精品解析：江苏省徐州市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

徐州一中高一月考 一、单项选择题： 1. 以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 5. 设x，y，，则三个数，，（ ） A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 都小于2 6. 命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多项选择题： 9. 若集合，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知x，，，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题 12. 设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________. 14. 设，已知，则的最小值为______． 四、解答题： 15. 已知，集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知关于x的不等式，． （1）解这个关于x的不等式； （2），恒成立，求a的取值范围． 17. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 18. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证： 注：分别表示数集中的最小数与最大数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中高一月考 一、单项选择题： 1. 以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案． 【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确 故选：D 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为. 故选：. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义可得且，然后利用充分、必要条件的定义判定. 【详解】且，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选:A. 4. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 5. 设x，y，，则三个数，，（ ） A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 都小于2 【答案】C 【解析】 【分析】假设，，都小于2，则，利用基本不等式得，与假设相矛盾，由此可得选项. 【详解】解：假设，，都小于2，则， 而当x，y，时，，当且仅当“”时，等号成立． ∴假设错误，∴，，中至少一个不小于2． 故选：C. 6. 命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原命题，再根据充分不必要条件的定义得解. 【详解】因为对任意“”为真命题， 则对任意“”， ∵当， ∴， 因为选项是的充分不必要条件， 所以选项对应的集合是集合的真子集， 则命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围. 【详解】解不等式，得或， 解方程，得，． （1）当，即时，不等式的解为：， 此时不等式组的解集为或， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即， （2）当，即时，不等式的解为： 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即， 综上，可知的取值范围为．故选：B. 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 二、多项选择题： 9. 若集合，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项，利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 则，故，A错； 对于B选项，因为，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，取，，则，C错； 对于D选项，因为，， 则 ， 所以，，D对. 故选：BD. 11. 已知x，，，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：由乘“1”法结合基本不等式即可求解；对B：由基本不等式得，，由此可得，但是取等条件不成立；对C：由，结合基本不等式即可求解；对D：由，结合基本不等式即可求解. 【详解】对A：， 当且仅当，即时，取等号，A选项正确； 对B：因为，取等条件； 又因为，取等条件； 所以， 因为取等条件与矛盾，故B错误； 对C：， 当且仅当，即时，取等号，所以C错误； 对D： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解. 三、填空题 12. 设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为； 若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端， 的“长度”的最小值为 若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多， 的“长度”的最大值为 则集合的“长度”的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置. 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知命题为假，得到其否定为真，利用二次不等式恒成立的条件求得m的取值范围. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题， 这等价于，解得, 故答案为：. 14. 设，已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用,可得,进而代入求解最小值. 【详解】由,,可得，则， 故 ， 故答案为： 四、解答题： 15. 已知，集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出． （2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可； 【详解】（1）当时， ， 故； （2）由知 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法. 16. 已知关于x的不等式，． （1）解这个关于x的不等式； （2），恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） ①若，可得，解集为, ②若，则，可得解集为, ③若，则，可得解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论，解不等式； （2）分离a，将条件转化为在上恒成立，构造，，求的最大值即可. 【小问1详解】 当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，则，可得解集为； ③若，则，可得解集为； 【小问2详解】 对，恒成立， 等价为在上恒成立， 由于恒成立， 可得在上恒成立， 设，， 可得，， 在时取得最小值2，可得的最大值为1，则． 即a的取值范围是． 17. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据二次函数的性质，结合一元二次方程根的判别式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以， 所以 ， 所以关于的不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即，而所以有， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，即当取等号， 的最小值为 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系，以及利用基本不等式. 18. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答. （2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答. 【小问1详解】 依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元， 因此， 所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 而，因此当时，， 所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证： 注：分别表示数集中的最小数与最大数． 【答案】（1）集合不是，集合是，理由如下： 对于集合：因为，所以集合不是规范数集； 对于集合：因为， 又， 所以相伴数集，即，故集合是规范数集． （2）证明： 不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则，则，且， 使得，当时， 则．当且仅当且时，等号成立； 当时，则 ，当且仅当且时，等号成立： 当时，则 ， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：． 【解析】 【分析】（1）计算，根据规范集的定义即可求解， （2）根据规范集的定义可知，使得，当时，即可，当时，当时，，结合迭代求解. 【小问1详解】 集合不是，集合是，理由略； 【小问2详解】 略． 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $