专题05 等腰三角形重难点题型汇编（八大模型高频题型三大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题05 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................1 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................2 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................2 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................4 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................8 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................11 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................14 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．一个等腰三角形的两边长为2和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 3．一个等腰三角形的三边长分别为，，，则它的周长是 ． 4．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为 cm 5．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（   ） A． B． C．或 D．或 2．一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（    ） A． B． C． D．或 4．已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 6．等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角是（   ） A．或 B． C． D．或 3．已知等腰三角形的顶角是，则腰上的高与底边的夹角的度数是 ． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为 ． 5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角为 . 6．已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为 ． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为 ． 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 2．如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 33．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 4．等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； (2)如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； (3)如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 5．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 6．在中，，现有两点M、N分别沿三角形的边同时运动，已知点M从A 点出发，速度为每秒，沿的方向运动，点N从B点出发，速度为每秒，沿的方向运动．M、N各自到达终点停止运动． (1)求点M、N第一次相遇的时间？ (2)当点M、N运动过程中，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 7．如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等； (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇． 8．如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 2．如图，在中，，点M，N分别是，边上的动点．点M从点B运动到点C，点N从点C运动到点A，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为，当为直角三角形时，求t的值． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 5．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 6．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................3 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................5 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................11 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................17 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................34 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................45 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................55 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形和三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用和三角形的三边关系． 首先对等腰三角形的腰分情况分析，其次验证三角形的三边关系，确定能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：若是腰长，则底边为， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 若是底边，则三角形的腰长， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 故选C． 2．一个等腰三角形的两边长为2和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为2和腰长为6两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为2时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，，符合题意，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：14． 3．一个等腰三角形的三边长分别为，，，则它的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形三边之间的关系，明确所给的三边能否组成三角形是解题的关键．分类讨论a的可能值，同时需要考虑所给的三边能否组成三角形． 【详解】当时，三角形的三边为3，3，6，而，不能组成三角形； 当时，三角形的三边为3，6，6，所以它的周长为 ， 故答案为：． 4．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为 cm 【答案】19或20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，解题的关键在于分情况讨论． 因为已知两边长度为和，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，另一边长为， ∴当腰长为时， ∵，∴，，能构成三角形， ∴周长为（）， 当腰为时， ∵， ∴，，能构成三角形， ∴周长为（）． 故答案为：19或20． 5．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系判断能否构成三角形． 分为6是腰长和6是底边长两种情况，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当6是腰长时， 三角形的三边长分别为6、6、5， ， 以6、6、5为三边能构成三角形， 此等腰三角形的周长为； 当6是底边长时，三角形的三边长分别为6、5、5， ， 以6、5、5为三边能构成三角形， 此等腰三角形的周长为． 故答案为：或． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时，则它的两个底角度数都； 当等腰三角形的底角为时，则它的顶角度数； 综上所述：这个等腰三角形的顶角等于或， 故选：D 2．一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 利用分类讨论的思想，根据顶角和底角所占比值进行求解即可． 【详解】解：当较大的角为顶角时， 此时顶角度数为：； 当较大的角为底角时， 此时顶角度数为：； 所以，顶角为或， 故选：D． 3．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形中两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形中两底角相等，结合三角形内角和即可得到顶角． 【详解】解：因为等腰三角形的一个底角为， 所以另一个底角也为， 则顶角为． 故选：C． 4．已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角度数为， ∴底角的度数为， 故选：． 5．若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 6．等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，合理分析图形是解题的关键． 分类讨论等腰三角形的形状，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况，如图①，，： ∴， ∴； 如图②，，， ∴，， ∴； 故选：D． 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、两底角相等）及直角三角形的内角和性质，解题的关键是分情况讨论等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，避免因忽略高的位置（在三角形内或外）导致漏解． 先明确等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分两种情况：①等腰三角形为锐角三角形时，高在三角形内部，此时可先求顶角，再结合内角和求底角；②等腰三角形为钝角三角形时，高在三角形外部，此时先求顶角的补角，再确定顶角，最后求底角；再根据两种情况的结果匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：等腰三角形为锐角三角形（高在三角形内部） 设等腰三角形顶角为，底角为 ∵一腰上的高与另一腰夹角为， ∴顶角 ∵三角形内角和为， ∴底角 情况2：等腰三角形为钝角三角形（高在三角形外部） 设等腰三角形顶角为（钝角），底角为 ∵高在外部，高与另一腰夹角为， ∴顶角的补角，即 ∵三角形内角和为， ∴底角 综上，底角为或． 故选：A． 3．已知等腰三角形的顶角是，则腰上的高与底边的夹角的度数是 ． 【答案】/55度 【分析】这道题主要是考查等腰三角形和直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形性质，直角三角形性质，是解题的关键． 首先根据顶角的度数求出等腰三角形的底角,然后根据腰上的高与底的夹角与等腰三角形的底角互余，解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴底角为， ∵一腰上的高与腰垂直，成角， ∴一腰上的高与底边的夹角为． 故答案为：． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，分顶角为锐角和顶角为钝角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：如图，当是锐角三角形，，是锐角时， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，当是钝角三角形，，是钝角时， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可得，底角的度数为或， 故答案为：或． 5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角为 . 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时；当等腰三角形是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图： ， ， ， ， ， ； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图： ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：它的底角度数为或， 故答案为：或． 6．已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为 ． 【答案】、、或、、或、、 【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为，是，两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 故答案为：、、或、、或、、． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 2．等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 3．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识；根据等边对等角，得到，角平分线得到，三角形的外角得到，等角对等边得到等腰三角形，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴是等腰三角形； 故共有三个等腰三角形； 故选C． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图：    当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 综上：点的个数有4个； 故选B． 5．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 6．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．分与垂直和不垂直两种情况，再根据等腰三角形的定义画图求解即可． 【详解】解：当时， 若是等腰三角形，只有1种情况，如图： 此时，满足题意； 当与不垂直时， 若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下： 当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，以点A为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，则满足题意； 综上，共有4个点或2个点， 故答案为：4或2． 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 共有6个． 故答案为：6． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据  是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，      ∵，，   ∴当时，，解得；   如图，当P在上，时，是等腰三角形，   ∵，，   ∴当时，，解得；   综上可得：当或5秒时，是等腰三角形， 故选：D．   2．如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 33．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当 t 为或时， 的面积为 ； (3)当 时， 与全等；理由见解析，此时， ； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （3）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （4）证明，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得， ，； （2）解：由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为. （3）解：，， 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， ∴. （4）解：，理由如下， 如图，， ， ， , ，，， ， ， ， ， ． 4．等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； (2)如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； (3)如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 5．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 6．在中，，现有两点M、N分别沿三角形的边同时运动，已知点M从A 点出发，速度为每秒，沿的方向运动，点N从B点出发，速度为每秒，沿的方向运动．M、N各自到达终点停止运动． (1)求点M、N第一次相遇的时间？ (2)当点M、N运动过程中，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1) (2)能得到，或 【分析】本题考查等边三角形的性质、行程问题中的相遇关系以及等腰三角形的性质，解题关键是根据路程差或等腰三角形两腰相等的性质，分情况建立方程求解． （1）根据行程追及问题，设运动时间，利用比多走的长度列方程求解第一次相遇时间． （2）分、在不同边上的情况，依据等腰三角形的性质，结合等边三角形特点列方程求解． 【详解】（1）设M、运动秒后，、两点重合， 则， 解得： 即当、运动秒时，追上 （2）设M、运动秒后，可得到以为底边得等腰三角形 当点在上，点在上时，如图1 当时，是等边三角形， 解得： 当点在边上运动时，如图2， 由（1）知秒时两点重合，恰好在处， 是等边三角形 在和中 ， 解得： 综上，当运动2秒或者秒是，能得到以为底的等腰三角形． 7．如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等； (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇． 【答案】(1)①全等，理由见解析；② (2)经过点与点第一次在的边上相遇 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据“路程速度时间”，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长，然后进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①全等，理由如下： 当时， ， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴， 若，， 则，， ∴点、点运动时间为， ∴点的运动速度为． （2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， ∴点P共运动了， 若是运动了三圈，即：， ∵的长度， ∴点与点第一次在的边上相遇， ∴经过点与点第一次在的边上相遇． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，线段中点，追及问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键． 8．如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为或4或． (4)或或． 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）观察图形用来求解； （2）当是以为腰的等腰三角形时有两种情况，①，②，两种情况，表示出线段长，即可列列方程求解； （3）分三种情况：当点与点重合时，当点在上时，当点在上时，分别求解即可； （4）先求出周长的一半，分三种情况：当点在上时，，当点在上时，， 当点在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒．， ， 故答案为：． （2）解：∵当是以为腰的等腰三角形时， 点一定在上，     ①若， ， （秒）， ②若， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． （3）解：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， ①当点与点重合时，点P到直角边，的距离都等于0，此时，解得， ②当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： ③当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： 综上所述：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， 的值为 或4或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 综上所述，的值为或或． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)当第秒或第秒时，为直角三角形 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （3）由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 2．如图，在中，，点M，N分别是，边上的动点．点M从点B运动到点C，点N从点C运动到点A，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】当运动时间为或时，为直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】（）由可得，再根据直角三角形的性质求出即可； （）设点的坐标为，由等边三角形的性质可得，进而列出方程即可求解； （）①由题意可得，，即得，分和两种情况，根据直角三角形的性质列出方程解答即可求解；②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等边三角形和等腰三角形的性质分别列出方程解答即可； 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，等边三角形的性质和判断，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （3）解：①由题意可得，，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时， ∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 5．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 【答案】(1)12秒 (2)4秒 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，利用方程的思想解决动点问题是本题的关键． （1）设点M，N运动时，M，N两点重合，由点N运动路程=点M运动路程间的路程，列出方程，即可求x的值； （2）设点M，N运动时，可得到等边三角形，由等边三角形的性质可得可列方程，计算求出t的值； 【详解】（1）解：设点M，N运动时，M，N两点重合．则 ， 解得． 即点M，N运动时，M，N两点重合． （2）解：由题可知是等边三角形，由(1)可知当点M在边上，点N在边上，且时， 是等边三角形． 设点M，N运动时，可得到等边三角形，则 ， ． ∵是等边三角形， ∴， 解得， ∴点M，N运动时，可得到等边三角形． 6．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)不变化，理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 即的度数为； （2）解：不变化，理由如下： 是等边三角形， ，， ； ， ， 即， 在和中，， ， ； ∵， ， ； （3）解：根据题意得，，， ， ①当时， ， ， ，即， 解得，， ②当时， ， ， ，即， 解得，， 综上可得，的值为或． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解. 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，    ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， 即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD，    ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°， ∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠MDC， ∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC， ∴CA=CM+AM=CD+CE； 即CD+CE=CA. （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，    ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)点运动6秒后重合 (2)当点运动2秒时，是等边三角形 (3)当或或或时，是直角三角形 (4)当点M、N运动8秒时，是等腰三角形 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，解一元一次方程． （1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）分四种情况，由直角三角形的性质，可列方程求解，即可得出结论； （4）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设点、运动秒后重合， 则， 解得， ∴点、运动6秒后重合； （2）解：设点、运动秒后，是等边三角形， ∵等边， ∴， 如图，，， 当时，是等边三角形， 即 ， 解得， ∴当点、运动2秒时，是等边三角形； （3）解：设点运动秒后，是直角三角形， ∵等边， ∴， ①如图2：，， 则有， 解得； ②如图3：，，则有， 解得； ③如图4：点N运动到中点时， 是直角三角形此时点运动，则有， 解得； ④如图4：点运动到中点时，，即， 解得：， 此时点运动，与点重合； 综上所述，当或或或时，是直角三角形； （4）解：如图 设点、运动秒 则， 假设是等腰三角形且MN是它的底边 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 ∴当点、运动8秒时，是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $