精品解析：湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（A卷）

湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考 数学试题（A卷） 第I卷(选择题) 一、单选题 1. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 2. 已知数列的通项公式为，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 81 B. 145 C. 256 D. 273 5. 若不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数（为自然常数）的大致图像是（ ） A B. C. D. 7. 已知，且，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列递减数列 D. 10. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 4 C. D. 在区间上单调递增 11. 设函数，则（ ） A. 有二个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数有且只有一个零点，则实数m取值范围是______． 13. 若为第二象限角，且，则的值是_____． 14. 第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为__________，n级角雪花曲线的内角和为__________． 四、解答题 15. 记数列的前项和为，且. （1）求； （2）设数列前项和为，证明：. 16. 已知函数. （1）若函数有极值，求实数的取值范围； （2）当时，若函数在，处导数相等，证明：. 17. 已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立． （1），求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 19. 已知函数，设． （1）若，求的最小值 （2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省永州市新田县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考 数学试题（A卷） 第I卷(选择题) 一、单选题 1. 已知等差数列公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得，计算可求得，进而利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为成等比数列，所以， 又因为数列是公差为2的等差数列，所以，解得． 所以． 故选：A． 2. 已知数列的通项公式为，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于函数，先由求出，而对于函数，应使，解出，即得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由可得 ， 对于函数，由可得， 即函数的定义域为． 故选：B． 4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 81 B. 145 C. 256 D. 273 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 5. 若不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令求出，再由不等式的性质求范围. 【详解】令，则，得， 所以，又， 所以. 故选：B 6. 函数（为自然常数）的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案. 【详解】因为的定义为， 所以，所以为奇函数，排除D， 又因为，所以排除B， 当趋近正无穷时，趋近，故C错误. 故选：A. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，且， 所以，所以， 所以. 故选：D 8. 设，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得，构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得答案. 详解】记，则， 当时，，单调递增， 又，且， 所以，即. 故选：A 二、多选题 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 4 C. D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可. 【详解】A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为， 所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11. 设函数，则（ ） A. 有二个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求得零点判断A；设曲线在处的切线过点，进而求得切线方程，可得，计算可判断B；求导可判断在上单调递增，进而可判断C；求得极值点结合条件可得，计算可判断D. 【详解】因为， 所以，时，，所以有二个零点，故A正确. 设曲线在处的切线过点， 由，得， 所以， 所以曲线在处的切线方程为 ， 又因为切线过点，所以， 所以，整理得， 解得或，所以过点仅可以作两条直线与的图象相切，故B错误； 因为，所以在单调递减， 又，所以当，所以， 所以在上单调递增，当时，，所以，故C正确； 令，则或， 当时，，当时，，当时，， 又时，函数取极大值，当时，函数取极小值，又 在区间上有最大值，则， 解得，所以取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】或， 【解析】 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 13. 若为第二象限角，且，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【详解】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 14. 第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为__________，n级角雪花曲线的内角和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用观察归纳法求出边数构成的数列通项，再利用n级角雪花曲线的开三角个数及曲线的内角和变化规律列式求和即得. 【详解】依题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，得级角雪花曲线的4条边， 因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列， 则n级角雪花曲线的边数为， 当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，， 由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此， 当时，n级角雪花曲线开角数 ，满足上式， 所以n级角雪花曲线的开角数； 令n级角雪花曲线的内角和为，显然， 而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，其内角和增加， 于是，当时，n级角雪花曲线的内角和： ，满足上式， 所以n级角雪花曲线的内角和为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可解决. 四、解答题 15. 记数列的前项和为，且. （1）求； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，推出，并利用计算出首项，即可得到是公差、首项均为2的等差数列，代入等差数列的前项和公式即可得到； （2）用裂项相消法得到，根据的单调性求证即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 可得， 故，即， 当时，有，解得， 故是公差、首项均为2的等差数列，． 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 因，所以， 又在上单调递增， 故随的增大而增大，故， 综上，. 16. 已知函数. （1）若函数有极值，求实数的取值范围； （2）当时，若函数在，处导数相等，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设有且，讨论、判断的单调性，进而确定是否存在极值，即可得参数范围. （2）求，由题设可得，而，应用基本不等式及对数的性质即可证结论. 【小问1详解】 由题设，且， 当时，即在单调递增，此时无极值，不合题意； 当时，当有，单调递增，当有，单调递减， 当时，函数取得极小值，故. 【小问2详解】 当时，则，又， ，即，又，化简可得， 由， ，由可得：， ，即， ，得证. 17. 已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立． （1），求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用数列与的关系，即可求得数列的通项公式，代入，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可知，分为奇数和偶数，分别求和. 【详解】（1）在中令得． 因为对任意正整数，成立，所以， 两式相减得，所以， 又，所以为等比数列， 所以，所以． （2） 当为偶数时， ， 当为奇数时， ． 所以． 18. 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可得首项和公比， （2）根据等差求和公式，将问题转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求解最值即可求解. 【小问1详解】 设公比为，且， 由可得，解得， 所以，， 【小问2详解】 由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故， 由得， 进而可得对任意的恒成立， 令,则， 记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，， 所以，故， ，则 因此，故, 即的最小值为， 19. 已知函数，设． （1）若，求的最小值 （2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有． 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入，利用导数求解函数的单调区间，即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间及最值，根据零点存在性定理即可求解； （3）根据导数的几何意义，列方程组，求解切点坐标及参数的值，得到函数的解析式，利用分析法证明不等式即可. 【小问1详解】 解：当时，， 令． 列表如下： 单调递减 极小值0 单调递增 所以的最小值为0 【小问2详解】 解：， 当时，单调递减；当时，单调递增， ， 要使有两个零点，首先必有 当时，注意到， 在和上各有一个零点，符合题意， 综上：取值范围为． 【小问3详解】 由题得，，设与切于， ， ， 要证：，需证： 即证：，即证：． 令，需要证明：，． 构造，，在上单调递增， ，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $