，x1,x2是一元二次方程x2+6x十3=0的两个 △=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0. 实数根，x1十x2=一6，x1x2=3. x=-6±W6-4ac_1士1 (1)x1十x2-x1·x2=-6-3=-9. 2· （2)+型=x号+x-十x)-2x,·西 x21x1·x2 x1·x2 ∴.x1=1,x2=0. 21.2.3因式分解法(1) (-6)2-2×3=10. 3 解：(1)因式分解，得(x一√2)(x十√2)=0 2.解：(1).关于x的方程x2+(2k-3)x十k+1=0有 于是得x一√2=0，或x+√2=0， 两个不等的实数根x1,x2,∴△=(2k一3)2一4×kX x1=√2，x2=-√2. (k+1)=-16k+9>0,且k≠0， (2)因式分解，得x(x一3)=0. 于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3. 廊得治且太0 (3)方程变形，得 (2)不存在，理由如下： (3x-1)2-2(3x-1)=0. ,方程x2+(2k一3)x+k十1=0有两个不等的实 因式分解，得(3x-1)(3x一1一2)=0. 于是得3x-1=0,或3x-3=0, 数根x1x4,x1十x,=-26-3 k 1 x-x=0,即(x1十x2)(x1-x2)=0, x1=3x2=1. (4)方程变形，得3x(x-1)十2(x-1)=0. ∴x1+4=0,-26-3=0, 因式分解，得(x-1)(3x+2)=0. 于是得x-1=0,或3x十2=0，x1=1,x2= 2 解得一名> 3 ∴.不存在实数k,使得x一x=0 (5)x(x+2)-5(x+2)=0,(x+2)(x-5)=0, 21.3实际问题与一元二次方程(1) x+2=0,或x-5=0,所以x1=-2,x2=5. 1.解：设应邀请x支球队参加比赛， (6)2(x-2)2=x2-4, 由题意，得x(x一1)=12. 2(x-2)2-(x+2)(x-2)=0, (x-2)(2x-4-x-2)=0, 解得x1=4,x2=-3(舍去) 答：应邀请4支球队参加比赛 (x一2)(x一6)=0，x-2=0,或x一6=0， .x1=2,x2=6. 2.解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x十2). 21.2.3因式分解法(2) 根据题意，得3x(x+2)=10x+(x+2). 解：(1)移项，得3(x一4)2-2(x-4)=0, 整理，得3x2-5x-2=0. (x-4)[3(x-4)-2]=0, 解得工1=2：=-弓（不合题意，合去). 14 x-4=0,或3(x-4)-2=0,x1=4,x2=3 x十2=4，∴.这个两位数为24. (2)开方，得x-1=±3， 21.3实际问题与一元二次方程(2) 解得x1=4,x2=一2. 1.解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x, (3)移项，得x2-4x-5=0, 依题意，得20(1+x)2=33.8, (x-5)(x+1)=0,x-5=0,或x+1=0, 解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不符合题意，舍去). x1=5,x2=-1. 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%. (4)整理，得x2+2x-2=0, (2)33.8×(1+30%)=43.94(万件). b2-4ac=22-4×1×(-2)=12, .43.94<45, 43 ∴.若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不是由抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向下 变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件. 平移8个单位长度得到的 2.解：设每盒定价为x元时，每天的销售利润可以达到22.1.4二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质(1) 8000元. 由题意，得(x-40)[700-20(x-45)]=8000. 1.解：1y=-x+4-红-1)+ 1 解得x1=x2=60. 答：当每盒定价为0元时，每天的销售利润可以达 (2)由(1)可得抛物线的顶点坐标为1，)：对称轴 到8000元. 为直线x=1. 21.3实际问题与一元二次方程(3) (3)①图象开口向上，当x<1时，y随x增大而减 1.解：设横彩条的宽度是xcm,竖彩条的宽度是3xcm, 小；当x>1时，y随x增大而增大. 则(30-3x)(20-2x)=20×30×(1-19%), 解得x1=1,x2=19(舍去). ②抛物线有最小值子（答案不唯-） 所以3x=3. 2.解：(1)，y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4, 答：竖彩条的宽度是3cm. ∴.函数图象的顶点坐标为(1,4). 2.解：设AB的长为x米，则BC的长为(100一4x)米. 函数的图象如图所示. 根据题意，得x(100-4x)=400. 整理，得x2-25x十100=0. 4 解得x1=20,x2=5. }-- ---- 当AB=20米时，BC=20米； 1--r- 当AB=5米时，BC=80米>25米，故舍去. 答：羊圈的边AB,BC的长都为20米. -5-4-3-202345元 22.122.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 二2 -- 1.解：(1)由已知，得a2-7=2且2-a≠0，解得a=±3. 3 ,当x>0时，y随x的增大而增大， ∴.2-a>0,即a<2. (2)根据图象可知： ..a=-3. (2)函数图象如图所示. ①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围为 -1<x<3. 25 ②当x=一2时，y=-5.当-2<x<2时，函数值y 230 的取值范围为一5<y≤4. 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(2) 10 解：(1)抛物线y=一(x+2)(x一6)， 令y=0,则一(x十2)(x一6)=0， -5-4-3-2-1612345x 解得x=-2或x=6,.A(-2,0) -5 ∴.点A的横坐标为一2.画出y轴如图所示. 2.解：(1)y=8x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶 点为(0,0). 三一。x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点 (0,0). (2)函数y=8x2有最小值0； AB DCE F末 函数y=日2有最大值0， (2)由(1)可知抛物线与x轴的另一个交点为(6,0)： .A(-2,0),AB=BD=DC=2, 22.1.3二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 ∴.C(4,0),点P不会落在点C处， 解：(1)由y=2(x-1)2-8, y4x=1 补全抛物线如图所示. 得函数图象开口向上，对称轴 (3),y=-(x+2)(x-6)=-(x-2)2+16, 为直线x=1,顶点为(1，-8)， .抛物线的顶点坐标为(2,16)，对称轴为直线 函数图象如图所示. x=2. (2)由图象可知：当x>1时， (4)点G横坐标的最大值为8，最小值为2+√15】 y随x的增大而增大 (3)抛物线y=2(x-1)2-8 22.2二次函数与一元二次方程 解：(1)由图象可知抛物线顶点为(1,4)， 44限时训练 优计学案课时通 九年级·上册·数学·RJ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.221.2.1配方法(1)（答案P42) 用直接开平方法解下列方程： 1 (1)2x2-8=0; (2)(3x-5)2+16=0: (3)2(x-5)2-16=0: (4)9(x-1)2-4=0: (5)(2x-1)2=(√2-1)2； (6)(2x十3)2=(3.x十2)2. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.1配方法(2)（答案P42) 解下列方程： (1)x2+6x=-7; (2)x2-2x-2023=0; (3)-3x2+2x+1=0: (4)(x+1)(2x-3)=1. △九年级·上册·数学.RJ 1 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.2公式法(1)（答案P42) 用公式法解下列方程： (1)x2-3x-2=0; (2)2x2-3x=1; (3)(x+2)(x+3)=-4; (4)(x+1)(x-1)=2W2x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.2公式法(2)（答案P43〉 1.求证：关于x的方程(m2+1)x2-2mx十(m2十4)=0没有实数根. 2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m十1)x十m2-1=0. (1)当m为何值时，方程有两个不等的实数根？ (2)在(1)的结论下，若m取最小整数，求此时方程的两个根. 2 nni优产学秦·课时通△ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.3因式分解法(1)（答案P43) 解下列方程： (1)x2-2=0; (2)x2-3x=0; (3)(1-3x)2=2(3x-1); (4)3.x(x-1)=2-2x; (5)x(.x+2)=5(x十2)：(6)2(x-2)2=x2-4. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.3因式分解法(2)（答案P43) 运算能力请选择适当的方法解下列方程： (1)3(x-4)2=2(x-4); (2)(x-1)2=9; (3)x2-5=4x; 4)分+x= (5)x2-4x-2=0; (6)(x-1)(x+2)=10. △九年级·上册·数学.RJ 3 建议用时10分钟，实际用时 分钟 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（答案P43) 1.已知x1,x2是一元二次方程x2十6.x十3=0的两个实数根，求下列代数式的值： (1)x1十x2一x1·x2 (2)2+2 T2 T1 2.推理能力已知关于x的方程kx2+(2k一3)x十k十1=0有两个不等的实数根x1,x2· (1)求k的取值范围， (2)是否存在实数k,使得x一x=0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(1)（答案P43) 1.某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间赛两场），计划安排12场比赛，应 邀请多少支球队参加比赛？ 2.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积 的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数 4 优种学案·课时通△ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(2)（答案P43) 1.应用意识（滨州滨城区开学）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递 快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数为33.8万件，假设该公司每月投递快递总件 数的增长率相同. (1)求该公司投递快递总件数的月增长率. (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到 45万件？ 2.模型观念为满足市场需求，某超市在“端午节”前夕购进一种品牌粽子，每盒进价是40元， 超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售发现：当售价定为每盒45元时，每天可以 卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.当每盒定价为多少元时，每天的销 售利润可以达到8000元？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(3)（答案P44) 1.几何直观如图所示，要设计一幅宽20cm、长30cm的矩形图案，其中有两横彩条、一竖彩 条，横、竖彩条的宽度比为1：3.若要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度. 2.如图所示，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边AB,BC的长各为多少米. 墙 A D △九年级·上册·数学.RJ 5