6.4探索三角形相似的条件（第3课时SAS）（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理（二），通过新知探究中构造辅助线（截取AB''=A'B'）推导“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，衔接前期相似判定知识，以问题链和几何直观为支架，帮助学生理解定理的生成过程。 其亮点在于注重定理推导的逻辑推理（数学思维），典例与题型设计分层（如母子型模型、构造比例式），培养抽象能力与几何直观（数学眼光），强调符号语言规范及易错点（夹角），助力学生形成严谨思维，教师可直接利用系统案例提升教学效率。

苏科版·九年级下册 6.4.3 探索三角形相似 的条件——SAS 第六章 图形的相似 章节导读 6.4.3 SAS 学 习 目 标 1 了解相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 新知探究 实 践 如图，已知△ABC。 作△A'B′C′，使∠A' = ∠A， = = 。 所作△A'B′C′的与△ABC相似吗？ 设 = = k，改变k值的大小，再试一试。 相似 C A' C' A B B' 新知探究 如图，在△ABC和△A'B′C′中，∠A' = ∠A， = 。 我们可以用如下方法证实△ABC∽△A'B'C′： 证明：如图， 在AB上截取AB'' = A'B' ( 假设AB > A'B' )， 过点B''作B''C'' // BC，交AC于C''， 根据本节例1所得的结论，可以知道△ABC∽△AB''C''， ∴ = 。 又∵AB'' = A'B'， = ，∴AC'' = A'C'。 C A' C' A B B' B'' C'' 新知探究 如图，在△ABC和△A'B′C′中，∠A' = ∠A， = 。 我们可以用如下方法证实△ABC∽△A'B'C′： 在△A''B′'C′'和△A'B′C′中， ， ∴△A''B′'C′'≌△A'B′C′ ( SAS )。 ∴△ABC∽△A'B'C'。 C A' C' A B B' B'' C'' 新知探究 相似的判定定理 ( 二 )： 于是，我们得到如下定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，∵ = ，∠A = ∠A'， ∴△ABC∽△A'B′C′。 知识要点 C A' C' A B B' 注意： 相等的角必须是对应两边的夹角 典例分析 分析：在△DBE和△ABC中，易知∠DBE = ∠ABC。 如果 = ，那么这两个三角形就相似。 解：△DBE与△ABC相似。理由如下： 在△ABD和△CBE中，∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， ∴△ABD∽△CBE ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 ∴ = ( 相似三角形的对应边成比例 )。 典例4 如图，点D在△ABC内，点E在△ABC外，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。△DBE与△ABC相似吗？为什么？ 典例分析 又∵∠2 = ∠1， ∴∠DBE = ∠ABC。 在△DBE和△ABC中， ∵ = ，∠DBE = ∠ABC， ∴△DBE∽△ABC ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )。 典例4 如图，点D在△ABC内，点E在△ABC外，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。△DBE与△ABC相似吗？为什么？ 新知探究 讨 论 解：① 如图，△ABC∽△A′B′C′； ② 如图，以A′为圆心，A′C′为半径画弧，与B′C′交于点C′′， △ABC与△A′B′C′′不相似。 C A′ C′ A B B′ C′′ 对于△ABC和△A′B′C′， = ，∠B = ∠B′， 这两个三角形一定相似吗？试着画画看。 新知探究 C A′ C′ A B B′ C′′ 【总结】 两边成比例，但对应相等的一组角不是夹角时，两个三角形不一定相似。 【再次强调】 无论是证明相似or证明全等，用“两边一夹角”定理时，必须时刻警惕： 相等的角必须是对应两边的夹角。 新知探究 探 究 如图，在△ABC中，AB = 4，AC = 2。 ( 1 ) 试在AB上确定点D的位置，使△ACD∽△ABC； 解：AD = 1。理由如下： ∵△ACD∽△ABC， ∴ = ( 相似三角形的对应边成比例 )， ∵AB = 4，AC = 2， ∴ = ，解得：AD = 1。 D 新知探究 探 究 ( 2 ) 试在AC的延长线上确定点E的位置，使△AEB∽△ABC。 此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？ 解：如图，BE // DC。理由如下： ∵△ACD∽△ABC， ∴∠ACD = ∠ABC ( 相似三角形的对应角相等 )， ∵△AEB∽△ABC， ∴∠AEB=∠ABC ( 相似三角形的对应角相等 )， ∴∠ACD=∠AEB， ∴BE // DC。 D E 新知探究 方法技巧 母子型字模型： ∵ = ，∠A = ∠A， ∴△ACD∽△ABC。 D 题型探究 【例1】已知：如图，AD·AB = AE·AC，求证：△ADC∽△AEB。 相似的判定定理 ( 二 ) 题型一 证明：∵AD·AB = AE·AC， ∴ = ， ∵∠A = ∠A， ∴△ADC∽△AEB ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )。 注意： “∠A = ∠A”为题目的隐藏条件 注意： 要将其转化为比例式 E A B C D 证明：∵AD = 1，BD = 2，AC = ， ∴ = = ， = ， ∴ = ， ∵∠A = ∠A， ∴△ACD∽△ABC ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )。 题型探究 【例2】如图，点D是△ABC的AB边上一点，且AD = 1，BD = 2，AC = ，求证：△ACD∽△ABC。 根据线段长构造比例式 题型二 注意： 当边长条件较多时，多要构造比例式 A D B C 证明：∵∠B = 90°，AB = BE = EF = FC = 2， ∴AE = = 2， ∴ = = ， = = ， ∴ = ， ∵∠AEF = ∠CEA， ∴△AEF∽△CEA ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )。 题型探究 【例3】在Rt△ABC中，∠B = 90°，若AB = BE = EF = FC = 2，求证：△AEF∽△CEA。 根据线段长构造比例式 题型二 A C B E F 证明：∵AE2 = EG·ED， ∴ = ， ∵∠AEG = ∠DEA， ∴△AEG∽△DEA ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 )， ∴∠EAG = ∠EDA ( 相似三角形的对应角相等 )， 题型探究 【例4】如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2 = EG·ED，求证：DE⊥EF。 综合应用 题型三 A B E F G D C ∵AF⊥BC，∴∠AFB = 90°， ∵点E是AB的中点，∴AE = FE， ∴∠EAF = ∠EFA，∴∠ADG = ∠EFG， ∵∠AGD = ∠EGF，∴∠DAG = ∠FEG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD // BC，∴∠DAG = ∠AFB = 90°， ∴∠FEG = 90°，即DE⊥EF。 题型探究 【例4】如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2 = EG·ED，求证：DE⊥EF。 综合应用 题型三 A B E F G D C 课堂小结 相似的判定定理 ( 二 )： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 感谢聆听! $