21.2.2 第2课时 用公式法解一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

第2课时 用公式法解一元二次方程（答案P2) 通基础> (2)x(x-4)=2-8x. >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点用公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程-a.x2十bx-c=0(a≠0)，下 列代入公式正确的是( A.x=-6±B-4aX(-c) 2×(-a) B.x=b±B2-4ac 易错记不住求根公式或混淆公式中的字母 2a 6.小明在解方程x2一4x=2时出现了错误，解答 C.x=6±vb-4aX(-c) 过程如下： 2X(-a) a=1,b=一4，c=一2，（第一步）》 D.x=-b±√B2-4ac .b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24.（第二 2a 步) 2.用公式法解一个一元二次方程的根为x= -5士√13 ,则此方程的二项式系数、一次项系 .x= -4±√/24 6 3 (第三步) 数、常数项分别为( ) ∴.x1=一2十√6，x2=一2一√6.（第四步） A.6,5,1 B.3,5,-1 小明解答过程开始出错的步骤是() C.3,5,1 D.3,-5,1 A.第一步 3.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两 B.第二步 -b+√62+4 C.第三步 根分别为x1= 2 D.第四步 -b-B2+4 通能力》>29>9%>%>2>9>9>>>>% 2 下列判断一定正确的是( A.a=-1 B.c=1 7.若一元二次方程x2十bx十4=0的两个实数根 C.ac=-1 D.C=1 中较小的根是m(m≠0)，则b+√b2-16的值 为( ) 4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0 A.m B.-m (a≠0)的一个根为一2+V2-4x1X(-4) C.2m D.-2m 2×1 8.若方程x2+2mx一3=0的二次项系数、一次 则4ac-b2 Aa 项系数、常数项的和为0，则该方程的解 5.教材P11例2变式》用公式法解下列方程： 为() (1)2x2-9x+8=0; A.x1=√3，x2=-√3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-2 一九年级上册数学河北专用 8 9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°， 13.解方程2x2+4√3x=2√2，有一位同学的解 BC=a,AC=b.以点B为圆心，BC的长为半 答过程如下： 径画弧，交线段AB于点D;以点A为圆心， 解：a=√2，b=4√3，c=22, AD的长为半径画弧，交线段AC于点E.下列 ∴.b2-4ac=(43)2-4×√2×2√2=32， 线段的长是方程x2+2ax一b2=0的一个根 的是( x=-b±6=4ae--43±32 2a 2√2 A.BC -6士2， B.AD C.EC ∴.x1=-√6+2，x2=-√6-2. D.AC 请你分析以上解答过程有无错误，如有错误， 10.如果方程2x2一6x+3=0较小的根为p,方 指出错误的地方，并写出正确的解答过程. 程2x2一2x一1=0较大的根为q,那么p+ 9= 11.如果2x3+1与4红2-3x-5互为相反数，那 么x的值为 12.运算能力》用公式法解下列方程： (1)3x2+5(2x-1)=0; 通素第》 14.已知2a+1和1。都有意义，且a是整 √/5-2a 数，试解关于x的一元二次方程x2一5= (2)2x2-3x-1-0 x(ax-2)-2. (3)3x2+20=2x2+8x. 9 优学案·课时通即(x-1)2=- 3 .△ABC是直角三角形 2 (3).△ABC是等边三角形，则a=b=c, 0, ∴.(a十c)x2十2bx十(a-c)=0可整理为2ax2+ 2ax=0..x2十x=0,解得x1=0,x2=-1. 方程无实数解 第2课时用公式法解一元二次方程 10.解：当h=10时，10=15t-5t2. 1.B2.C3.C4.-5 整理，得-31+2=02-3+号--2 5.解：(1)a=2,b=-9,c=8,△=b2-4ac=81-64= 17>0.方程有两个不等的实数根x= 9±7= -》=()月 2×2 9士√17 1 4 t=2,t2=1,即当时间为1s或2s时，小球能达 即x1= 9+V√179-√17 4 -,x2= 到10m的高度. 41 11.C12.C13.D14.115.二 (2)原方程整理，得x2+4x-2=0,a=1,b= 16.解：(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正 4,c=-2,△=b2-4ac=42-4×1×(-2)=24>0. 确解法如下： ,x2+2x-8=0, 方程有两个不等的实数根工=一4±√24 2×1 ∴.x2+2x=8, x1=-2+√6，x2=-2-√6. .x2+2x+1=8+1,即(x十1)2=9， 则x+1=士3， 6.C1.D8B9.B10.21.专或-号 2 ∴.x=-1士3， 12.解：(1)方程整理，得3x2+10x-5=0,a=3,b= x1=2,x2=一4. 10,c=-5,△=102-4×3×(-5)=160>0，∴.方 (2)x2+2nx-8n2=0, ..x2十2nx=8n2, 程有两个不等的实数根工=一10±√6 、 2×3 ∴.x2+2nx十n2=8n2+n2, .(x+n)2=9n2, -5±2，即x1=-5+2y0 3 3 x,=-5-210 3 ∴.x+n=±3n, .x1=2n,x2=-4n. (2)a=1 b=-3,c=-1, 17.解：a2+2ab+2b2-4b+5 =a2+2ab+b2+b2-4b+4+1 △=62-4ac=(-3)-4x2×(-1)=11>0, =(a+b)2+(b-2)2+1. .方程有两个不等的实数根 .(a十b)2≥0，(b-2)2≥0， ∴.当a=-2,b=2时，(a+b)2+(b-2)2+1的值 x=3±们 =3士√11. 最小，最小值为1. 