6.4探索三角形相似的条件（第2课时AA）（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”，通过旧知回顾相似三角形定义、全等三角形判定定理，搭建新旧知识支架，引导学生从已知走向新知探究。 其亮点在于通过作图探究、平移证明培养几何直观与推理能力，总结8字、A字、射影定理、一线三等角等模型构建模型意识，典例分析强化符号语言表达。助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

苏科版·九年级下册 6.4.2 探索三角形相似 的条件——AA 第六章 图形的相似 章节导读 6.4.2 AA 学 习 目 标 1 2 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 认识相似的基本模型 旧知回顾 1. 什么叫做相似三角形？相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 解：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，称为相似三角形。 全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形。 旧知回顾 2. 全等三角形的判定定理有哪些？至少需要几个边或角的条件？ 解：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，至少3个。 我们知道，两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。反过来， 当两个三角形具备几对角相等或几对边成比例的条件时，它们就相似呢？ 新知探究 实 践 1. 如图，已知∠α、∠β。 作△ABC，使∠A = ∠α，∠B = ∠β。 这样的三角形可以作多少个？它们都相似吗？ 解：∵三角形内角和是180°， ∴知两角相等，即知三角相等， ∵边长不确定， ∴这样的三角形可以作无数个，它们都相似。 新知探究 实 践 2. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B'。 我们可以用如下方法证实△ABC∽△A'B'C′： 证明：平移△A'B'C′，使点A′与点A重合，A'B′落在AB上 ( 假设AB > A'B′ )。 由∠A′ = ∠A，可知A′C′落在AC上。 A B C A′ C′ B′ A(A′) B′ C′ B C A′ C′ B′ 新知探究 又由∠AB′C′ = ∠B，可知B'C′ // BC。 这样，根据本节例1所得的结论， 可得△ABC∽△AB′C′。 ∵平移△A'B'C′不改变它的形状、大小，∴△ABC∽△A'B'C'。 A(A′) B′ C′ B C A′ C′ B′ 新知探究 相似的判定定理 ( 一 )： 于是，我们得到如下定理： 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，∵∠A = ∠A′，∠B = ∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′。 知识要点 典例分析 解：△ABC与△A'B′C′相似。理由如下： 在△ABC中，∵∠A = 50°，∠B = 60°, ∴∠C = 180° - ( 50° + 60° ) = 70°。 在△ABC和△A'B'C′中， ∵∠B = ∠B′，∠C = ∠C'， ∴△ABC∽△A'B'C′ ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 典例2 如图，在△ABC和△A'B′'C′中，∠A = 50°, ∠B = ∠B′ = 60°，∠C′ = 70°。△ABC与△A'B'C′相似吗？为什么？ 题型探究 【例1】已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点， DE交AB于F，求证：△DAF∽△ECD。 相似的判定定理 ( 一 ) 题型一 证明：在平行四边形ABCD中， ∵AB // DC， ∴∠CDE = ∠AFD， ∵∠A = ∠C， ∴△DAF∽△ECD ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 D B A E C F 题型探究 【例2】如图，线段AB，CD相交于点O，AC // BD，若OA = 6，OC = 3，OD = 2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8字模型相似 题型二 解：∵AC // BD， ∴∠C = ∠D，∠A = ∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴ = ， ∵OA = 6，OC = 3，OD = 2， ∴ = ，解得：OB = 4。 B D B A C O 题型探究 方法技巧 根据例题总结——8字模型： △AOC∽△BOD D B A C O 题型探究 【例3】如图，在△ABC中，DE // BC，BC = 6， = ，则DE =（　　） A． B． C．3 D．2 A字模型相似 题型三 解：∵DE // BC， ∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， ∴△ADE∽△ABC，∴ = ， ∵BC = 6， = ， ∴ = ，解得：DE = 3。 C A D E B C 题型探究 方法技巧 根据例题总结——A字模型： △ADE∽△ABC A D E B C 题型探究 【例4】如图，△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，BD = 2，AD = 8，求S△ABC。 射影定理 题型四 解：如图，∵△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， ∴∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90°， ∴∠A + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCD， ∴∠A = ∠BCD， ∴△ACD∽△CBD，∴ = ，∴CD2 = AD•BD， 又∵BD = 2，AD = 8， ∴CD2 = 16，AB = BD + AD = 10，∴CD = 4， ∴S△ABC = AB•CD = × 10 × 4 = 20。 A D B C 题型探究 方法技巧 根据例题总结——射影定理： △ACD∽△CBD∽△ABC → CD2 = AD•BD BC2 = BD•BA AC2 = AD•AB A D B C 题型探究 【例5】如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∠BAC = ∠PDE = 90°， ( 1 ) 若将△DEP的顶点P放在BC上 ( 如图1 )，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G，求证：△PBG∽△FCP； 一线三等角模型 题型五 ( 1 ) 证明：如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B = ∠C = ∠DPE = 45°， ∵∠CPE = ∠BGP + ∠B = ∠CPF + ∠DPE， ∴∠BGP + 45° = ∠CPF + 45°，∴∠BGP = ∠CPF， ∵∠B = ∠C， ∴△PBG∽△FCP ( 两角分别相等的两个三角形相似 )； D B A E C F G P 图1 题型探究 【例5】( 2 ) 若使△DEP的顶点P与顶点A重合 ( 如图2 )，PD、PE与BC相交于点F、G，试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？ 一线三等角模型 题型五 ( 2 ) 解：△PBG∽△FCP。理由如下： 如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B = ∠C = ∠DPE = 45°， ∵∠PGB = ∠C + ∠CAE = 45° + ∠CAE， ∠FPC = ∠FPG + ∠CAE = 45° + ∠CAE， ∴∠PGB = ∠FPC， ∵∠B = ∠C， ∴△PBG∽△FCP ( 两角分别相等的两个三角形相似 )。 D B A(P) C G 图2 E F 题型探究 方法技巧 根据例题总结——一线三等直角模型： △ABC∽△DEA B E A D C 题型探究 方法技巧 根据例题总结——一线三等等角模型： △ABC∽△DCE E A C B D 课堂小结 相似的判定定理 ( 一 )： 两角分别相等的两个三角形相似。 感谢聆听! $