精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025年秋学期高一10月联合调研 数学试卷 2025年10月 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论． 【详解】， ，， 故选：． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式化简，然后由充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】由可得，即，解得或， 所以“”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断AD的正误，利用作差法可判断BC的正误. 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，，故B成立； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，故，故，故D错误； 故选：B. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】当时，，解得，解集不为R，不合要求，舍去； 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A 6. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（ ） A. 1 B. C. 1， D. ，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的子集个数，判断出集合A中有且只有一个元素，从而转化为方程有一个根的问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有2个子集， 可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有1个实数解， 当时，方程只有1个实数解，符合题意； 当时，由题意，解得， 所以实数的取值是，0，1. 故选：D 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的解集求出，再代入解一元二次不等式即得. 【详解】依题意，是方程的二实根，且， 于是，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：A 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可. 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案. 【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确； B项, 若,可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； C项，举反例，虽然，但是，故D不正确； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案. 【详解】选项A：因为，所以,所以的最大值是2.所以选项A正确； 选项B ：因为所以.因为，所以，所以.所以选项B错误； 选项C：因为，所以，即，即解得：.所以选项C正确； 选项D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立.所以同为负数时，也可使恒成立.所以选项D错误. 故选：AC. 11. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组求出的取值范围，然后对比选项即可得解. 【详解】二次函数的对称轴为直线，离最近的3个整数依次为， 所以，解得，对比选项可知满足题意. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值. 13. 设，，若，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】 把乘以得到，后用均值定理 【详解】解：，且且 ∴ 当且仅当取等号， 又，即，时取等号，故所求最小值为16． 故答案为：16 【点睛】考查均值定理的应用，基础题 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1）证明： ∵， ∴. （2）1. 【解析】 【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】（1）略； （2）∵，， ∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题. 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 17. 已知命题，；命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知命题为真命题，则且，即可求出的取值范围； （2）根据题意，分别求出和，由命题与均为假命题，可知和都是真命题，由是真命题，得或，由是真命题，得或，化简计算后， 可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为命题，， 若命题为真命题，则且， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 解：因为命题，；命题，， 则，，，， 若命题与均为假命题，则和都是真命题， 由是真命题，得或，解得：， 由是真命题，得或，解得：， 联立，得， 所以实数的取值范围为. 18. 在只剩一堵墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋面积预定为112平方米．若保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋，这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用每米为a；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%．试求在这种情况下旧墙保留多少米最为合算？ 【答案】 【解析】 【分析】依题意可将旧墙保留m，由此计算出砌的新墙长度和利用旧料砌的新墙长度，再根据每部分的不同费用写出总费用的表达式，利用基本不等式求出最小值即可得出结果. 【详解】根据题意可设保留旧墙m，易知； 利用旧料来砌的新墙长度为m， 又新屋面积预定为112平方米，所以砌新墙的长度应为m； 因此总费用， 整理可得 利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立； 又满足题意， 所以旧墙保留米最为合算. 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）2或10 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与1,4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数. 【小问1详解】 根据差倍集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且. 当时，的可能取值为2或3. 当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，根据，，可得，，. 由于且，所以且，且. 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10. 【小问3详解】 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设 ，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，这6个值分别记为： ，，，，，. 从而有： ，即， ，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果差倍集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时. 再看： 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即； 若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时，即. 再看，将代入，可得. 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，而在时，，与矛盾，故. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数. 因此差倍集中元素个数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高一10月联合调研 数学试卷 2025年10月 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（ ） A. 1 B. C. 1， D. ，0，1 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 11. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 13. 设，，若，则的最小值为__________． 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 17. 已知命题，；命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 18. 在只剩一堵墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋面积预定为112平方米．若保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋，这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用每米为a；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%．试求在这种情况下旧墙保留多少米最为合算？ 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $