21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (课程标准变动为考查内容)（答案P4) 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2m十1)x十 m2+m=0. 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不等的 两根之积 实数根， 1.(2023·保定定州期中)已知x1,x2是一元二 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)· 次方程2x2一4x十1=0的两个实数根，则 (a+2b)=20,求m的值. x1·x2等于() 1 A.-2 B.一2 c D.2 2.新视野》关于x的方程x2十bx十c=0的两根 为1和一2，则b,c的值分别为() A.b=1,c=-2 B.b=-1,c=-2 易错固用根与系数的关系时忽视隐含条件 C.b=3,c=2 D.b=-3,c=2 “△≥0” 知识点2利用根与系数的关系求相应代数式 8.关于x的方程x2十(a十1)x十a2=0的两根互 的值 为倒数，则a= 3.若一元二次方程x2一x一2=0的两根为x1, x2,则(1+x1)+x2(1一x1)的值是() 通能力》2%9999>9>9>99% A.4 B.2 C.1 D.-2 9.(2023·邯郸邯山区一模)一元二次方程x2 4.已知x1,x2是方程2x2-3x一1=0的两根，则 3x一1=0与x2一x十3=0的所有实数根的和 x十x= 等于() 知识京3利用根与系数的关系求方程中待定 A.2 B.-4 C.4 D.3 字母的取值或取值范围 10.推理能力》若一个菱形的两条对角线长分别 5.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一3=0的 是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0 两根，且满足x1十x2一3x1x2=5,那么b的值 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边 为() 长为( A.4 B.-4 C.3 D.-3 A.√3 B.2√3 C.√/14 D.214 6.若关于x的一元二次方程x2+2x十1一2m=0 11.已知关于x的一元二次方程mx2-(m十2)x+ 有两个实数根，且这两个实数根之积为负数， =0有两个不等的实数根x1,x2.若】十 则实数m的取值范围是() 4 1 A.m≥0 B.m>2 =4m,则m的值是( ) ℃2 C.0<m<2 1 A.2 B.-1 D.0≤m<2 C.2或-1 D.不存在 优学秦·课时通 12.设a,b是方程x2+x一2024=0的两个实数 16.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+ 根，则a2+2a十b的值为 1)x+m2-2=0. 13.若矩形的长和宽是关于x的方程2x2一 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整 16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周 数值. 长为 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1一 14.已知关于x的一元二次方程x2一4x十m x2)2+m2=21,求m的值. 1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2一x1 x2>2,则m的取值范围是 15.在解方程x2十x十q=0时，小张看错了p, 解得方程的根为1与一3；小王看错了q,解得 方程的根为4与一2. (1)求p和q的值. (2)设m,n是方程x2十px十q=0的两实数 根，不解方程求m2+2n2+pn的值. 通素养》 17.运算能力》已知关于x的一元二次方程x2= 2(1一m)x一m2的两实数根为x1,x2. (1)求m的取值范围. (2)设y=x1十x2,当y取得最小值时，求相 应m的值，并求出最小值. 一九年级上册数学R」河北专用 147.y2-5y+6=0 最小值1. x1=-√2，x2=√2，x3=√3， 阶段检测一（21.1~21.2) x4=-√3 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.2029 *21.2.4一元二次方程的根与系数 的关系（课程标准变动为考查内容） 9.m2-3m-10=0510.511.2号 1.C2.A3.A4.3 5.A6.B 12.解：(1).4(6x-1)2=25, 7.解：(1)证明：，△=[-(2m+1)]-4(m2+m) (6x-1)2=25 4· =4m2+4m+1-4m2-4m 5 7 =1>0, A6z-1=±2解得x2x=- ∴.无论m取何值，方程都有两个不等的实数根. (2)原方程整理为x2-4x+1=0. (2)该方程的两个实数根为a,b, .a=1,b=-4,c=1, a+6=-二(2m+1）=2m+1,ab=m2+m- .△=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. 1 方程有两个不等的实数根 m2+m. .(2a+b)(a+2b) 工=4结_4生25-=2士5. 2×1 2 =2a2+4ab+ab+2b2 =2(a2+2ab+b2)+ab .x1=2+3,x2=2-√3 =2(a+b)2+ab, (3).x2+3x-2=0,∴.x2+3x=2. ∴.2(a+b)2+ab=20, ∴.2(2m+1)2+m+m=20, 21 整理得m2十m-2=0, 解得m1=一2，m2=1, 2,x=7-3 解得x,=17-3 2 ∴.m的值为-2或1. (4)x(x-7)=8(7-x), 8.19.D10.C11.A12.202313.16 x(x-7)+8(x-7)=0. 14.3<m5 .(x-7)(x十8)=0. 15.解：(1)根据根与系数的关系， x-7=0,或x+8=0, 得q=-3×1=-3, 解得x1=7,x2=一8. p=-(-2十4)=-2. 13.解：(1)x=-1 则p的值为一2，g的值为一3. a-1=0, a=1, (2)由(1)得方程为x2-2x-3=0, (2)根据题意，得b一2=0，解得b=2, .n2-2n-3=0,.n2-2n=3. c十3=0， c=-3, m十n=2,mm=一3， 则方程是x2十2x一3=0， .m2+2n2+pn=m2+2n2-2n=(m十n)2 即(x+3)(x-1)=0, 2mn+n2-2n=4+6+3=13. .x十3=0或x-1=0, 16.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)2- x1=-3,x2=1. 4(m2-2)≥0， 14.解：(1)(2ax+b) 解得m≥-}，所以m的最小整数值为-2。 (2)0b2-4ac≥0②-6S aa (2)根据题意，得x1十x2=-（2m十1)，x1x2= (3)x2-4x-1=0, m2-2. x2-4x=1, (x1-x2)2+m2=21, x2-4x+4=1+4, .(x1十x2)2-4x1x2十m2=21. (x-2)2=5, ∴.(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理，得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6. x-2=±√5，x1=2+5,x2=2-√5， ∴.x1+x2=2+√5十2-√5=4， m≥二，m的值为2 x1x2=(2+√5)(2-√5)=22-(5)2=-1. 17.解：(1)将原方程整理为x2+2(m一1)x十m2=0. 15.解：(1).x2+2xy+2y2+2y+1=0, 原方程有两个实数根， .(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, ∴.△=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4≥0， ∴.(x+y)2+(y+1)2=0. 解得m≤2 1 又(x+y)2≥0，(y+1)2≥0， ∴.x+y=0,y+1=0, (2)x1,x2为一元二次方程x2=2(1-m)x一m2 .x=1,y=-1,.x-y=2. 的两实数根， (2).a2+b2-6a-8b+25=0, 即x1,x2为一元二次方程x2+2(m-1)x十m2= ∴.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0, 0的两实数根 .(a-3)2+(b-4)2=0, 1 ∴y=x1十x2=-2m+2,且m≤2 .a-3=0,b-4=0, ∴.a=3,b=4. 因为y随m的增大而减小，故当m=2时，y取得 ,三角形两边之和大于第三边， ∴.c<a+b,即c<3+4,