第二十一章 特色素养专题(一) 传统文化专题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

特色素养专题（一） 传统文化专题（答案P5) 1.(北京东城区期末)《算法统宗》是中国古代数3.（保定清苑区期末）在《代数学》中记载了求方 学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载 程x2+8x=33正数解的几何方法：如图①所 了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一 示，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方 形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩 尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女 形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该 佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算 方程的正数解为x=7一4=3.小明尝试用此 出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离 方法解关于x的方程x2十10x十c=0时，构 地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺），此 造出如图②所示的正方形.已知图②中阴影部 时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很 分的面积和为39，则该方程的正数 直，试问秋千绳索有多长？”如图所示，若设秋 解为( 千绳索长为x尺，则可列方程为( ) ① ② 10 A A.x=2√3 B.x=2 D C.x=3 D.x=45 A.x2+102=(x+1)2B.(x+1)2+102=x2 4.(温州乐清期中)古希腊数学家丢番图在《算 C.x2+102=(x-4)2D.(x-4)2+102=x2 术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当 2.(济南莱芜区期中)对于一元二次方程，我国古 时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能 代数学家研究过其几何解法，以方程x2十 用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原 6x-16=0即x(x+6)=16为例加以说明. 本》中，形如x2十ax=b2(a>0,b>0)的方程 数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾 的图解法是：如图①所示，以？和6为两直角 股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图① 所示)中大正方形的面积是(x十x+6)2,其中 边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD=?,则 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形 AD的长就是所求方程的正根.若关于x的一 元二次方程x2十2mx=36,按照图①，构造 的面积，即4×16+62，据此易得方程的正数解 图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°连接CD, x=2.下列方程能用图②解释其几何解法的方 程是() 若S△cD一。则m的值为( S△ACD x+6 x+6 ① ② ① ② A.8 B.5 A.x2-7x-30=0 B.x2+7x-30=0 C.2.5 5 D. C.x2-5x-9=0 D.x2+5x-14=0 4 △九年级·上册·数学.RJiH 21 特色素养专题（二） 跨学科专题（答案5） 类型1)跨学科·物理 5.(北京海淀区开学)小宇要对一幅书法作品进 1.(浙江模拟)小明利用杠杆原理称药品质量，其 行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称 知识是“杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力× 为天头和地头，左、右空白处统称为边.已知原 阻力臂”.如图所示，当质量为m克的药品分 作品的长为60cm,宽为24cm,在装裱后左、 别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重 右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等， 20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的 且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品 值为 的面积恰好是装辕后作品总面积的易，那么装 裱后左、右两边的边宽分别是多少？ 20) 天头长 2.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离 明女 地面的高度（单位：m)为10x一4.9x2.根据上 左边宽 右边宽 述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为 s.(结果保留整数) 类型2)跨学科·语文 地头长 3.(马鞍山含山三模)俗语有云：“一天不练手脚 慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不 练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如 果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗 忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据 “两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约 为（参考数据：√2≈1.414）() A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50% 4.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风 流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿同.诗词大意 是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是 两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方 等于他去世时的年龄.若设他去世时年龄的个 位数字为x,则根据题意可列出方程 为 22 优+学案·课时通△5.56.C7.D 本章综合提升 8.解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为 【本章知识归纳】 (34-x)米、宽为(20一x)米的矩形， 整式一个a.x2+bx十c=0(a≠0)相等 根据题意，得(34一x)(20-x)=480, 整理，得x2-54x+200=0, 完全平方式 -b±V6-4ac(（62-4ac≥0) 解得x1=4,x2=50(不符合题意，舍去). 2a 答：车道的宽度为4米. 两个不等两个相等没有一b￡ 9.解：(1)当t=3时，CP=10-2×3=4(cm), aa CQ-8-1×3=5(cm), 【思想方法归纳】 【例1】 1 △PQC的面积为2CP,CQ=2×4×5-10(cm). 解：(1)x4-3x2-4=0,(x2)2-3x2-4=0, 1 令x2=y,则y2-3y2-4=0. (2)当0<1≤5时，2×(10-21)(8-t)=2, (y-4)(y+1)=0,∴.y-4=0,或y+1=0, 解得6= 13+√17 解得y1=4,y2=-1(不合题意，舍去)， 2 (不合题意，舍去)，t2= 则x2=4,∴x1=2,x2=一2. 13-√17 (2)设y=x2+2x,则y2-y-6=0, 2 .(y-3)(y+2)=0,y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1； 当5<4≤8时，号(21-10)(8-t)=2, 当y=一2时，x2十2x十2=0，无解. 解得t1=6,t2=7. 故方程的解为x1=一3，x2=1. 13-√☑或6或7时，△PQC的 【变式训练1】解：(1)，a2+b2-10a+4b十29=0， 综上所述：当t为°2 .(a2-10a+25)+(b2+4b+4)=0, 面积为2cm2. ∴.(a-5)2+(b十2)2=0， 特色素养专题（一） 传统文化专题 .(a-5)2=0,(b+2)2=0,a=5,b=-2. (2)①4-4y 1.D2.D3.C4.C ②xy-z2-6z=10,.y(4-4y)-z2-6z=10, 特色素养专题（二）跨学科专题 .4y-4y2-z2-6z=10, 1.102.23.C4.x2=10(x-3)+x ∴.4y2-4y+x2+6z+10=0, 5.解：设装裱后左、右两边的边宽均为xcm,则天头长 .(2y-1)2+(x+3)2=0, 与地头长均为5xcm, 1 9(60+5x+5x)24+x+x), 心y=22=-3,x=2,y+= =2 由题意，得60X24= 2 【例2】 整理，得x2+18x-88=0, 解：由题意，把x=a代入方程x2-2025x+1=0中， 解得x1=4,x2=一22（不符合题意，舍去）. 得a2-2025a+1=0, 答：装裱后左、右两边的边宽均为4cm. .a2+1=2025a,a2-2025a=-1, 数学活动 n个 a2-2024a2025=a-2024a-g023a 2025 =a2- 解：(1)由①+②，可得2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1), 2024a-a=a2-2025a=-1, 2S=n(n十1)，则S=n(n+1) a2-2024a-2025的值为-1. 2 即1+2+3+4+5+…十n=nn+1) 【变式训练2】解：(1)该方程有两个不等的实数根. 2 理由：x2-3x-mx十m-1=0, (2)由题知，a(a十1) x2+(-3-m)x+m-1=0, 2 =136,解得a1=16,a2=一17. △=(-3-m)2-4×1×(m-1)=m2+2m+13= 因为a>0,所以a=16. (m+1)2+12. (3)这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. .不论m为何值，(m十1)2≥0，.△>0， 理由：令梯形点阵中的前b行的点数之和为S, 即该方程有两个不等的实数根。 则S=2+3+…十(b十1)，根据(1)中的计算方式可知， (2):x1,x2是方程x2-3x-mx十m-1=0的两个 s=66+3》,则56+3》 =300, 实数根，.x1十x2=3十m,x1x2=m一1. 2 2 3x1-x1x2十3x2=12,.3(x1十x2)-x1x2=12, 即62+3b-600=0,解得b=-3±V2409 .3(3+m)-(m-1)=12,解得m=1. 2 方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4. 又b为正整数，故方程的解不符合题意， 【例3】 所以这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. 解：(1)证明：当m=0时，方程变形为一2x+2=0,解