21.2.3 因式分解法-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

21.2.3 因式分解法（答案P2) ←通基础 (3)x(x-2)-x十2=0； 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(贵州中考)一元二次方程x2一2x=0的解 是() (4)2x2-4x-30=0. A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 2.(淄博淄川区期末)已知关于x的方程x2十 x十q=0的两个实数根分别为2和一1，则 知识点2选择合适的方法解一元二次方程 二次三项式x2十x十g可以因式分 7.下列方程的解法选择合适的有() 解为() ①解方程x2=2√2x,选择因式分解法；②解 A.(x-2)(x+1) B.(x-2)(x-1) 方程x2一7x十10=0，选择配方法；③解方程 C.(x+2)(x+1) D.(x+2)(x-1) x2-2x一2024=0，选择公式法；④解方程 3.方程x2一2x一24=0的根是() 4(x一1)2=9，用直接开平方法. A.x1=6,x2=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.x1=6,x2=-4 8.教材P25复习题21T1变式用适当的方法解下 C.x1=-6,x2=4 列方程： D.x1=-6,x2=-4 (1)2x2-6=0; 4.方程x(x一3)一5(x-3)=0两根的 和是 5.用因式分解法解一元二次方程x2十2x一3= 0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出 (2)x2+2x-399=0; 其中的一个一元一次方程： 6.教材P14练习T1变式用因式分解法解下列 方程： (1)x2-9=0: (3)x(x-2)十x-2=0; (4)(3x+2)(x+3)=8x+15. (2)x2+2x=0; △九年级·上册·数学.RJi 9 ☆易错点用因式分解法解方程时，两边同除以 13.(周口商水质检)我们知道可以用公式x2+ 含有未知数的式子导致丢根 (p十q)x十pq=(x十p)(x十q)来分解因式 9.某节数学课上，老师让学生解关于x的方程 解一元二次方程： x(x+5)=2(x+5),下面是三位同学的解答 例如：x2十6x十5=0，方程分解为 过程： =0,x2-2x-15=0, 方程分解为 =0. 小逸 小明 小琛 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1 整理，得x2十 移项，得x（x十 的方程也可以借助此方法解一元二次方程， 3x=10, 5)-2(x+ 例如：3x2一7x十2=0. 配方，得x2+3x+ 5)=0, 两边同时 解：方程分解为(x一2)(3x一1)=0，从而可 4 .(x+5)(x- 除以 =10+4 以快速求出方程的解， 2)=0, (x+5), +》-9 (1)补全题中空白部分的内容. .x+5=0,或 得x=2. (2)请利用此方法解方程2x2十3x一5=0. x十 x-2=0, 2 (3)请利用此方法解关于x的一元二次方程 .x1= -5, x1=2, 3x2-(6+a)x+2a=0. x2=2. x2=-5. 下列选项说法正确的是( A.只有小明的解法正确 B.只有小琛的解法正确 C.只有小逸的解法错误 D.小明和小琛的解法都是错误的 ←通素养恤 。通能力wuww 14.阅读理解阅读材料后解答问题。 10.(泰安东平期末)已知方程(x一2)(3x+1)=0, 解：2x2-3x-2=0, 则x一2的值为( ) 拆项，分组，得2x2一4x十x-2=0, 提公因式，得2x(x一2)十(x-2)=0, B.0 C.-2 3或0 再提公因式，得(x一2)(2x+1)=0, 11.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰 所以x-2=0,或2x+1=0. 好是方程x2一3x=4(x一3)的两个实数根， 1 即x1=2,x2=一2 则该直角三角形斜边上的中线的长 是() 运用以上方法解方程6x2+7x一3=0. A.3 B.4 C.6 D.2.5 12.如图所示，在口ABCD 中，AE⊥BC于点E, AE=EB=EC=a,且a B 是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则 □ABCD的周长是 10 优学案·课时通即x1=x2=2√2. 因式分解，得(x-2)(x-1)=0. (3)方程整理，得x2+4x十16=0. 于是得x一2=0，或x-1=0,x1=2,x2=1. a=1,b=4,c=16. (4)因式分解，得2(x-5)(x十3)=0. △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0. 于是得x-5=0,或x十3=0，x1=5,x2=-3. .此方程无实数根. 7.B 8.解：(1)由题意，得△=[-(2m-3)]2-4m2≥0， 8.解：(1)原方程可化为x2=3. 整理，得一-12m十9≥0，解得m≤子， 直接开平方，得x1=√3，x2=一√3. (2)移项，得x2十2x=399. 所以当m≤时，该方程有实数根。 配方，得x2+2x十1=399+1，即(x+1)2=400, 直接开平方，得x十1=20，或x十1=-20， (2)当m=0时，方程为x2+3x=0. 解得x1=19,x2=一21. a=1,b=3,c=0.△=b2-4ac=9>0. (3)因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 方程有两个不等的实数根z=一6士VB一4ac 即x-2=0,或x十1=0， 2a 所以x1=2,x2=一1. (4)(3x+2)(x+3)=8.x+15. 二39-33，解得x,=0,z3 2×1 方程整理，得x2+x-3=0,a=1,b=1,c=-3, 9.m=410.B11.B12.D13.A .b2-4ac=12-4×1×(-3)=13, 14=-8-号15416-1<0 x=-1±13 2 17.一1解析：关于x的方程x2一(2k-2)x十2- 1=0有两个实数根， 解得x,1+3 x,=1, 2 2 .判别式△=[-(2k-2)]2-4X1×(k2-1)≥0， 9.C10.D11.D12.4+2√2 整理，得一8k十8≥0，.k≤1， 13.解：(1)(x+1)(x+5)(x+3)(x-5) .k一10,2-k>0, (2)2x2+3x-5=0,(2x+5)(x-1)=0, .√(k-1)7-(√2-k)2 =-(k-1)-(2-k) 2z十5=0，或x-1=0,所以x=一7，x2=1 =-1. (3)3x2-(6+a)x+2a=0,(3x-a)(x-2)=0, 18.解：(1)证明：.△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+ 2a)=4>0,方程有两个不等的实数根. 3x-a=0或x-2=0,所以x1=号x:=2. (2).△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+2a)=4>0, 14.解：6x2+7x一3=0， x=二(2a-2)±2 2X(-1D,x1-ax4=a-2. 拆项，分组，得6x2-2x十9x-3=0, 提公因式，得2x(3x-1)+3(3x-1)=0, 方程只有一个实数根小于3，a一2<a, 再提公因式，得(3x-1)(2x十3)=0， ∴.a-2<3,且a≥3，∴.3≤a<5. 所以3x-1=0,或2x+3=0. 19.解：(1)x=-1是方程的根，.(a十c)×(-1)2 2b+a-c=0..a+c-2b+a-c=0.∴.a-b=0. 即-日-是 ∴.a=b,则△ABC是等腰三角形. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (2),方程有两个相等的实数根， 1.A2.B3.B4.25.2024 ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0. 6.解：，x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个实数根， .4b2-4a2+4c2=0..a2=b2+c2. 7 ∴.△ABC是直角三角形. ∴.x1十x2= 2x1xa=-2 (3)△ABC是等边三角形，a=b=c≠0. ∴.(a十c)x2+2bx十a-c=0可整理为2ax2十 +753 1)原式=(x十x)°-2z1x,-25 4 2ax=0.x2+x=0.4=1,z=-1±1， ，解得 3 2 x1=0,x2=-1. (2)原式=+x号4 53 xIx2 7=-14 21.2.3因式分解法 一2 1.B2.A3.B4.85.x+3=0(或x-1=0) 7.C8.B9.-5 6.解：(1)因式分解，得(x十3)(x-3)=0. 10.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-(2m一 于是得x十3=0，或x-3=0,x1=-3,x2=3. 1)x+m2=0有实数根， (2)因式分解，得x(x十2)=0. ∴.△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0， 于是得x=0,或x十2=0，x1=0,x2=一2. 1 (3)原式变形，得x(x-2)-(x-2)=0. 解得m≤4