此时，方程a.x2+bx+1=0为-2x2+2x+1=0, 2x号 移项、二次项系数化为1，得x2-工=2， 1 即x1=3+√11，x2=3-√11. (3)原方程整理，得x2-8x十20=0. 11,1 a=1,b=-8,c=20, 配方，得x2-x+42十4 △=b2-4ac=(-8)2-4×1×20=-16<0,此方 程无实数根 13.解：这位同学的解答过程有错误，利用公式法解一 元二次方程时，应先把一元二次方程化成一般形 于是有x-2 式，再确定a,b,c的值.该同学未把方程化为一般 2 形式就确定a,b,c的值，导致c的值不正确. 解得x,=1+3 1-√3 正确的解答过程如下： 2x2= 2 原方程整理为√2x2+4√3x一2√2=0， 21.2.2公式法 a=√2，b=4√3，c=-2√2， 第1课时一元二次方程的根的判别式 △=b2-4ac=(45)2-4×√2×(-2√2)=64> 1.A2.133.B4.B5.m≥-3且m≠1 0.方程有两个不等的实数根 6.B7.38.49.k≤4且k≠0 10.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： x=-4W5±√64--4W3士8 -√6土2√2， x=一1是方程的根， 2X√2 2√2 ∴.(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0. 即x1=-√6+2W2,x2=-√6-2V2. .'.a十c-2b十a-c=0..a-b=0. 14.解：√2a十和1都有意义. ,.a=b,则△ABC是等腰三角形. W/5-2a (2)△ABC是直角三角形.理由如下： ∴.2a+1≥0,5-2a>0, ,方程有两个相等的实数根， -名<a<8 5 ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, .462-4a2+4c2=0..a2=b2+c2, a是整数， 2 ∴.a的值可以为0,1,2. x+3=0, 当a=0时，方程为x2-5=x(0-2)-2, ∴.x1=1,x2=-3. .x2+2x-3=0, ④x2+3x-4=0,(x-1)(x+4)=0,x-1=0,或 .x1=-3,x2=1. x+4=0, 当a=1时，方程为x2-5=x(x-2)-2, ∴.x1=1,x2=-4. .2x-3=0, 猜想：第2023个方程的根为x1=1, 此时方程不是一元二次方程， x2=-2023. 即此种情况不符合题意，舍去 专题一 一元二次方程的解法 当a=2时，方程为x2-5=x(2x-2)-2, 1.B2.D x2-2x+3=0, 3.解：(1)(x-2)2=9, 此时，△=4一4×1×3<0， x-2=士3， .方程x2-5=x(2x-2)-2无解. x-2=3或x-2=-3, 综上所述：当a=0时，方程的解是x1=一3， x1=5,x2=一1. x2=1;当a=2时，方程无解. (2)x2-4x-5=0, 21.2.3因式分解法 x2-4x=5, 1.C2.A3.D4.(x-2)(x+3) x2-4x+4=5+4, 5.x+3=0(或x-1=0) (x-2)2=9, 6.解：(1)因式分解，得(x+3)(x-3)=0. 于是得x+3=0或x一3=0， x-2=士3， x一2=3或x一2=-3， .x1=-3,x2=3. (2)因式分解，得2(x-5)(x+3)=0. x1=5,x2=-1. 于是得x一5=0或x十3=0， (3)(x+1)(x-3)=2x-6, (x十1)(x一3)=2(x-3), ∴.x1=5,x2=-3. 7.A8.B (x+1)(x-3)-2(x-3)=0, (x-3)(x+1-2)=0, 25x2-± 9解：1)(z-2)2=49, 5 (x-3)(x-1)=0, 17 x-3=0或x-1=0, 所以x1=5x?=5 x1=3,x2=1. (4)3x2+2x-1=0, (2)x2-2x=2,x2-2x十1=3， a=3,b=2,c=-1, (x-1)2=3,x-1=±√3， .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, 所以x1=1十√3，x2=1-3, (3)a=4,b=-5,c=-7, x= -b±√62-4ac=-2±√/16 2a 68 △=b2-4ac=(-5)2-4×4×(-7)=137>0.方程 1 有两个不等的实根x= 5士√137_5士√137 六x1=32=-1. 2×4 8 4.A 所以x,=5+137,,5-137 5.解：(1)a=1,b=-5,c=4, 8x2= 8 .b2-4ac=(-5)2-4X1×4=9, (4)(x-√2)2+5(x-√2)=0， -(-5)士95士3 (x-√2)(x-√2+5)=0， .x= 2×1 2 x一√2=0或x-√2+5=0， 即x1=4,x2=1. 所以x1=√2，x2=√2-5. (2)x2-2x=15, x2-2x+1=16, 10.A11.C12.C13.114.4+22 (x-1)2=16, 15.解：(1)x2+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0, x-1=4或x-1=-4, x1=5,x2=-3. x十4=0或x一2=0， 解得x1=一4，x2=2. (3).5x2=4-2x, (2)设一次项系数“口”为b, 5.x2+2x-4=0. 将x=-1代入x2+bx-8=0, ,a=5,b=2,c=-4, 得(-1)2-b-8=0, .△=22-4×5X(-4)=84>0, 解得b=一7， .x= -2±√84-1士√21 即原题中系数“口”是-7. 2×5 5 16.解：(1)第n个方程为x2+(n-1)x-n=0. -1+√21 -1-√/21 (2)①x2-1=0,(x-1)(x+1)=0, .x1= 5 ,x2= 5 x-1=0,或x+1=0, (4)x(x-2)=2-x, .x1=1,x2=-1. x(x-2)+x一2=0， ②x2+x-2=0,(x-1)(x+2)=0, (x一2)(x+1)=0, x一1=0，或x十2=0， x-2=0或x+1=0, x1=1,x2=-2. 解得x1=2,x2=-1. ③x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0,或6.C 3