精品解析：江苏省江阴市长泾中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

江阴市长泾中学2025年秋学期高一第一次阶段性测试 一．单选题 1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用数集的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，故②正确； 对于③，为自然数，而表示自然数集，所以，故③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，故④错误. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 3. 命题“”是（ ） A. 真命题，否定为“” B. 假命题，否定为“” C. 真命题，否定为“” D. 假命题，否定为“” 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判断原命题的真假，再根据全称量词命题的否命，得到原命题的否定即可． 【详解】先看原命题：当时，，不满足，所以原命题是假命题， 全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”， 故选：B． 4. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误. 故选：B 5. 已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 6. 已知，b，c为实数，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 的充要条件是 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质、集合运算来逐一分析选项即可． 【详解】对于A，若，则，所以是的必要条件， 若，可能，不一定，所以是的不充分条件， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，则，故，充分性成立， 若，当时，，必要性不成立， 故是的充分不必要条件，不是充要条件，故B错误； 对于C，时，不一定为，如，，充分性不成立， 若，则一定成立，必要性成立， 故是的必要不充分条件，不是充分不必要条件，故C错误； 对于D，若，当时，两边同乘得，当时，两边同乘得，所以充分性不成立， 若，当时，两边同除以得，当时，两边同除以得，所以必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 8. 已知实数，函数若，则a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【详解】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 二．多选题 9. 已知集合，则（ ） A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可根据集合与元素的关系、子集的定义以及一元二次方程根的判别式来逐一分析选项． 【详解】对于A，若，则是方程的根，所以有，即，解得，故A正确； 对于B，若，则方程变为，解得，所以， 此时A的子集个数为，子集为、，故B正确； 对于C，当时，方程是一元二次方程，其判别式，当，即，解得，此时方程无实数根，，故C错误； 对于D，若中至多有一个元素，分两种情况， 当时，原方程变为，有一个实数根，满足中至多有一个元素； 当时，原方程是一元二次方程，要使中至多有一个元素，则，即，解得； 综上，或，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 【答案】BC 【解析】 【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，；当时，； 的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，C正确； 对于D，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，D错误. 故选：BC. 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 三．填空题 12. ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法进行求解即可. 【详解】令， 于是有， 故答案为： 13. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 14. 设函数 ①若在区间上单调递增，则m的取值范围为__________ ②当时，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据二次函数的单调性求解即可； ②结合二次函数的性质求解即可. 【详解】①函数开口向上，对称轴为， 由在区间上单调递增，则，即， 则m的取值范围为. ②当时，，开口向上，对称轴为， 而，， 要使在区间上的值域为，则， 即实数的取值范围为. 故答案为：；. 四．解答题 15. 设全集，集合，， （1）求， （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合运算计算即可； （2）由题意可得集合是集合的真子集，列式计算即可. （3）分和两种情况分类讨论求解即可. 【小问1详解】 集合， 则， 因为或，或 所以或； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，集合，符合题意， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若，则，解得， 若，当， 则，解得， 或，此时无解， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，若，使得为真命题，求t的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）转化问题为对于任意恒成立，进而求解即可； （3）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【小问1详解】 设， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以. 【小问2详解】 由， 则， 即对于任意恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若，使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17. 已知函数满足． （1）证明：； （2）证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【答案】（1）证明: 由，令，则，则有， ，即， ，， 所以 （2）证明：设，则， 因为，，所以，即在上单调递减， 又，，故值域为． 【解析】 【分析】（1）首先令求出的表达式，再直接求出表达式的值即可证明； （2）根据单调性的定义即可证明的单调性，再求出、即可得到函数在上的值域． 【小问1详解】 由，令，则，则有， ，即， ，， 所以． 【小问2详解】 单调性证明略，在上的值域为． 18. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 解：原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】（1），其中，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题设，则且； 【小问2详解】 由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． 【小问3详解】 解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市长泾中学2025年秋学期高一第一次阶段性测试 一．单选题 1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”是（ ） A. 真命题，否定为“” B. 假命题，否定为“” C. 真命题，否定为“” D. 假命题，否定为“” 4. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，b，c为实数，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 的充要条件是 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充分不必要条件 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，函数若，则a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 或 二．多选题 9. 已知集合，则（ ） A. 若，则 B. 若，则A有两个子集 C. A不可能为 D. 若A中至多有一个元素，则 10. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三．填空题 12. ，则_______． 13. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 14. 设函数 ①若在区间上单调递增，则m的取值范围为__________ ②当时，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为____________ 四．解答题 15. 设全集，集合，， （1）求， （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，若，使得为真命题，求t的取值范围. 17. 已知函数满足． （1）证明：； （2）证明：在上单调递减，并求在上的值域． 18. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $