精品解析：四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

三台中学2023级高三第二次月考卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 6. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有两个等差数列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数有________项． 13. 已知，则___________． 14. 已知函数，有下面四个命题： ①是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的值域为 ④当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 其中正确命题是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，且，求的值； 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设函数，若函数的图像总在函数图像的下方，求a的取值范围． 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2023级高三第二次月考卷 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数. 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】对等式两边求导，再赋值计算即得. 【详解】函数，求导得，则， 所以. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式和绝对值不等式，然后由充分必要条件的定义即可得结论. 【详解】，即，，解得， ，即，解得， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意代入公式计算电池容量，当时，代入公式计算时间. 【详解】根据题意在电池容量不变的条件下，， 当时，，代入公式得：， 当放电电流时，代入公式得， 解得 ， 故选：D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性，结合单调性与奇偶性得到，解得即可. 【详解】因为，函数的定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 所以，即为偶函数， 又当时，且与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，再应用导函数正负得出函数单调性，进而得出，最后构造函数，结合导函数得出函数单调性可得出最大值. 【详解】令，则， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为不等式对恒成立，所以， 则． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；根据函数的对称性求解判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B，中，则最小正周期为，正确； 对于C，函数的对称轴为， 令，解得， 则函数图象的对称轴为，令得，错误； 对于D，令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令得，所以是图象的一个对称中心，正确． 故选：BD 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断； 对B，，运用均值不等式即可判断； 对C，，讨论二次函数最值即可； 对D，，讨论最值即可. 【详解】，，当时，即时，可取等号，A错； ，当时，即时，可取等号，B对； ，当时，可取等号，C对； ，D错. 故选：BC 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求导可得，从而求出其单调区间及极值，然后逐项分析即可对ABC判断求解，利用零点存在定理可对D判断. 【详解】A、B、C:由， 可得在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，选项A正确； 当时，又， 所以，而在上单调递增，所以，选项B错误； 当时，，而在上单调递减， 所以，所以，选项C正确； D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3， 而，，，，， 所以有2个零点，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有两个等差数列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数有________项． 【答案】16 【解析】 【分析】由已知可得新数列是等差数列，得出通项公式即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，，190的首项为，公差为， 等差数列2，8，14，，200的首项为，公差为， 这两个等差数列的公共项为2，14，26，也是等差数列，设为， 因为首项为，公差为和的最小公倍数为，所以， 所以，所以， 因为，所以新数列的项数有项. 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式可得，根据完全平方和公式及同角三角函数的平方关系可得，将所求式子切化弦代入即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知函数，有下面四个命题： ①是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的值域为 ④当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 其中正确命题是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】写出函数定义域，再写出分段函数在各定义域内的函数解析式，由三角函数的性质得到函数的周期性和对称轴，判断①②.由分段函数的值域得到函数的值域，判断③.结合三角函数的对称性得到方程的两根的关系，再由题意和定义域得到的取值范围，即可判断④. 【详解】函数定义域为，即， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数是周期函数，周期为，①正确； 因为是函数的对称轴，所以是函数的对称轴，②正确； 当时，， 当时，， 所以的值域为，③正确； 当时，关于对称，则，又因为此时，∴，∴，④错误. 故答案为：①②③. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，且，求的值； 【答案】（1），（）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦型最小正周期公式、正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，则，解得，所以． 由题意，令，， 解得，， 即的单调递增区间为（）． 【小问2详解】 ，， 又，，， ． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设函数，若函数的图像总在函数图像的下方，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的性质，结合的正负性分类讨论进行求解即可； （2）利用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质研究新函数的单调性，利用新函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，时，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，即，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以． 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求． 【答案】（1） 令得，解得或， 而，. 由得，故， 整理得到：， 故是等差数列，且首项为，公差为2. （2）5 【解析】 【分析】（1）在递推关系中令可求，利用可得，故可证是等差数列，求出可求的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可求. 【小问1详解】 证明略. 由上知， 而为正项数列，故， 故， 当时，，且也满足该式， 故． 【小问2详解】 ， 故， ． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的值域，即为实数的取值范围； （3）设函数，由题意可知，在上单调递减，可知在上恒成立，由参变量分离法可得对时恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出整数的最小值. 【小问1详解】 解：当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由，得， 令，其中， 则，其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． 所以，，所以，则的取值范围为． 【小问3详解】 解：因为、，且，， 所以， 设函数，则，可得在上单调递减， 所以在上恒成立，即对时恒成立． 设，则． 设，则，令，解得． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． ，， 当时，， ，则，， 所以存在，使得，即． 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值． ， 当时，， 又整数，所以的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $