第二十一章 数学活动-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

数学活动（答案P5) 活动》三角点阵中前n行的点数计算 【课本再现】人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前n行的点数计算 进行了探究：图①是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有一个点，第2行有两个 点…第n行有n个点… 小明同学发现，前2行的点数和是1十2=3，前3行的点数和是1十2+3=6，前4行的点数和是 1十2+3+4=10…前n行的点数和是1十2+3+4+5+…+n,他有点疑惑，能不能用含n的式 子把1十2十3十4十5十…十n表示出来？ 小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的.经过思考后，他发现： 设S=1+2+3+4+…+(n-1)+n,① 则S=n+(n一1)+…+4+3十2+1，② 由①十②可得… (1)请将小明的发现过程补充完整，用含n的式子把1+2+3+4+5+…+n表示出来. 【知识应用】(2)若图①中三角点阵前a行的点数之和等于136，求a的值. 【拓展延伸】(3)图②是一个梯形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有两个点，第2行有个 三个点…第n行有（十1）个点…这个梯形点阵中前b行的点数之和能等于300吗？如果能， 求出b的值；如果不能，试用一元二次方程说明理由. ●●● ●●●1● ●●●●● 。●●●● ●●●●●●● ① ② △九年级·上册·数学.RJ 23 本章综合提升（答案P5) ///// ·本章知识归纳· /111/1I 定义：等号两边都是 只含有 末知数，未知数的最高次数是2 一般形式 基本概念 解：使方程左右两边 的未知数的值 配方法：左边配成 的形式，右边为常数 公式法：x= 解法 因式分解法：使方程的右边为0，对其左边进行因式分解 一元二 次方程 △>0·一方程有 的实数根 △=0一方程有 的实数根 判别式 △<0+→方程 实数根 x1+x2 根与系数 的关系 x1x2= 列一元二次方程 步骤：1.找，2.设，3.列，4.解，5.检，6答 解决实际问题 ·思想方法归纳 LEKEE1 当y=1时，x2-1=1,x2=2,.x=士√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±√5 1.转化思想 在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单 .原方程的解为x1=一√2，x2=√2，x3=一√5， 问题，将生疏问题转化为熟悉问题，把未知问题 x4=√5. 转化为已知问题，这种思想在数学中称为转化 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的， 思想 体现了转化的思想. Q链接本章 运用上述方法解答下列方程： 在本章中，各种解一元二次方程的方法 (1)x4-3x2-4=0. 都是通过“降次”转化为一元一次方程求解； (2)(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0. 高于二次的方程，也可以通过转化思想进行 降次求解. 【例1】阅读理解解方程(x2-1)2- 5(x2一1)十4=0时，我们可以将x2一1视为一 个整体，设x2-1=y,则y2=(x2一1)2，原方程 化为y2-5y+4=0,解此方程，得y1=1,y2=4. 24 优+学案·课时通△5.56.C7.D 本章综合提升 8.解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为 【本章知识归纳】 (34-x)米、宽为(20一x)米的矩形， 整式一个a.x2+bx十c=0(a≠0)相等 根据题意，得(34一x)(20-x)=480, 整理，得x2-54x+200=0, 完全平方式 -b±V6-4ac(（62-4ac≥0) 解得x1=4,x2=50(不符合题意，舍去). 2a 答：车道的宽度为4米. 两个不等两个相等没有一b￡ 9.解：(1)当t=3时，CP=10-2×3=4(cm), aa CQ-8-1×3=5(cm), 【思想方法归纳】 【例1】 1 △PQC的面积为2CP,CQ=2×4×5-10(cm). 解：(1)x4-3x2-4=0,(x2)2-3x2-4=0, 1 令x2=y,则y2-3y2-4=0. (2)当0<1≤5时，2×(10-21)(8-t)=2, (y-4)(y+1)=0,∴.y-4=0,或y+1=0, 解得6= 13+√17 解得y1=4,y2=-1(不合题意，舍去)， 2 (不合题意，舍去)，t2= 则x2=4,∴x1=2,x2=一2. 13-√17 (2)设y=x2+2x,则y2-y-6=0, 2 .(y-3)(y+2)=0,y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1； 当5<4≤8时，号(21-10)(8-t)=2, 当y=一2时，x2十2x十2=0，无解. 解得t1=6,t2=7. 故方程的解为x1=一3，x2=1. 13-√☑或6或7时，△PQC的 【变式训练1】解：(1)，a2+b2-10a+4b十29=0， 综上所述：当t为°2 .(a2-10a+25)+(b2+4b+4)=0, 面积为2cm2. ∴.(a-5)2+(b十2)2=0， 特色素养专题（一） 传统文化专题 .(a-5)2=0,(b+2)2=0,a=5,b=-2. (2)①4-4y 1.D2.D3.C4.C ②xy-z2-6z=10,.y(4-4y)-z2-6z=10, 特色素养专题（二）跨学科专题 .4y-4y2-z2-6z=10, 1.102.23.C4.x2=10(x-3)+x ∴.4y2-4y+x2+6z+10=0, 5.解：设装裱后左、右两边的边宽均为xcm,则天头长 .(2y-1)2+(x+3)2=0, 与地头长均为5xcm, 1 9(60+5x+5x)24+x+x), 心y=22=-3,x=2,y+= =2 由题意，得60X24= 2 【例2】 整理，得x2+18x-88=0, 解：由题意，把x=a代入方程x2-2025x+1=0中， 解得x1=4,x2=一22（不符合题意，舍去）. 得a2-2025a+1=0, 答：装裱后左、右两边的边宽均为4cm. .a2+1=2025a,a2-2025a=-1, 数学活动 n个 a2-2024a2025=a-2024a-g023a 2025 =a2- 解：(1)由①+②，可得2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1), 2024a-a=a2-2025a=-1, 2S=n(n十1)，则S=n(n+1) a2-2024a-2025的值为-1. 2 即1+2+3+4+5+…十n=nn+1) 【变式训练2】解：(1)该方程有两个不等的实数根. 2 理由：x2-3x-mx十m-1=0, (2)由题知，a(a十1) x2+(-3-m)x+m-1=0, 2 =136,解得a1=16,a2=一17. △=(-3-m)2-4×1×(m-1)=m2+2m+13= 因为a>0,所以a=16. (m+1)2+12. (3)这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. .不论m为何值，(m十1)2≥0，.△>0， 理由：令梯形点阵中的前b行的点数之和为S, 即该方程有两个不等的实数根。 则S=2+3+…十(b十1)，根据(1)中的计算方式可知， (2):x1,x2是方程x2-3x-mx十m-1=0的两个 s=66+3》,则56+3》 =300, 实数根，.x1十x2=3十m,x1x2=m一1. 2 2 3x1-x1x2十3x2=12,.3(x1十x2)-x1x2=12, 即62+3b-600=0,解得b=-3±V2409 .3(3+m)-(m-1)=12,解得m=1. 2 方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4. 又b为正整数，故方程的解不符合题意， 【例3】 所以这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. 解：(1)证明：当m=0时，方程变形为一2x+2=0,解