山西省晋中市2025-2026学年高二上学期10月期中夯基考试数学试题

2025~20Z0子+同一10月夯基考 数学(A卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章。 却 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线y一2025=0的倾斜角为 长 Aπ B号 C.0 D.不存在 召 2.在空间直角坐标系Oxy之中，点A(1,一2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标为 新 A(-1,2,3) B.(1,2,-3) C.(1,-2,-3) D.(-1,-2,3) 杯 3.已知圆C的方程为x2+y2-2x十4y十a=0,则实数a的取值范围是 A.(4,+o∞) B.(5,十∞) C.(-∞，4) D.(-∞，5) 4.已知向量m=(3,1,5),n=(λ-2，λ，2)，若m⊥n,则入等于 A.-4 B.-1 C.2 D.4 5.已知点P(1,-2,1),Q(1,2,3),点P在平面a内，若平面a的法向量=(1,0,1)，则点Q到 平面a的距离为 A.1 B.√2 C.3 D.2 6.在直三棱柱ABC-A1B,C中，AB⊥BC,BB,=√2AB=√2BC,M,N分别是B,C,AB的 中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值为 A.23 13 B零 n号 【高二10月夯基考·数学(A卷)第1页（共4页）】 26-X-029B 7.已知圆C:(x十1)2+y2=2(r>0)上仅有两个点到直线：3x-4y-12=0的距离为1，则 r的取值范围为 A.(2,4) B.(3,5) C.(4,6) D.(5,7) 8.已知点A(1,0),B(2,0),C为直线y=x+2上一点，则|CA+CB引的最小值是 A.37 B.7 C.27 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a,b,c,则 A.a=b是a=b的必要不充分条件 B.若a,b,c不共面，则a,b,a十c也不共面 C.若a·b=b·c,且b≠0，则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.已知点M是圆C:(x-2)2+(y-1)2=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于P, Q两点，则下列说法正确的是 A.1OM的最小值为3-√5 B.IOM的最大值为3+√5 C.IPQ的最小值为2 D.|PQ的最大值为6 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B,CD,中，点P满足BP=入BC+BB1,A∈[0,1]， μ∈[0,1]，则下列说法正确的是 A.当λ=≠0时，BP∥平面AB1D D B.当λ=u时，AP⊥B1C C当A十=1时，AP长度的最小值为号 D.当入+u=1时，存在点P,使得AP与平面BCCB,所成的角为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线l1:ax十4y-5=0与直线l2:2x十(a十2)y-5=0平行，则实数a= 13.过点A(-1,-1)与圆C:(x一1)2+(y-3)2=4相切的直线方程为 14.已知矩形ABCD,AB=√3，AD=1,将△ACD沿AC折起到△PAC的位置，使得PB=√3， 则平面PAC与平面ABC的夹角的余弦值为 D 【高二10月夯基考·数学(A卷)第2页（共4页）】 26-X-029B 18.(4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如 已知A(2,2),B(3,1),C(0,4). (1 求：(1)过点A且与BC垂直的直线方程： (2 (2)过点B且倾斜角为直线AB倾斜角的3的直线方程。 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A1B,CD,中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=,四边形ABCD是 边长为2的菱形，AA,=3,O为AC与BD的交点. (1)求A1O的长； C (2)证明：OA1⊥BD. A D 17.(本小题满分15分) 已知B(6,8),点A在圆x2+y2=16上运动，M是线段AB的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记点M的轨迹为曲线C,过点(2,0)的直线1与曲线C交于P,Q两点，若|PQ|=2√3， 求直线L的方程 【高二10月夯基考·数学(A卷)第3页（共4页）】 26-X-029B 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=1,且PA⊥PB,AC=BC=1. (1)若PC=1,证明：平面PAB⊥平面ABC: (2)若PC与平面ABC所成角为60°，求二面角A-PC-B的正弦值. 19.(本小题满分17分) 设A(1W3),B(4,0),D(1,-√3)，圆Q过A,B,D三个点. (1)求圆Q的方程； 长 (2)设点C(-3,3),若圆Q上存在点P,使得|PA|2十|PC2=2λ成立，求实数λ的取值 范围； (3)若直线l与圆Q相交于E,F两点（不与原点O重合），直线OE,OF的斜率分别为k1, k2,且：k2=3,证明：直线l恒过定点. 