精品解析：江西省赣州市兴国县将军中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

兴国县将军中学2025年10月份级高二年级月考数学科试卷 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案. 【详解】由，得到， 又因为，所以，故C正确； 当时，，故AD错误； ，故B错误. 故选：C 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 3. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程. 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 4. 圆的面积（　　） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 没有最值 D. 为定值 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准形式，即可确定半径的最值，进而判断各项的正误. 【详解】方程可化为， 当时，圆的最小半径为1，此时最小为，但无最大值. 故选：A 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 6. 在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】当斜率存在时，设直线方程，根据点到直线的距离公式列方程组求解可得. 【详解】易知，当直线的斜率不存在时不满足题意； 过点作垂直于直线，垂直分别为， 则，所以，所以， 又，所以直线过原点， 设直线方程为，即， 由题知，，解得或或， 所以满足条件的直线有4条. 故选：A 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 8. 已知圆的标准方程为，设过圆心且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，连接并延长，与直线分别相交于点，用表示面积，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，与圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得点的坐标，根据利用基本不等式可得答案. 【详解】如图，由题意知，，设直线的方程为， 由得， 解得或则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得，点的坐标为． 由题可知， 所以，又， 同理， 所以， 当且仅当时等号成立，故． 故选：C. 二、多选题 9. 已知点和点，是直线上的一点，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】过点作直线的对称点，设，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得，，连接，由三点共线的性质可得的范围，从而可得结论． 【详解】解：点和点，是直线上的一点， 过点作直线的对称点，设， 可得，， 解得，，即， 连接，可得， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值为， 结合选项可知的可能取值是，，． 故选：ABC． 10. 有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（ ） A. 第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B. 取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C. 取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D. 取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下： A错，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中所确定的点在直线上的有（1，5），（2，6），（3，7），（4，8），共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有（1，7），（2，6），（3，5），共3个样本点， 故两种情况下的样本点个数不一样，即两种情况下概率不一样． B对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中两个数乘积大于15的有（2，8），（3，6），（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共8种， 则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样． C对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数乘积不小于20的有（3，7），（3，8），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），共6种， 则取出的两个数乘积小于20的有10种，． D对，由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中取出的两个数相加和为奇数的有（1，6），（1，8），（2，5），（2，7），（3，6），（3，8），（4，5），（4，7），共8种， 则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样． 故选：BCD. 11. 已知圆M的圆心M在x轴上，且圆M与直线和都相切，点P为直线l：与y轴的交点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形PAMB的面积为 C. 的取值范围为 D. 若点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得圆的方程以及切线长的表示，对于A，可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，可得其正误；对于B，由题意可得直线方程，从而可得点的坐标，根据两点之间在距离公式，从而可得的长，即可得切线长，根据直线三角形的面积公式，可得其正误；对于C，根据数量积的定义，根据切线长以及同角三角函数的平方式，可得数量积的函数解析式，根据对勾函数的性质，可得其正误；对于D，根据四点共圆，利用两圆方程可得相交弦所在直线的方程，根据垂直可得动点的轨迹，结合圆的性质，可得其正误. 【详解】 因为圆M的圆心M在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为. 因为PA，PB是圆M的切线，所以. 在Rt△APM中，. 对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线l：的距离为1， 即，解得，故A正确. 对于B，当时，，又所以， 则，所以四边形PAMB的面积，故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，，所以A，M，B，P四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为.因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为化简得， 所以直线AB经过定点.因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点C在以MN为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量，若与互相垂直，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解. 【详解】因为， 故，， 若与互相垂直， 则，即，解得或. 故答案为：或. 13. 一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，且满足，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹方程，再利用数形结合思想求解. 【详解】因为，所以，化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去两点）， 如图．不妨设，则的最大值在直线与圆相切时取得， 由，解得或， 所以的最大值是． 故答案为： 四、解答题 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16. 已知点，动点满足． （1）求动点G的轨迹方程； （2）若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再代入坐标化简即可得到轨迹方程； （2）设，则，将直线方程与轨迹方程联立得到，，再由A，Q，C三点共线，可得，代入化简运算即可求m． 【小问1详解】 由已知得，， ∴，∴， 整理得． ∴动点G的轨迹方程为． 【小问2详解】 设，则． 将l的方程代入中，整理得， ∴，， ∵A，Q，C三点共线， ∴， 即． 即， ，即， 解得m＝4．所以m的值为4． 17. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． （1）求两种规则下获得二等奖的概率； （2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【答案】（1） （2） 两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以 由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，； 由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 【解析】 【分析】（1）（2）列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、二、三等奖的概率， 进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题. 【小问1详解】 据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积及到平面的距离. 【答案】（1） 如图1，连接交于，连接， ∵四边形为菱形，则的中点为，且为的中点， ∴是的中位线. ∴且不在平面内，平面， ∴平面. （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可. （2）设到平面的距离为，利用等体积法，. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面， ∴是三棱锥的高，又底面为菱形且， ∴三角形为等边三角形， ∴，， ∴. 由等体积法，， 设到平面的距离为， 又平面且底面为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴. 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【小问1详解】 圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴国县将军中学2025年10月份级高二年级月考数学科试卷 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 圆的面积（　　） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 没有最值 D. 为定值 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知圆的标准方程为，设过圆心且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，连接并延长，与直线分别相交于点，用表示面积，则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题 9. 已知点和点，是直线上的一点，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 10. 有两个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（ ） A. 第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上时甲获胜，所确定的点在直线上时乙获胜 B. 取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C. 取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D. 取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 11. 已知圆M的圆心M在x轴上，且圆M与直线和都相切，点P为直线l：与y轴的交点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形PAMB的面积为 C. 的取值范围为 D. 若点，则为定值 三、填空题 12. 已知向量，若与互相垂直，则_______． 13. 一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，且满足，则的最大值是___________． 四、解答题 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 已知点，动点满足． （1）求动点G的轨迹方程； （2）若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 17. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． （1）求两种规则下获得二等奖的概率； （2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积及到平面的距离. 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $