21.2.2 公式法-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

21.2.2 公式法（答案P1) ←通基础恤 (2)x(x-4√2)十8=0； 知识点1一元二次方程根的判别式 1.（淄博淄川区期末)一元二次方程x2=4x十1 中，根的判别式的值为() A.8 B.12 C.20 D.32 2.已知关于x的一元二次方程5x2+m.x+1=0 的根的判别式的值为16，则m的值 为 (3)x(x+6)=2(x-8). 知识点2一元二次方程根的判别式的应用 3.(（广元中考)关于x的一元二次方程2x2 3x+=0根的情况，下列说法正确的 是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 8.已知关于x的一元二次方程x2一(2m一 D.无法确定 3)x十m2=0. 4.若关于x的一元二次方程x2一4x十k=0有 (1)当m取何值时，该方程有实数根？ 两个相等的实数根，则飞的值为 (2)当m=0时，用合适的方法求此时该方程 知识点3用公式法解一元二次方程 的解 5.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0 时，首先要确定a,b,c的值，下列叙述正确的 是() A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=3 6.用公式法解一元二次方程，得x= -5±5-4X3X1,则该一元二次方程 2×3 是 7.运算能力用公式法解下列方程： (1)x2-8x-5=0; ☆易错点忽略方程有两个根包括两个相等的 根、两个不等的根两种情况而出错 9.关于x的一元二次方程(m一5)x2+2x十2=0 有实数根，则m的最大整数解是 △九年级·上册·数学.RJin 7 通能力 III1/11111/I11/11II11//I/11I10 17.已知关于x的方程x2一(2k-2)x十2 1=0有两个实数根，则√(k-1)一 10.(阜阳阜南期末)若正比例函数y=x的图 象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程 (√2一)2的化简结果是 18.已知一元二次方程-x2+(2a-2)x-a2十 x2一x十k=0的根的情况是() A.没有实数根 2a=0. B.有两个不等的实数根 (1)求证：方程有两个不等的实数根. C.有两个相等的实数根 (2)若方程只有一个实数根小于3，求a的取 D.不能确定 值范围。 11.(南通启东月考)方程mx2-4x十1=0(m< 0)的根是( ) A号 B.2±4m m C2±2,4-m D.2±m4-m m m 12.若一元二次方程x2+bx十4=0的两个实数 根中较小的根是m(m≠0)，则b十√b2-16 等于() ←通素养www恤 A.m B.-m C.2m D.-2m 19.几何直观已知关于x的一元二次方程 13.阅读理解对于实数a,b定义运算“⑧”为 (a+c)x2+2bx+a-c=0,其中a,b,c分 别为△ABC三边的长. a☒b=b2-ab,例如3☒2=22-3×2=一2， (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC 则关于x的方程(k一3)☒x=k一1的根的 的形状 情况，下列说法正确的是() (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 A.有两个不等的实数根 △ABC的形状. B.有两个相等的实数根 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 C.无实数根 元二次方程的根。 D.无法确定 14.方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根 为 15.关于x的方程(m+2)xm-1-1十x一2=0 有两个实数根，则m的值是 16.若关于x的一元二次方程x2一√R十I· x十1=0没有实数根，则的取值范 围是 8 优+学案·课时通△优计学案课时通 参考答案 九年级·上册·数学·RJ 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 (一-品开方海x名-±侣 1.B2.A3.C4.D5.x2-2x-15=0 -2-15 由此可得x, 9+√57_9-√57 6.B7.18.B9.C10.B11.D12.D13.D 6x2= 6 14.C15.202116.m≠±2m=-2 7.28.A9.B10.C11.112.二 17.是x2+2x-18=0 13.解：(1)去括号、移项、合并同类项，得x2+4x=2. 18.解：(1)y2-y-2=0 配方，得x2十4x十4=6，即(x十2)2=6. (2)设所求方程的根为y,则y=士所以x= 开方，得x十2=士√6， y 解得x1=一2十√6，x2=一2-√6. 把x=代入已知方程，得2号》广-7·+8=0 (2)整理，得x2-2√2x=4. y V 化简得3y2-7y+2=0, 配方，得(x-√2)2-6. 即所求方程为3y2一7y十2=0. 开方，得x一√2=士√， 21.2解一元二次方程 解得x1=√2+√6，x2=√2-√6. 21.2.1配方法 14.解：(1)x2-4x十2=x2-2·x·2+22-22+2= 第1课时用直接开平方法解方程 （x-2)2-2. 1.C2.23.C (x-2)2≥0，.(x-2)2-2>≥-2， 4.解：(1)由方程，得9(y+4)2=49, .当x=2时，x2一4x+2有最小值一2. 即3)+4)=士7，y十4=±7， (2)-x2+6x+9=-(x2-2·x·3+32)+32+ 3 9=-(x-3)2+18. =3:=9 (x-3)2≥0，.-(x-3)2+18≤18， 3 ∴.当x=3时，一x2+6x+9有最大值18. (2)(2x+3)2=(3x+2)2, (3)证明：2x2+10y2-6xy-6x-2y+11=x2 开方，得2x十3=3x+2,或2x+3=-3x-2, 6x+9+y2-2y+1+x2-6xy+9y2+1=(x 解得x1=1,x2=-1. 3)2+(y-1)2+(x-3y)2+1. 5.5(答案不唯一，只要a≥3即可)6.C7.A8.C .(x-3)2≥0，(y-1)2≥0，(x-3y)2≥0， 9.5√2-210.x-4=-(5-2x) ∴.(x-3)2+(y-1)2+(x-3y)2+1>0, 11.解：.(x-3)2=1,∴x-3=±1， ∴.无论x和y取任何实数，代数式2x2十10y2 解得x1=4,x2=2. 