【高二10月夯基考·数学(A卷)第4页（共4页）】 26-X-029B20252026学年高二10月夯基考·数学(A卷) 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意知直线的倾斜角为0.故选C 2.C由题意知点A关于Oxy对称的点的坐标为(1，一2，一3).故选C. 3.D由题意得(-2)2十42-4a>0,解得a<5.故选D. 4.B由m⊥n,m=（3,1,5),n=(入-2，λ，2)，得3λ-6十入十10=0，解得入=-1.故选B. 5.B由题意得Pd=(0,42),所以点Q到平面a的距离d=P:m-是-反，故选B n√E 6.A因为由题意知BA,BC,BB1两两垂直，故分别以直线BA,BC,BB1为x轴，y轴， B z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=a(a>0),则B(0,0,0),C(0,a,0), M M(o,号w2a),N(号，0w2a),所以Bi=(o,号wW2a),C成=（号，-awa),设直 A 线BM与直线CN所成角为0，则cos0=|cos(B成，C本1=B:C BMICNI 之aX3 3 2瓷所以直线M与直线CV所成角的余弦值为2沿故选入 7.A由题意知C(-1,0),C到1的距离d=3XC1)一4X0-12=3,要使圆C上仅有2个点到1的距离 √32+(-4)3 为1，则3-1<r<3十1，即2<r<4.故选A. m×1=-1 8.D因为C在直线y=x十2上，设点A关于直线y=x十2的对称点为A1(m,n),则 解得 +2， 2 3·故A（-23),连接AB交直线)y=x+2于点P,当C在P点时，CA+1CB取得最小值， 最小值为|A1B|=√(-2-2)+(3-0)z=5.故选D. 9.ABa=b的充要条件是a,b的大小相等，方向相同，故由a=b→|a=|b,反之则不然，故A正确；假设 a,b,a十c共面，则存在实数x,y,使得a十c=a十b,所以c=(x一1)a十3b,所以a,b,c共面，与条件矛盾， 故B正确；在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C 错误；对于D,若b=0,a,c不一定共线，故D错误.故选AB. 10.ABD由题意知|OC=√22+1=√5<3，则点O在圆C内，所以|OMImx=|OC+r=√5+3，|OMn= r-|OC=3-√5，当直线PQ过圆心时，|PQ|mx=2r=6,当OC⊥PQ时，|PQlmin=2√2-OC2=4.故 选ABD. 1L.AB对于A,当入=≠0时，B-λ(BB+BC)=ABC,即点P在线段BC1上，则BP∥AD,又BPt平 面AB1D1,ADC平面AB1D1,所以BP∥平面AB1D1;易证BC⊥平面ABCD1,又APC平面ABC1D1, 所以AP⊥BC,故A,B均正确； D 对于C,当λ十4=1时，B2=入BC+(1-λ)BB,即BP=λBC,所以P,C,B三点共线，线段AP在 △ACB1中，因为AB1=AC=√2，所以当点P为B1C中点时，AP最小，此时AP⊥BC,(AP)mm= 【高二10月夯基考·数学(A卷)参考答案第1页（共4页）】 26-X-029B √C-CP-√W②r一-（号）-点A在平面B0CA上的射影为B,所以AP与平面B0CB所成 的角为∠APB,s∠APB=得易求AP∈[E],所以sm∠APB∈[号，号]，又血音-受> 气，∠APB∈[0，受]，所以∠APB<号，故C,D均错误故选AB 12.-4由1∥2，得a(a+2)-2×4=a2+2a-8=(a-2)(a十4)=0，解得a=2,或a=-4.当a=2时，l 与l2重合；当a=-4时，符合题意. 13.x+1=0,或3x一4y一1=0易知C(1,3),且点A在圆C外，若直线斜率存在，设切线方程为y+1= k(x十1)，即x一十k-1=0,则63斗二》=2，解得为=子，故切线方程为3x-4y-1=0,易验证 √/2+(-1)2 x十1=0也是圆C的切线，故所求切线方程为x十1=0，或3.x一4y一1=0. 14.号在平面PAC内作PELAC,.垂足为E,在平面ABC内作BFLAC, 垂足为F,易求AC=2,PE=BF=号，EF=1,因为P成-Pi+成+成， 所以P=(P吃+E萨+F)2,所以3-P花+E京+F+2P吃.E市+ 2成.+2P.成=+1++2P.℉，所以P它.F=},所以s(P吃，成= P.F弦 IPE·IFB 1 4 3,所以平面PAC与平面ABC的夹角的余弦 、2 15.解：(1)设过点A且与BC垂直的直线的斜率为，直线BC的斜率kx=二} 0-31, …2分 由kC·k=一1，得k=1,… …4分 所以y一2=1X(x一2)，即所求直线的方程为x一y=0.…6分 （2)直线A船的斜率及s名-1，设直线AB的倾斜角为e,则。=一1， …9分 又0°≤a<180°，所以a=135°，… 10分 由题意知所求直线的倾斜角为15-45，故所求直线的斜率为m45°-1， 11分 所以y-1=1×(x-3),即x-y-2=0. …13分 16.1解：以AAò，AA)为-个基底，由题意知A=Aò-2，Ad1-3,A应·Aò-2X2X分-2， Ai:AA-Ai.A=2×3×号=3，… 3分 又A0=Ad-AA=2A+号A市-AA, ……4分 所以A:=(2A范+2市-AM) =子A亦+子亦+AA+号A店.A市-A店·AA-Aò，AA =子×4+子×4+9+号×2-3-3=6， 分 所以AO=|A01=6. 8分 (2)证明：由(1)知A0-号A+2A访-AA, 在菱形ABCD中，B励=AD-AB, 10分 所以Aò·Bò=(2A+2Aò-AA)·(Aò-A) 【高二10月夯基考·数学(A卷)参考答案第2页（共4页）】 26-X-029B =合A.A+号A市-AM·A亦-合A迹-合ò.A+M.店 =号X2+号X4-3-号X4-2X2+3=0,… 14分 所以A1òLBD,即A10LBD.…15分 17.解：(1)设点M(x,y),A(x,),由点B的坐标为(6,8)，且M是线段AB的中点， x=西十6 。可得=2x-6,y=2y-8,… y=边+8 3分 2 因为点A在圆x2十y2=16上运动，所以x十y明=16，…4分 所以(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理，得(x-3)2十(y-4)2=4, 所以点M的轨迹方程为(x一3)2十(y一4)2=4.…6分 (2)由(1)知曲线C的方程为(x-3)2+(y一4)2=4，是以C(3,4)为圆心，半径r=2的圆，…8分 由弦长为23，半径为2，则圆心到直线1的距离d-√2-(2) =1 2 10分 ①当直线l的斜率不存在时，即1：x=2,符合题意；… 11分 ②当直线1的斜率存在时，设直线l:y=k(x一2)，即x一y一2k=0,…12分 则圆心C(3,4到直线1的距离为d=告=1，解得=号，… 14分 /2+1 所以直线1的方程为15.x-8y-30=0. 综上，直线1的方程为x=2,或15x一8y一30=0. 15分 18.(1)证明：如图，取AB中点O,连接PO,CO.因为PA⊥PB,PA=PB=1, 所以P01LAB,且P0号，AB-E, … 2分 又AC=BC=1,AB=2,则C01AB,C0=2 2 …3分 所以PO十CO=PC,即PO⊥CO,…4分 又PO⊥AB,AB,COC平面ABC,CO∩AB=O, 所以PO⊥平面ABC,…6分 又POC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.…7分 (2)解：由1)知ABLOP,ABL0C,OP=0OC=号，易得AB1平面POC 因为ABC平面ABC,所以平面POCL平面ABC,所以∠PO060°，所以△POC为等边三角形，故PC= 2 …9分 如图，以O为原点，OC为x轴正方向，AB为y轴正方向，在平面POC内，过O作 平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则A(0,号0），B(o,号0)，c(慢0,0小，P(0,,所以P元- (停0，)，a0-(停0)，成=（停，9o .…11分A Im1·AC=0, 设平面PAC的一个法向量m=(团1)，则用·P心=0 2=0, 即 2,5。取=3，解得”=原，a=1,所以m=65,-,D, …13分 4 4=0, 【高二10月夯基考·数学(A卷)参考答案第3页（共4页）】 26-X-029B 1n2·BC=0, 22 2=0, 设平面PBC的一个法向量n2=(x2,y2,2), 即 m%.Pd=0, 取x2=3,解得=3， √ 4x2 422=0, z2=1,所以2=(W3,W3,1),…15分 所以osmm)=西路=号 设二面角A-PC-B的大小为0，则sin0=V1-c0sm,=4y5 71 17分 19.(1)解：法1：由题意可得，圆心Q为直线AB的垂直平分线和直线AD垂直平分线的交点，直线AB的斜率 =，直线AB的中点为（各号》， kB=14 …1分 所以线段AB的垂直平分线的方程为y--厅(x一多)，即万x一y一25=0， …2分 又线段AD的垂直平分线的方程为y=0,…3分 联立方程组 。2万=0解得6，所以Qc20,半径Q1=2, y=0 所以圆Q的方程为(x一2)2十y=4.…5分 法2：设圆Q的方程为x2十y十Dx十Ey十F=0, 1分 4+D+√3E+F=0, 由题意得16+4D+F=0, 3分 4+D-√5E+F=0, 解得D=-4,E=F=0, 故圆Q的方程为x2十y2一4x=0. 5分 (2)解：设P(x,y),因为|PA2+|PC2=2λ， 所以(x-1)2+(y-√3)2+(x十3)2+(y-√3)2=2λ， 化简得(x十1)2+(y-√3)2=-4，所以≥4. 7分 当入=4时，点P的坐标为（一1W3),不在圆Q上，不合题意 当>4时，点P在以M(一1√5)为圆心，√入一4为半径的圆上，依题意圆M与圆Q有公共点， 又|MQ=√/(-1-2)2+(3)2=2√3， 所以√-4-2≤23≤-4+2，解得20-8√3≤1≤20+85. 所以入的取值范围为[20-8√5,20十8√5].…10分 (3)证明：设直线l的方程为y=x十m,E(x1,yM),F(x2,y),x1x2≠0， 由化2y-41+)2+2c-3=0 所以A=4(km-2)2-4(2+1)m=16-16km-4m2>0,且a十=-262 、2 1十22,2=1十： …13分 由x1x2≠0，得m≠0， 所以k1g=边业=k十m)(kz十m)_2西西十m(a十z)+m X1T2 C1C2 C1T2 2km(2-km)+m =k2+- 1+k2 114级=3， 15分 m m 1+2 所以m=2,所以直线1的方程为y=k(x+2),令x十2-0解得x二。2即直线1过定点（一2,0>. y=0, y=0, …17分 【高二10月夯基考·数学(A卷)参考答案第4页（共4页）】 26-X-029B