21.1 一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

第二十一章一元二次方程 大单元建构 公式法 配方法 一元二次方程的 因式分解法 定义及一般形式 二次项系数 一元二次方程的解法 一次项系数 一元二次方程 :二元三次方程根的判别 的有关概念 一元二次方程 式4=b2-4c及性质 常数项 元二次方程 分析实际问题的数量 关系列一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题 元二次方程根 与系数的关系 一本章核心素养 学科核心素养 具体内容 学会利用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，理解解方程与方程解的关系，能选择恰当 运算能力 的方法解方程.学会利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题，促进数学运算能力的发展 能通过观察方程形式上的共同点得到一元二次方程的概念及其一般形式；类比其他方程的解得 到一元二次方程根的概念；联系平方根的知识得到直接开平方解一元二次方程的方法，进而循序 抽象能力 渐进地掌握配方法、公式法，归纳得到各种解法的一般步骤；根据两个实数的积等于0的条件得 到运用因式分解解一元二次方程的方法，并归纳出一般步骤；通过大量的实例，采用从特殊到一 般的方法熟练掌握根的判别式的作用和根与系数的关系 根据一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两个实数根是否相等，进一步提高逻辑 推理能力 推理能力 借助图表及直观的几何图形描述并表达数量与数量之间的关系，进而列出一元二次方程，探索解 几何直观 决问题的思路 借助一元二次方程解决实际生活中的增长率问题、变化率问题及利润问题等，根据数量关系列出 应用意识 元二次方程解决实际问题，增强应用意识 优学案·课时通 21.1一元二次方程（答案P1) 通基础>92999沙99” 7.已知2+√3是关于x的一元二次方程x2一 4x+m=0的一个实数根，则实数m的值 知识点1一元二次方程的定义 是() 1.(2023·石家庄裕华区期末)下列方程是关于 A.0 B.1 x的一元二次方程的是() C.-3 D.-1 A.ax2+bx+c=0 8.已知方程ax2十bx十c=0(a≠0)，a,b,c满足 B.2(x-1)2=3(x-1) 81a-9b+c=0和25a+5b+c=0,则方程的 C.2x2-3x=x(2x+1) 根是( D.2-3=x2 A.x1=-5,x2=-9B.x1=5,x2=9 2.已知(m-1)x2-2x+1=0是关于x的一元 C.x1=-5,x2=9 D.x1=5,x2=一9 二次方程，则实数m的取值范围是( ) 知识点4根据实际问题列一元二次方程 A.m≤2 B.m≥2C.m≠1D.m≠2 9.教材P4习题21.1T6变式》学校要组织足球比 3.抽象能力若方程xm-1十2x一3=0是一元二 赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）， 次方程，则m的值为() 计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参赛？ A.0 B.1 C.2 D.3 设邀请x支球队参赛，根据题意，下面所列方 知识点2一元二次方程的一般形式 程正确的是() 4.(2023·石家庄桥西区月考)将一元二次方程 A.x2=21 1 B.2x(x-1D=21 3x2=5x一1化成一般式后，二次项系数和一 次项系数分别为( C-21 D.x(x-1)=21 A.3,5 B.3,1 10.如图所示，现有一块长 C.3x2,-5x D.3,-5 80cm、宽60cm的矩形 5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 60 cm 纸片，将它的四个角各剪 写出其中的二次项系数、一次项系数和常 去一个边长为xcm的小 80 cm 数项 正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖 (1)x2+1=2x;(2)x(2x-1)=x; 的长方体盒子.根据题意，可列方程为 ,将其化为一般 形式为 (3)-2=3x2;(4)(x+1)(x-1)=2x-4. 易精固忽略一元二次方程二次项系数不为0 11.已知(m-3)x2+√m+2x=1是关于x的一 知识点3一元二次方程的根 元二次方程，则m的取值范围是() 6.以一2为根的一元二次方程是() A.m≠3 B.m≥3 A.x2-x+2=0 B.x2-x-2=0 C.m≥-2 D.m≥-2且m≠3 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0 -九年级·上册数学J河北专用 通能力922 16.数学文化》《周髀算经》中有一种几何方法可 以用来解形如x(x十5)=24的方程的正数 12.下列说法正确的是( ) 解，其步骤为： A.方程8x2一7=0的一次项系数为一7 第一步：如图所示，将四个长为x+5、宽为x B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+ 的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正 c=0 方形. C.当a=3且b≠-1且c≠0时，方程(a- 第二步：.大正方形的面积=24×4十25= 3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元 121,.大正方形的边长=11. 二次方程 第三步：列出方程x+(x+5)=11,解得 D.当m取所有实数时，关于x的方程(m2+ x=3, 1)x2一mx-3=0为一元二次方程 ∴.方程x(x十5)=24的正数解为x=3. 13.传统文化《九章算术》是中国传统数学重要 小明按此方法解关于x的方程x2十mx=n 的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框 时，构造出同样的图形.已知大正方形的面积 架.书中有一题“今有户高多于广六尺八寸， 为16，小正方形的面积为4，求该方程的正 两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大 数解. 意：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门 的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多 少？”若设宽为x尺，则可列方程为(1丈= 10尺，1尺=10寸)() A.x2+(x-6.8)2=100 B.x(x+6.8)=100 C.x2+(x+6.8)2=100 D.x(x-6.8)2=100 14.(2023·衡水月考)若a是方程x2-x-1=0 的一个根，则-a3十2a十2024的值为 通素养》9> 15.已知关于x的方程(|m|一1)x2-(m+1)x+ 17.若2y4-6-3y2a+6十8=0是关于y的一元二 m=0. 次方程，试求出a,b的值.张敏是这样考虑 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ a-b=2, (2)当m满足什么条件时，此方程是一元二次 的：a,b必须满足条件 你认为张 2a+b=1. 方程？并写出该一元二次方程的二次项系 敏的这种解法全面吗？若不全面，请你说明 数、一次项系数及常数项.（用含m的代数式 其余满足的条件. 表示) 3 优*学秦·课时通优计学案 参考答案 心课时通] 九年级·上册·数学·凡J河北专用 第二十一章 一元二次方程 4.D5.D6.C7.B8.±√59.5√2-2 21.1一元二次方程 10.解：(1)移项，得(3x-1)2=36. 1.B2.C3.D4.D 直接开平方，得3x-1=士6， 5.解：(1)由原方程得到x2-2x十1=0， 5 所以二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项 解得1-了4=一 为1. (2)原方程变形为(3x十1)2=256. （2)由原方程得到2x2一2x=0, 直接开平方，得3x+1=士16. 所以二次项系数为2，一次项系数为一2，常数项 解得x1=5,x2=- 为0. (3)由原方程得到3x2+2=0, 11.解：(x-1)2=k2+2的一个根是x=3, 所以二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为2. ∴.(3-1)2=2+2，解得k=土√2. (4)由原方程得到x2-2x十3=0， 由(x-1)2=k2+2,得(x-1)2=4, 所以二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项 .x-1=2或x-1=-2, 为3. 解得x1=3,x2=一1. 6.D7.B8.D9.B 综上所述，k的值是士√2，方程的另一个根是一1. 10.(80-2x)(60-2x)=1500 12.解：(1)-√5 x2-70x+825=0 (2)①当(x-1)2=4,且(x一1)2≥x2时，解得 11.D12.D13.C14.2023 x=-1; 15.解：(1)，方程(m|-1)x2-(m+1)x+m=0为 ②当x2=4,且x2≥(x-1)2时，解得x=2. 一元一次方程， 综上所述，x的值为一1或2. .|m|-1=0,且m+1≠0，解得m=1. 第2课时用配方法解方程 (2).方程(m|-1)x2-(m+1)x十m=0为一元 1.B2.1)4228:4(8号(4房号 11 二次方程，..m-1≠0，即m≠士1， 则二次项系数为|m|一1，一次项系数为 3.-24.C5.A 一(m十1)，常数项为m. 16.解：.x2十mx-n=0,x(x十m)=n, 6.解：(1)移项，得x2-2x=8. ∴.图中长方形的长为(x十m),宽为x, 配方，得x2-2x十1=8十1，即(x-1)2=9. ∴.图中小正方形的边长为x十m一x=m=2, 由此可得x-1=士3. 大正方形的边长为x十m十x=2x十m=4, .x1=4,x2=-2. 。.x=1. 2)移项，得x2了z=1 17.解：不全面.正确解法如下： 要使2y-6一3y2“+6+8=0是关于y的一元二次 11210 方程，则有2度2政 配方，得（x一3）=g’ 方02或2a62…2a20 由此可得士四 3 _1√10 4 2 x13+3,x233 03或6=0'或2或6=1 解得 a=3't 7.A8.A 21 6=- 3 \b3 9.解：(1)移项，得3x2-6x=2. 2 二次项系数化为1，得x2-2x= 3 a= 或 3 6、4 配方，得x2-2x十1=3+1， 2 3 21.2解一元二次方程 即x-10-号 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解方程 由此可得x-1=士 3 1.D2.B 3.解：1)原方程可化为- ,3x2=115 x=1+⑤ 31 (2)移项，得2x2一4x=一5. 1 1 解得x1=2x2=一2 二次项系数化为1，得x2-2x=一5 Γ2 (2)原方程可化为x2=5, 解得x1=5,x2=-√5. 配方，得x-2x+1-1-号，