6xy一6x-2y+11的值都是正数. ,'一元二次方程(x一3)2=1的两个解恰好分别是 15.解：(1)5士2-2-8 等腰△ABC的底边长和腰长， (2)原方程可变形，得 ①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2十2，此时 [(x-1)-4][(x-1)+4]=6. 不能构成三角形； (x-1)2-42=6,(x-1)2=6+42. ②当底边长和腰长分别是2和4时，能构成三 直接开平方并整理，得 角形， x1=1+√22，x2=1-√22. .△ABC的周长为2+4+4=10. 21.2.2公式法 第2课时用配方法解方程 1.C2.±63.C4.45.D6.3x2+5x+1=0 1.B2.-23.D 7.解：(1)a=1,b=-8,c=-5. 4.解：方程变形，得x2十2x=1. △=b2-4ac=(-8)2-4×1×(-5)=84>0. 配方，得x2+2x+1=2,即(x+1)2=2. 开方，得x+1=士√2 x-8±22I=4士Vm, 2 由此可得x1=一1十√2，x2=一1-√2. 即x1=4+√/21，x2=4-√21. 5.11 (2)方程整理，得x2-4√2x十8=0. 6.解：3x2-9x十2=0， a=1,b=-42,c=8. 方程变形，得x2-3x=一 2 31 △=b2-4ac=(-42)2-4X1×8=0, 配方，得2-3z+()=-号+（侵）、 x=-（-42) 2 22, 即x1=x2=2√2. 因式分解，得(x-2)(x-1)=0. (3)方程整理，得x2+4x十16=0. 于是得x一2=0，或x-1=0,x1=2,x2=1. a=1,b=4,c=16. (4)因式分解，得2(x-5)(x十3)=0. △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0. 于是得x-5=0,或x十3=0，x1=5,x2=-3. .此方程无实数根. 7.B 8.解：(1)由题意，得△=[-(2m-3)]2-4m2≥0， 8.解：(1)原方程可化为x2=3. 整理，得一-12m十9≥0，解得m≤子， 直接开平方，得x1=√3，x2=一√3. (2)移项，得x2十2x=399. 所以当m≤时，该方程有实数根。 配方，得x2+2x十1=399+1，即(x+1)2=400, 直接开平方，得x十1=20，或x十1=-20， (2)当m=0时，方程为x2+3x=0. 解得x1=19,x2=一21. a=1,b=3,c=0.△=b2-4ac=9>0. (3)因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 方程有两个不等的实数根z=一6士VB一4ac 即x-2=0,或x十1=0， 2a 所以x1=2,x2=一1. (4)(3x+2)(x+3)=8.x+15. 二39-33，解得x,=0,z3 2×1 方程整理，得x2+x-3=0,a=1,b=1,c=-3, 9.m=410.B11.B12.D13.A .b2-4ac=12-4×1×(-3)=13, 14=-8-号15416-1<0 x=-1±13 2 17.一1解析：关于x的方程x2一(2k-2)x十2- 1=0有两个实数根， 解得x,1+3 x,=1, 2 2 .判别式△=[-(2k-2)]2-4X1×(k2-1)≥0， 9.C10.D11.D12.4+2√2 整理，得一8k十8≥0，.k≤1， 13.解：(1)(x+1)(x+5)(x+3)(x-5) .k一10,2-k>0, (2)2x2+3x-5=0,(2x+5)(x-1)=0, .√(k-1)7-(√2-k)2 =-(k-1)-(2-k) 2z十5=0，或x-1=0,所以x=一7，x2=1 =-1. (3)3x2-(6+a)x+2a=0,(3x-a)(x-2)=0, 18.解：(1)证明：.△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+ 2a)=4>0,方程有两个不等的实数根. 3x-a=0或x-2=0,所以x1=号x:=2. (2).△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+2a)=4>0, 14.解：6x2+7x一3=0， x=二(2a-2)±2 2X(-1D,x1-ax4=a-2. 拆项，分组，得6x2-2x十9x-3=0, 提公因式，得2x(3x-1)+3(3x-1)=0, 方程只有一个实数根小于3，a一2<a, 再提公因式，得(3x-1)(2x十3)=0， ∴.a-2<3,且a≥3，∴.3≤a<5. 所以3x-1=0,或2x+3=0. 19.解：(1)x=-1是方程的根，.(a十c)×(-1)2 2b+a-c=0..a+c-2b+a-c=0.∴.a-b=0. 即-日-是 ∴.a=b,则△ABC是等腰三角形. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (2),方程有两个相等的实数根， 1.A2.B3.B4.25.2024 ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0. 6.解：，x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个实数根， .4b2-4a2+4c2=0..a2=b2+c2. 7 ∴.△ABC是直角三角形. ∴.x1十x2= 2x1xa=-2 (3)△ABC是等边三角形，a=b=c≠0. ∴.(a十c)x2+2bx十a-c=0可整理为2ax2十 +753 1)原式=(x十x)°-2z1x,-25 4 2ax=0.x2+x=0.4=1,z=-1±1， ，解得 3 2 x1=0,x2=-1. (2)原式=+x号4 53 xIx2 7=-14 21.2.3因式分解法 一2 1.B2.A3.B4.85.x+3=0(或x-1=0) 7.C8.B9.-5 6.解：(1)因式分解，得(x十3)(x-3)=0. 10.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-(2m一 于是得x十3=0，或x-3=0,x1=-3,x2=3. 1)x+m2=0有实数根， (2)因式分解，得x(x十2)=0. ∴.△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0， 于是得x=0,或x十2=0，x1=0,x2=一2. 1 (3)原式变形，得x(x-2)-(x-2)=0. 解得m≤4